相似三角形难题(共32页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上一、相似三角形中的动点问题1.如图，在RtABC中，ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1 AC动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动过点D作DHAB于H，过点E作EF AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG设点D运动的时间为t秒（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当 DEG与 ACB相似时，求t的值2.如图，在ABC中，ABC90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动同时，动点Q以1m/s的

2、速度从C点出发，沿CB向点B移动当其中有一点到达终点时，它们都停止移动设移动的时间为t秒（1）当t=2.5s时，求CPQ的面积；求 CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当CPQ为等腰三角形时，求出t的值3.如图1，在RtABC中，ACB90°，AC6，BC8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EMBD，垂足为M，ENCD，垂足为N（1）当ADCD时，求证：DEAC；（2）探究：AD为何值时，BME与CNE相似？4.如图所示，在ABC中，BABC20cm，AC30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同

3、时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动设运动的时间为x（1）当x为何值时，PQBC？（2）APQ与CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由5.如图矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动若P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0t6）。（1）当t为何值时，QAP为等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似？ 二、构造相似辅助线双垂直模型 6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正

4、比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式7.在ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作ABD，使ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长8.在ABC中，AC=BC，ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点求证：MC：NC=AP：PB9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E那么D点的坐标为（）A. B.C. D.10.已知，如图，直线y=2x2与坐

5、标轴交于A、B两点以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为12。求C、D两点的坐标。三、构造相似辅助线A、X字型 11.如图：ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。求证：12.四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC平分DAB。求证：13.在梯形ABCD中，ABCD，ABb，CDa，E为AD边上的任意一点，EFAB，且EF交BC于点F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：(1)当时，EF=；(2)当时，EF=；(3)当时，EF=当时，参照上述研究结论，请你猜想用a、b和k表示EF的一般结论，并给出证明14.已知：如图，在ABC中

6、，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BEEFFC。求BN：NQ：QM四、相似类定值问题 16.如图，在等边ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD、CD的延长线分别交AC、AB于点E、F求证：17.已知：如图，梯形ABCD中，AB/DC，对角线AC、BD交于O，过O作EF/AB分别交AD、BC于E、F。求证：18.如图，在ABC中，已知CD为边AB上的高，正方形EFGH的四个顶点分别在ABC上。求证：19.已知，在ABC中作内接菱形CDEF，设菱形的边长为a求证： 五、相似之共线线段的比例问题 20.（1）如图1，点在平行四边形ABCD的对角线BD上，一直线过点

7、P分别交BA，BC的延长线于点Q，S，交于点求证：（2）如图2，图3，当点在平行四边形ABCD的对角线或的延长线上时，是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明）；21.已知：如图，ABC中，ABAC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CFAB，延长BP交AC于E，交CF于F求证：BP2PE·PF 22.如图，已知三角形ABC中，AD，BF分别为BC，AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G，交AC延长线于H。求证： DE2=EGEH 23.已知如图，P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD、BC、CD的延长线

8、、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H.求证：24.已知，如图，锐角ABC中，ADBC于D，H为垂心（三角形三条高线的交点）；在AD上有一点P，且BPC为直角求证：PD2AD·DH 。 六、相似之等积式类型综合 25.已知如图，CD是RtABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F。求证：26如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DHBM且与AC的延长线交于点E.求证：（1）AEDCBM；（2） 27.如图，ABC是直角三角形，ACB=90°，CDAB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.（1）求证：.（2）若G是B

9、C的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由.28.如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N求证：29.如图，BD、CE分别是ABC的两边上的高，过D作DGBC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H。求证：（1）DG2BG·CG；（2）BG·CGGF·GH 七、 相似基本模型应用 30.ABC和DEF是两个等腰直角三角形，A=D=90°，DEF的顶点E位于边BC的中点上（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：BEMCNE；（2）如图2，将DEF绕点E旋转，使得DE与BA

10、的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论31.如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；（2）求BP：PQ：QR32.如图，在ABC中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F。求证：答案：1.答案：解：（1）ACB=90°，AC=3，BC=4 AB=5 又AD=AB，AD=5t t=1，此时CE=3， DE=3+3-5=1 （2） 如图当点D在点E左侧，即：0t时，DE=3t+3-5t=3-2t 若DEG

