江苏省连云港市高三第一次模拟考试数学

1、2018 届高级第次模拟考试(七)数学( 满分 160 分，考试时间 120分钟 )参考公式：1 .柱体的体积公式：V= Sh,其中S是柱体的底面面积，h是高.2 .圆锥的侧面积公式：S= cl ,其中c是圆锥底面圆的周长，l是母线长.一、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共计 70 分1 .已知集合 A= x|x2x=0, B= 1, 0,则 AU B=.2 .已知复数z = (i为虚数单位)，则z的模为.3 .函数y=的定义域为.4 . 如图是一个算法的伪代码，运行后输出 b 的值为 (第4题 )(第5题 )5 . 某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了

2、150 分到 450 分之间的 1000名学生的成绩，并根据这1000 名学生的成绩画出样本的频率分布直方图 (如图) ，则成绩在250 ， 400) 内的学生共有人6 .在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线一=1(a>0, b>0)的一条渐近线方程为x-2y =0,则该双曲线的离心率为.7 . 连续 2 次抛掷一枚质地均匀的骰子(六个面上分别标有数字1， 2， 3， 4， 5， 6 的正方体) ，观察向上的点数，则事件“点数之积是3 的倍数”的概率为 8 .已知正四棱柱的底面边长为3cm,侧面的对角线长是3cm,则这个正四棱柱的体积是3 cm.9 .若函数f(x) =Asin (

3、x+小)(A>0 ,>0)的图象与直线y = m的三个相邻交点的横坐 标分别是，则实数的值为.10 .在平面直角坐标系xOy中，曲线C: xy =上任意一点P到直线l : x+y=0的距离的 最小值为 11 .已知等差数列an满足 a1 + a3+a5+ a7 + a9=10, a a= 36,则 a11 的值为.12 .在平面直角坐标系xOy中，若圆C: x2+ (y 1)2=r2(r>0)上存在点P,且点P关于 直线x y = 0的对称点Q在圆C2: (x2)2+ (y 1)2=1上，则r的取值范围是13 .已知函数f(x)=函数g(x) =f(x) +f( -x),则不

4、等式g(x) <2的解集为.14 .如图，在4ABC中，已知AB= 3, AO 2, /BA谖120° ,D为边BC的中点.若CH AR 垂足为E,则的值为.二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 .( 本小题满分14 分)在ABC,角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c,且 cosA=, tan(B A) = .(1) 求 tan B 的值；(2)若c=13,求 ABC的面积.16 .( 本小题满分14 分)如图，在直三棱柱 ABCAiC中，/ABO 90° , AB= AA, M N分别是AG BC的中点.

5、求证：(1)MN/平面 ABBAi； (2)AN±AiB.17 .( 本小题满分i4 分)某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆 。及其内接 等腰三角形AB微底边BC上的高所在直线AO旋转180°而成，如图2.已知圆。的半径为 10cm,设/ BAO 9 , 0< 8 <,圆锥的侧面积为Scm2.(1)求S关于9的函数关系式；(2)为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S最大.求当S取得最大值时腰AB的长 度图1图218 .( 本小题满分16分)如图，在平面

6、直角坐标系xOy中，已知椭圆+= 1(a>b>0)的离心率为，且过点.F为椭 圆的右焦点，A, B为椭圆上关于原点对称的两点，连结 AF, BF分别交椭圆于C, D两点.(1) 求椭圆的标准方程；若AF= FC,求的值；(3)设直线AB, CD的斜率分别为ki, k2,是否存在实数m,使得k2=mk?若存在，求出 实数m的值；若不存在，请说明理由.19 .( 本小题满分16分)已知函数 f(x) =x2+ax+1, g(x) =lnx a(aCR).(1)当a=1时，求函数h(x) =f(x) g(x)的极值；(2) 若存在与函数f(x) ， g(x) 的图象都相切的直线，求实数a

