1997全国高考理科数学精彩试题

1、实用文档 文案大全 1997年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分共150分考试时间120分钟 第卷（选择题共65分） 一选择题:本大题共15小题；第(1)(10)题每小题4分,第(11)(15)题每小题5分,共65分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1设集合M=x0x<2,集合N=xx2-2x-3<0,集合MN= ( ) (A) ?10?xx (B) ?20?xx (C) ?10?xx (D) ?20?xx 2如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么系数a= ( ) (A) 3 (B)

2、 6 (C) 23? (D) 32 3函数y =tg(?3121?x)在一个周期内的图像是 ( ) 4已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC =3,BC=2,则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是 ( ) (A) arccos33 (B) arccos31 (C) 2? (D) 32? 5函数y =sin(x23?)+cos2x的最小正周期是 ( ) 实用文档 文案大全 (A) 2? (B) ? (C) ?2 (D) ?4 6满足arccos(1x)?arccosx的x的取值范围是 ( ) (A) 1, 21 (B) 21,0 (C) 0, 21 (D) 21,

3、1 7将y=2x的图像 ( ) (A) 先向左平行移动1个单位 (B) 先向右平行移动1个单位 (C) 先向上平行移动1个单位 (D) 先向下平行移动1个单位 再作关于直线y=x对称的图像，可得到函数y=log2(x+1)的图像 8长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是 ( ) (A) 20?2 (B) 25?2 (C) 50? (D) 200? 9曲线的参数方程是?2111tytx (t是参数，t?0),它的普通方程是 ( ) (A) (x1)2(y1)=1 (B) y=? ?212xxx? (C) ? ?1112?xy (D) 112?

4、xxy 10函数y=cos2x-3cosx+2的最小值为 ( ) (A) 2 (B) 0 (C) 41? (D) 6 11椭圆C与椭圆? ? ?1429322?yx关于直线x+y=0对称,椭圆C的方程是 ( ) (A) ? ? ?1934222?yx (B) ? ? ?1439222?yx (C) ? ? ?1439222?yx (D) ? ? ?1934222?yx 12圆台上、下底面积分别为?、?4,侧面积为?6,这个圆台的体积是 ( ) 实用文档 文案大全 (A) 332? (B) ?32 (C) 637? (D) 337? 13定义在区间?,的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区

5、间?,0）的图像与f(x)的图像重合，设a>b>0,给出下列不等式： f(b)f(a)>g(a)g(b)； f(b)f(a)<g(a)g(b)； f(a)f(b)>g(b)g(a)； f(a)f(b)<g(b)g(a)， 其中成立的是 ( ) (A) 与 (B) 与 (C) 与 (D) 与 14 不等式组?xxxxx22330 的解集是 ( ) (A) ?20?xx (B) ?5.20?xx (C) ?60?xx (D) ?30?xx 15四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有 ( ) (A) 150种 (B) 147种 (

6、C) 144种 (D) 141种 第卷 (非选择题共85分) 二填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分把答案填在题中横线上 16 已知9)2(xxa?的展开式中3x 的系数为49,常数a的值为_ 17已知直线的极坐标方程为? sin(4? )=22,则极点到该直线的距离是_ 18 ?8sin15sin7cos8sin15cos7sin的值为 _ 实用文档 文案大全 19已知m,l是直线，?、?是平面，给出下列命题： 若l垂直于?内的两条相交直线，则l?； 若l平行于?,则l平行于?内的所有直线； 若?m,?l,且ml?,则?； 若?l,且?l,则?； 若?m,?l,且?,则ml 其中正确

7、的命题的序号是_ (注:把你认为正确的命题的序号都填上) 三解答题:本大题共6小题;共69分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 20(本小题满分10分) 已知复数iz2123? ,i2222? 复数?z,32?z在复数平面上所对应的点分别为P,Q证明OPQ?是等腰直角三角形（其中O为原点） 21(本小题满分11分) 已知数列?na,?nb都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q,其中p> q,且1?p，1?q设nnnbac?,Sn为数列?nc的前n 项和求1lim?nnnSS 22（本小题满分12分） 甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时已 知汽车

8、每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/时)的平方成正比、比例系数为b；固定部分为a元 I把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定 义域； II为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 23（本小题满分12分） 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点 实用文档 文案大全 I证明AD?D1F； II求AE与D1F所成的角； III证明面AED?面A1FD1； IV设AA1=2,求三棱锥F-A1ED1的体积11EDAFV? 24(本小题满分12分) 设二次函数f(x)=ax2+bx+

9、c(a>0),方程f(x)x=0的两个根x1,x2满足0<x1<x2 <a1 I当x?(0, x1)时，证明x<f (x)<x1； II设函数f(x)的图像关于直线x=x0对称，证明x0 <21x25 (25)（本小题满分12分） 设圆满足：截y轴所得弦长为2；被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1，在满足条件、的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程 1997年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准 一选择题:本题考查基本知识和基本运算 1B 2B 3A 4C 5B 6D 7D 8C 9B 10B