11、与ACB相似，有两种情况： DEGACB，此时， 即：，求得：t=； DEGBCA，此时， 即：，求得：t=； 如图，当点D在点E右侧，即：t>时，DE=5t-(3t+3)=2t-3 若DEG与ACB相似，有两种情况： DEGACB，此时， 即：，求得：t=； DEGBCA，此时， 即：，求得：t= 综上，t的值为或或或3.答案：解：（1）证明：AD=CD A=ACD DE平分CDB交边BC于点E CDE=BDE CDB为CDB的一个外角 CDB=A+ACD=2ACD CDB=CDE+BDE=2CDE ACD=CDE DEAC （2）NCE=MBE EMBD，ENCD， BMECNE，如

12、图 NCE=MBE BD=CD 又NCE+ACD=MBE+A=90° ACD=A AD=CD AD=BD=AB 在RtABC中，ACB90°，AC6，BC8 AB=10 AD=5 NCE=MEB EMBD，ENCD， BMEENC，如图 NCE=MEB EMCD CDAB 在RtABC中，ACB90°，AC6，BC8 AB=10 A=A，ADC=ACB ACDABC 综上：AD=5或时，BME与CNE相似4.答案：解（1）由题意：AP=4x，CQ=3x，AQ=30-3x， 当PQBC时，即： 解得： （2）能，AP=cm或AP=20cm APQCBQ，则，即 解得

13、：或（舍） 此时：AP=cm APQCQB，则，即 解得：（符合题意） 此时：AP=cm 故AP=cm或20cm时，APQ与CQB能相似5.答案：解：设运动时间为t，则DQ=t，AQ=6-t，AP=2t，BP=12-2t （1）若QAP为等腰直角三角形，则AQ=AP，即：6-t=2t，t=2（符合题意） t=2时，QAP为等腰直角三角形 （2）B=QAP=90° 当QAPABC时，即：， 解得：（符合题意）； 当PAQABC时，即：， 解得：（符合题意） 当或时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似6.答案：解：分两种情况 第一种情况，图象经过第一、三象限 过点A作ABOA，交待

14、求直线于点B，过点A作平行于y轴的直线交x轴于点C，过点B作BDAC 则由上可知：90° 由双垂直模型知：OCAADB A（2，1），45° OC2，AC1，AOAB ADOC2，BDAC1 D点坐标为（2，3） B点坐标为（1，3） 此时正比例函数表达式为：y3x 第二种情况，图象经过第二、四象限 过点A作ABOA，交待求直线于点B，过点A作平行于x轴的直线交y轴于点C，过点B作BDAC 则由上可知：90° 由双垂直模型知：OCAADB A（2，1），45° OC1，AC2，AOAB ADOC1，BDAC2 D点坐标为（3，1） B点坐标为（3，1）

15、此时正比例函数表达式为：yx7.答案：解：情形一： 情形二： 情形三： 8.答案：证明：方法一： 连接PC，过点P作PDAC于D，则PD/BC 根据折叠可知MNCP 2+PCN=90°，PCN+CNM=90° 2=CNM CDP=NCM=90° PDCMCN MC：CN=PD：DC PD=DA MC：CN=DA：DC PD/BC DA：DC=PA：PB MC：CN=PA：PB 方法二：如图， 过M作MDAB于D，过N作NEAB于E 由双垂直模型，可以推知PMDNPE，则， 根据等比性质可知，而MD=DA，NE=EB，PM=CM，PN=CN， MC：CN=PA：PB

16、9.答案：A解题思路：如图过点D作AB的平行线交BC的延长线于点M，交x轴于点N，则M=DNA=90°，由于折叠，可以得到ABCADC，又由B（1，3）BC=DC=1，AB=AD=MN=3，CDA=B=90° 1+2=90° DNA=90° 3+2=90° 1=3 DMCAND，设CM=x，则DN=3x，AN=1x，DM3x3x，则。 答案为A10.答案：解： 过点C作x轴的平行线交y轴于G，过点D作y轴的平行线交x轴于F，交GC的延长线于E。 直线y=2x2与坐标轴交于A、B两点 A（1,0），B（0,2） OA=1，OB=2，AB= AB：