7、 的取值范围20 .（ 本小题满分16分）已知数列an,其前n项和为S,满足ai=2, &=入na+仙a n1,其中n>2, nCN*, 入，仙e r.若入=0, N=4, bn=an+i 2an（nCN ）,求证：数列bn是等比数列；（2）若数列an是等比数列，求 入，仙的值；（3）若a2=3,且入+仙=,求证：数列an是等差数列.2018 届高三年级第一次模拟考试（ 七）数学附加题（ 本部分满分40 分，考试时间 30分钟 ）21 . 【选做题】本题包括A、 B、 C、 D 四小题，请选定其中两小题，并作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤

8、A. 选修 41：几何证明选讲（ 本小题满分10分）如图，AB是圆。的直径，弦BQ CA的延长线相交于点E, EF垂直BA的延长线于点F. 求证：Ag=BE- BDAE- AC22 选修 42：矩阵与变换（ 本小题满分10分）已知矩阵A= , B=,若矩阵M= BA求夕!阵M的逆矩阵M 1.C. 选修 44：坐标系与参数方程（ 本小题满分10分）以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线l： （t为参数）与圆C: p2 + 2pcos9 - 2p sin 8=0的位置关系.D. 选修 45：不等式选讲( 本小题满分10分)已知a, b,

9、c, d都是正实数，且a+b+c+d=1,求证：+ + + > .【必做题】第22题、第23题，每题 10分，共计 20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22.( 本小题满分10分)在正三棱柱ABCAiCi中，已知AB= 1,AA=2,E, F, G分别是AA,AC A1C1的中点. 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 Fxyz.(1)求异面直线AC与BE所成角的余弦值；(2) 求二面角FBCiC 的余弦值23.(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，已知平行于x轴的动直线l交抛物线C: y2 = 4x于点P, F 为曲线C的焦点.圆心不在y轴上的圆M与直线l , P

10、F, x轴者防目切，设圆心M的轨迹为曲 线 E.(1) 求曲线 E 的方程；(2)若直线11与曲线E相切于点Q(s, t),过点Q且垂直于l 1的直线为12,直线l 1, 12 分别与y轴相交于点A, B.当线段AB的长度最小时，求s的值.2018 届连云港高三年级第一次模拟考试数学参考答案1 . 1， 0， 13.(0 ， 112 . 1，113. 2， 214. 15 .解析：（1）在ZXABC中，由cosA=,知A为锐角，所以 sin A= = ,所以 tanA= = , （2 分）所以 tan B= tan （B A） + A = （4 分）= = 3.（6 分）由知tanB= 3,所

11、以 sin b= , cosB= , （8 分）所以 sin C= sin （A + B） = sin AcosB+ cosAsin B= .（10 分）由正弦定理=,得 b= = =15, （12 分）所以 ABC的面积 S= bcsinA= x 15X 13X=78.（14 分）16 .解析：（1）如图，取AB的中点P,连结PM PB.因为M P分别是AB, AC的中点，所以 PM/ BG 且 PM= BC.在直三棱柱 ABCAB1C1 中，BC/ BC, BO BC,又N是BC的中点，所以 PM/ BiN,且 PM= BN, （2 分）所以四边形PMNB1平行四边形，所以MN/ PB.（

12、4分）又 MN?2面 ABBAi, PB?平面 ABBAi,所以MN/平面ABBAi.（6分）17 ） 因为三棱柱ABCA1B1C1 为直三棱柱，所以BBL平面A1BC,因为BB?平面ABBA1,所以平面 ABBA平面 ABC.（8 分）因为/ABC= /AiBC=90° ,所以B*BA.因为平面 ABBA1A平面 ABC = BAi, BC?平面ABC,所以BCL平面ABBA1.（10分）因为 AB?¥面 ABBA1,所以 BCLAB,即 NBXAiB.如图，连结AB1.因为在平行四边形 ABBA中，AB= AA,所以四边形ABBA是正方形，所以 ABXAiB.因为NBA