10、11A 12D 13C 14C 15D 二填空题:本题考查基本知识和基本运算 164 17 22 18 32? 19， 注:第(19)题多填、漏填和错填均给0分 三解答题 20本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力 解法一： 实用文档 文案大全 ),6sin()6cos(2123?iiz 4sin4cos2222?ii? 于是 ,12sin12cos?iz? ),12sin()12cos(?iz )43sin43(cos)3sin()3cos(32?iiz? 125sin125cos?i? 因为OP与OQ 的夹角为2)12(125?，所

11、以OPOQ 因为1.132?zOQzOP，所以OQOP? 由此知OPQ有两边相等且其夹角为直角，故OPQ为等腰直角三角形 解法二: 因为)6sin()6cos(2123?iiz，所以iz?3 因为4sin4cos2222?ii?，所以14? 于是izzzzzzzz?22433232? 由此得OPOQ，OP=OQ 由此知OPQ有两边相等且其夹角为直角，故OPQ为等腰直角三角形 (21)本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识，考查逻辑推理能力和运算能力满分11分 解: 实用文档 文案大全 ,1)1(1)1(11?qqbppaSnnn )1)(1()1)(1()1)(1()1)(1(

12、1111111?nnnnnnqpbpqaqpbpqaSS 分两种情况讨论 ()p>1 ,10,0?pqqp 1lim?nnnSS )1)(1()11)(1()1)(1()11)(1(lim111111111?nnnnnnnnnnnppqpbpqapppqpbpqap =1)(1()11)(1(1)(1()11)(1(lim1111111?nnnnnnnppqpbpqappqpbpqap )1()1(11?qaqap =p ()p<1 0<q<p<1， 1lim?nnnSS )1)(1()1)(1()1)(1()1)(1(lim111111?nnnnnqpbpqaq

13、pbpqa1)1()1()1()1(1111?pbqapbqa (22)本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，满分12分 实用文档 文案大全 解：（）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为vs ，全程运输成本为)(2bvvaSvSbvvSay? 故所求函数及其定义域为 ,0(),(cvbvvaSy? ()依题意知S，a，b，v都为正数，故有 abSbvvaS2)(? 当且仅当,bvva? 即bav?时上式中等号成立 若cba? ，则当bav?时，全程运输成本y最小， 若cba?，则当,0(cv?时)()(b

14、ccaSbvvaS? )()(bcbvcavaS? =)(bcvavcvcS? 因为cv0，且a>bc2，故有abcvabc2>0， 所以)()(bccaSbvvaS?，且仅当v=c时等号成立， 也即当v=c时，全程运输成本y最小 综上知，为使全程运输成本y 最小，当cbab? 时行驶速度应为babv? ；当cbab?时行驶速度应为v=c (23)本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查逻辑推理能力和空间想象能力，满分12分 解:()AC1是正方体， AD面DC1 又D1F?面DC1， 实用文档 文案大全 ADD1F ()取AB中点G，连结A1G，FG因为F

15、是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四边形，A1GD1F 设A1G与AE相交于点H，则AHA1是AE与D1F所成的角，因为E是BB1的中点，所以RtA1AGRtABE，GA1A=GAH，从而AHA1=90°，即直线AE与D1F所成角为直角 ()由()知ADD1F，由()知AED1F，又ADAE=A，所以D1F面AED又因为D1F?面A1FD1，所以面AED面A1FD1 ()连结GE，GD1 FGA1D1，FG面A1ED1， GEADEDAGEDAFVVV111111? AA1=2， SSGEA?1正方形

16、ABB1A 12321?GBEAGASS 123231311111111?GEAGEADEDAFSDAVV (24)本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力满分12分 证明:()令F(x)=f(x)x因为x1，x2是方程f(x)x=0的根，所以 F(x)=a(xx1)(xx2) 当x(0，x1)时，由于x1<x2，得(xx1)(xx2)>0，又a>0，得 F(x)=a(xx1)(xx2)>0， 即x<f(x) )(1)()()()(2121111xxaxxxxxxaxxxFxxxfx? 因为axxx102

17、1? 所以x1x>0，1+a(xx2)=1+axax2>1ax2>0 得 x1f(x)>0 实用文档 文案大全 由此得f(x)<x1 ()依题意知 abx20? 因为x1，x2是方程f(x)x=0的根，即x1，x2是方程ax2+(b1)x+c=0的根 abxx121?， aaxaxaxxaabx2121)(221210? 因为ax2<1 ，所以22110xaaxx? (25)本小题主要考查轨迹的思想，求最小值的方法，考查综合运用知识建立曲线方程的能力满分12分 解法一:设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为b， a 由题设知圆P截

18、x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截X 轴所得的弦长为r2，故r2=2b2， 又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有 r2=a2+1 从而得2b2a2=1 又点P(a，b)到直线x2y=0的距离为 52bad?， 所以5d2=a2b2 =a2+4b24ab a2+4b22(a2+b2) =2b2a2=1， 当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1，从而d取得最小值 由此有 ?12,22abba 实用文档 文案大全 解此方程组得 ?;1,1ba或?.1,1ba 由于r2=2b2 知2?r 于是，所求圆的方程是 (x1) 2+(y1) 2=2，或(x+1) 2+(y+1) 2=2 解法二: 同解法一，得52ba