17、BC=1:2 BC=AD= ABO+CBG=90°，ABO+BAO=90° CBG=BAO 又CGB=BOA=90° OABGBC GB=2，GC=4 GO=4 C（4,4） 同理可得ADFBAO，得 DF=2，AF=4 OF=5 D（5,2）（方法二） 过D作DGBC交AE于G 则ABEADG，CEFDGF ， AD=AC，BE=CE 12.答案：证明： 过点D作DFAB交AC的延长线于点F，则2=3 AC平分DAB 1=2 1=3 AD=DF DEF=BEA，2=3 BEADEF AD=DF AC为AB、AD的比例中项 即 又1=2 ACDABC 13.答案：

18、解： 证明： 过点E作PQBC分别交BA延长线和DC于点P和点Q ABCD，PQBC 四边形PQCB和四边形EQCF是平行四边形 PBEFCQ， 又ABb，CDa APPB-ABEF-b，DQDC-QCa-EF 14.答案：解： 连接MF M是AC的中点，EFFC MFAE且MFAE BENBFM BN：BMBE：BFNE：MF BEEF BN：BMNE：MF1:2 BN：NM1:1 设NEx，则MF2x，AE4x AN3x MFAE NAQMFQ NQ：QMAN：MF3:2 BN：NM1:1，NQ：QM3:2 BN：NQ：QM5:3:215.答案：证明：（1） 如图1，AD、BE为ABC的中

19、线，且AD、BE交于点O 过点C作CFBE，交AD的延长线于点F CFBE且E为AC中点 AEOACF，OBDFCD，AC2AE EAOCAF AEOACF D为BC的中点，ODBFDC BODCFD BOCF 同理，可证另外两条中线 三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的 （2） 如图2，AD为ABC的角平分线 过点C作AB的平行线CE交AD的延长线于E 则BAD=E AD为ABC的角平分线 BAD=CAD E=CAD ACCE CEAB BADCED 16.答案：证明： 如图，作DPAB，DQAC 则四边形MDPB和四边形NDQC均为平行四边形且DPQ是等边三角形 BP+CQMN，

20、DPDQPQ M、N分别是边AB，AC的中点 MNBCPQ DPAB，DQAC CDPCFB，BDQBEC ， DPDQPQBCAB AB（） 17.答案：证明：EF/AB，AB/DC EF/DC AOEACD，DOEDBA ， 18.答案：证明：EFCD，EHAB ， ， AFEADC，CEHCAB ， EFEH 19.答案：证明：EFAC，DEBC ， ， BFEBCA，AEDABC ， EFDEa 20.答案：（1）证明：在平行四边形ABCD中，ADBC， DRP=S，RDB=DBS DRPBSP 同理由ABCD可证PTDPQB （2）证明：成立，理由如下： 在平行四边形ABCD中，AD

21、BC， PRD=S，RDP=DBS DRPBSP 同理由ABCD可证PTDPQB 21.答案：证明: ABAC，AD是中线， ADBC,BP=CP 1=2 又ABC=ACB 3=4 CFAB 3=F,4=F 又EPC=CPF EPCCPF BP2PE·PF 即证所求22.答案：证明：DEAB 90° 90° ADEDBE DE2= BFAC 90° 90°且 BEGHEA DE2=EG•EH23.答案：证明： 四边形ABCD为平行四边形 ABCD，ADBC 1=2，G=H，5=6 PAHPCG 又3=4 APECPF 24.答

22、案：证明：如图，连接BH交AC于点E， H为垂心 BEAC EBC+BCA=90° ADBC于D DAC+BCA=90° EBC=DAC 又BDH=ADC=90° BDHADC ，即 BPC为直角，ADBC PD2BD·DC PD2AD·DH25.答案：证明：CD是RtABC斜边AB上的高，E为BC的中点 CE=EB=DE B=BDE=FDA B+CAB=90°，ACD+CAB=90° B=ACD FDA=ACD F=F FDAFCD ADC=CDB=90°，B=ACD ACDCBD 即26.答案：证明：（1）ACBADC90° AACD90° BCMACD90° ABCM 同理可得：MDHMBD CMBCDBMBD90°MBD ADEADCMDH90°MDH ADECMB AEDCBM （2）由上问可知：，即 故只需证明即可 AA，ACDABC ACDABC ，即 27.答案：（1）将结论写成比例的形式，可以考虑证明FDBFCD（已经有一个公共角F） RtACD中，E是AC的中点 DE=AE A=ADE ADE=FDB A=FDB 而A+ACD=90° FCD+ACD=90° A=FCD FCD