13、AB=B,且AB, NB?平面ABN,所以ABL平面ABN.（12分） 又AN砰面ABN,所以 AB,AN.（14 分）17.解析：（1）如图，设AO交BC于点D,过点。作OHAB,垂足为E.在AOE, AE= 10cos 8, AB= 2AE= 20cos 8 , （2 分）在ABDt, BD-AB- sin 9 = 20cos 9 - sin 9 , （4 分）所以 S= 2 兀- 20sin 0 cos 0 - 20cos 0 =400 兀 sin 0 cos2 0 .(6 分)(2) 由 (1) 得S= 400 冗 sin 9 cos2 9 = 400 冗(sin 9 - sin 3

14、9 ) . (8 分)设 f(x) =x x3(0<x<1)，贝U f' (x) =13x2.由 f (x) = 1 3x2 =0 得 x =.当 xC 时，f' (x)>0 ;当 xC 时，f' (x)<0 ,所以 f(x) 在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以f(x)在乂=时取得极大值，也是最大值，所以当sin 8=时，侧面积S取得最大值，(11分)此时等腰三角形的腰长 AB= 20cos 8 = 20X = 20X =.故当侧面积S取得最大值时，等腰三角形的腰 AB的长度为cm(14分)18 .解析：(1)设椭圆的方程为+= 1(a&g

15、t;b>0).由题意知 (2 分)解得所以椭圆的方程为+= 1.(4分)若AF= FC,由椭圆的又t称性，知 A,所以B，此时直线BF的方程为3x 4y3=0.(6分)由得 7x26x13= 0,解得x=(x = 1舍去),(8分)所以=.(10分)设A(x。，y。)，则 B(-x0, y。)，直线 AF的方程为 y=(x1),代入椭圆方程+= 1,得(15 6x°)x2 8yx15x+24x0= 0.因为x = x°是该方程的一个解，所以点 C的横坐标xc=.(12分)又点C(xc, yc)在直线y=(x 1)上，所以 yc= (x c 1)=.同理，点D的坐标为，

16、(14分)所以 k2 = = = k1，即存在,使得k2= k1.(16分)19 .解析：(1)函数h(x)的定义域为(0 , +oo).当 a=1 时，h(x) =f(x) g(x) =x2+x In x + 2,所以 h' (x) =2x+1 = , (2 分)所以当 0<x<时，h' (x)<0 ;当 x>, h' (x)>0 ,所以函数 h(x) 在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当x=时，函数h(x)取得极小值+ In 2,不存在极大值.(4分)(2) 设函数 f(x) 在点 (x 1 ， f(x 1) 处的切线与函数g(x

17、) 在点 (x2， g(x 2) 处的切线相同，则f' (x1)=g'(x»=,所以 2x + a= = , (6 分)所以 x = 一,代入=x + ax+1 (In x2a)得- + ln x2+ a 2 = 0.(*)(8 分)设 F(x) = + Inx+-a-2,则 F' (x) = + + =.不妨设 2x+ax°1=0(x°>0),贝U当 0<x<x0时，F' (x)<0 ;当 x>x°时，F' (x)>0 , 所以F(x)在区间(0, x0)上单调递减，在区间(x

18、°, +8)上单调递增，(10分) 因为 a= = - 2x0,所以 F(x) min F(x0) = x + 2x0 P In x0 2.设 G(x) =x2+2x + lnx2,则 G' (x)=2x + 2+ + >0 对 x>0 恒成立，所以G(x)在区间(0, +oo)上单调递增.又G=0,所以当 0<x&l 时，G(x) <0,即当 0<xoW1 时，F(X0)<0.(12 分)又当 x=ea+2时，F(x)= +lnea+ 2+-a-2=>0, (14 分)因此当0<x0< 1时，函数F(x)必有零点

19、，即当0<"01时，必存在x0使得(*)成立，即 存在xi, x2使得函数f(x)在点(x1, f(x 1)处的切线与函数g(x)在点(x2, g(x2)处的切线相 同.又由 y 2x 得 y =2<0,所以y= 2x在(0, 1)上单调递减，因此a= = 2k1, +00),所以实数a的取值范围是1, +8). (16分)20.解析：(1)若入=0,仙=4,则&=4an1(n >2),所以 an+1 Sn+1 Si 4(a n an 1),即 an+1 2an = 2(an 2an 1),所以 bn = 2bn1.(2 分)又由 a1 = 2, a + a

20、2=4a1,得 a2=3a1 = 6, a22a1=2w0,即 bnW0,所以=2.故数列bn是等比数列.(4分)(2)若a n是等比数列，设其公比为q(q丰0).当n = 2时，由&=2入a2+(ia1,即a十出=2人出+以21,得1 + q = 2入q+N；当 n = 3 时，由 S3= 3 入 & 3+a 2,即 a1 + az+ a3= 3 入 23+ p, a 2,得 1 + q+q=3 入 q +(iq； 当 n = 4 时，由 S4= 4 入 3.4+(ia3,即 a+& + a?+ a4=4 入 a 4+ 仙 a 3,得 1 + q + q + q =

21、4 入 q + N q .一x q,得1=入q2,一X q,得 1= Xq3,解得q=1,入=1.代入，得以=0.(8分)止匕时 S = nan(n >2),所以an = a1 = 2, an是公比为1的等比数列，故人=1,仙=0.(10分)(3)若 a2=3,由 a + a2= 2 入 22+ ab 得 5 = 6 入+2小又入+ n =,解得入=,1= 1.(12分)由 a = 2, a2= 3,入=,1=1,代入 &=入 nan+ 仙 a n1 得 a3= 4,所以日, a, a3成等差数列；由 S=an+an-1,彳马 S1 + 1 = an+1 + an.两式相减得 a

22、n+1=an+1 an+an an1,即(n 1)an+1 (n 2)a n 2an-1 0,所以 nan+2(n 1)a n+12an 0.相减得 nan+2 2(n 1)an+ (n 2)an 2an+ 2an1= 0,所以n(an+2 2an+1 + an)+2(an+ 1 - 2an+ an1) =0,以 an +2 2an+ 1 + an = (an+1 2an+ an 1) = (a n 2an-1 + an 2)= = (a 3 2a2+ a1) . (4 分)因为 a1一2a2+ a3 = 0,所以 an+2 2an+an = 0,即数列an是等差数列.(16分).解析：连结A

23、D因为AB为圆O的直径，所以ADI BD因为EF，AB,所以A, D, E, F四点共圆，所以 BD BE= BA- BF.(5 分)因为/ EAF= /BAC /EFA= / BCA= 90° ,所以 zXABa AAEF所以=,即 AB - AF= AE- AC,所以 BE- BD-AE- AC= BA- BF-AB - AF= AB-(BF AF)=Ag(10 分)B.解析：因为M= BA= = , (5分)所以MT1=.(10分)C.解析：把直线方程l :化为普通方程为x + y = 2.(3分)将圆 C： p 2+2 p cos 8 2p sin 8 =0化为直角坐标方程为

24、 x2+2x+y2 2y=0,即(x+1)2+ (y1)2 = 2.(6 分)因为圆心C到直线l的距离d= = = r,所以直线l与圆C相切.(10分)D.解析：因为(1 + a) + (1 +b) + (1 +c) +(1 +d) >( + + + )2=(a+b+c + d)2=1.(5 分)又(1 + a) + (1 +b) +(1 +c) + (1 +d) =5,所以+ + + > .(10分)22.解析：(1)因为 AB= 1, AA = 2,则 F(0, 0, 0), A, C, B, E(, 0, 1),所以=(1, 0, 0) , =.(2 分)记直线AC和EC所成的角为a ,贝U cos a = | cos，| =二,所以直线A