第一章有理数知识要点

1、第一章有理数知识要点归纳一、正数与负数1、正数与负数的概念：像3, 1.8%, 3.5这样大于0的数叫做正数.像-3, -2.7%, 4.5, 1.2这样在正数前 面加上符号“一”（负）的数叫做负数.有时，为了明确表达意义，在正数前面也加上“ + ”（正）11号.例如，+3, +2, +0.5, +_,就是3, 2, 0.5,.一个数前面的“ + ” “ 一”号叫 33做它的符号.0既不是正数，也不是负数.2、用正、负数表示具有相反意义的量：我们经常会遇到一些具有相反意义的量，例如：零上3°c与零下5°c,盈利5万元与亏损 3万元等.为了方便表示它们，我们把其中一种意义的量

2、规定为正，则另一种与它意义相反的 量规定为负.例如：规定零上3°c为+3°c,则零下5°c为-5°c；规定盈利5万元为+5万元， 则亏损3万元为-3万元等.说明：相反意义的量的正负性是相对的，且是可以互换的.例如：规定亏损3万元为+3万元，则盈利5万元为-5万元.二、有理数1、有理数的有关概念:厂整数;有理数：整数和分数统称为有理数.有理数4i分数.说明：（1）有时也把整数看作分母是1的分数;（2）因为有限小数、无限循环小数都可以转化为分数，所以有限小数、无限循环小数都是有理数.注意：圆周率的值不是有理数.,正整数;整数：正整数、零、负整数统称为整数.整

3、数j0；i负整数分数：正分数、负分数统称为分数.分数yj负分数.说明：(1)引入负数后，和以前比，数的范围扩大到了有理数，所以在前面的整数和分 数中不要忘记都有负数；(2)奇数、偶数也扩展到了负数.例如：-1, -3是奇数；-2, t是偶数.2、有理数的分类：按整数、分数分类：正整数c整数零l负整数有理数r正分数分数y负分数按正负性分类：厂正整数r正有理数y负整数有理数零r负整数负有理数yj负分数注意：有理数分类时要按同一标准分类，不能把两类混在一起，否则容易出错.说明：(1)正整数和零称为非负整数，负整数和零称为非正整数；自然数是指正整数和 零，也就是非负整数；(2)当两个数相除时，若能够整

4、除，商为整数；若不能够整除，便出现了分数，所以第一种分类是按除法的性质来分的.当两个数相减时，如果够减，则差为正数或0,如果不够减, 便出现了负数，所以第二种分类是按减法的性质来分的.3、数集的概念:把一些数放在一起，就组成了一个数的集合，简称数集.例如：2, 4, 6, 8,就是正偶数集.如图1-1所示的圈就表示负整数集.负整数集图1-1说明：（1）数集可以用大括号表示，也可以用圆圈（或封闭曲线）表示;（2） 一个数集内不能有两个相同的数;（3）一个数集内的数有无限多个时，我们不能全部写出，要用号.如非负整数集合0, 1, 2, 3, 4,;（4）所有的有理数组成的数集叫做有理数集；所有的整

5、数组成的数集叫做整数集；所有 的正数组成的数集叫做正数集；所有的正整数和零组成的数集叫做自然数集，也叫非负整数 集.4、数轴的概念:在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求:（1）在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点;（2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向;（3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示为1, 2, 3,；从原点向左，用类似方法依次表示t, -2, -3, .规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.如图1-2所示._4 -3 -2 -1 012 3 4图1.25、数

6、轴的画法:（1）画一条水平的直线；（2）在直线上适当选取一点为原点;(4)（3）确定向右为正方向，用箭头表示出来（箭头标在画出部分的最右边）;根据需要，选取适当的长度作为单位长度，从原点向右、向左每隔一个单位长度取点，依次标为1, 2, 3,；-1, -2, -3, 如图1.2所示.说明：画数轴要注意以下三点：（1）三要素缺一不可；（2）数轴是一条直线，不要画成 线段或射线；（3）单位长度要一致.6、数轴上的点与有理数之间的关系：（1）所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点并不都表示有理数.如数 轴上表示勿点的数就不是有理数（是无限不循环小数，不能化成分数，所以不是有理数）.（2）

7、正数可以用原点右边的点表示，反过来原点右边的点表示正数.负数可以用原点左 边的点表示，反过来原点左边的点都表示负数.零用原点表示，反过来原点表示零.（3）零是正数和负数的分界点.7、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.零的相反数是零本身.例如：-2与2,与上互为相反数.55相反数的几何意义：在数轴上位于原点两旁并且到原点距离相等的两个点所表示的两个 数互为相反数.注意：（1）相反数总是成对出现的，只能两个数互为相反数，对一个数而言是谈不上互 为相反数的.例如：说-2是相反数是错误的.（2） “只有符号不同的两个数互为相反数”中的“只有”指的是除符号不同外，其他完 全相同，并不是符号不同

8、的两个数是互为相反数.例如：-3与2符号不同，但它们不是互为 相反数.8、绝对值：绝对值的几何意义：一般地，数轴上表示数。的点与原点的距离叫做数。的绝对值，记作a绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.说明：（1 ）0既可以看作是0本身，也可以看作是。的相反数.数。的绝对值。="怠'°）;一 aa < 0）（2）无论是绝对值的几何意义，还是绝对值的代数意义，都揭示了绝对值一个重要性质 非负性，即a>a.注意：绝对值等于它本身的数是正数与零，易漏掉零；绝对值等于它的相反数的数是负数和零，易漏掉零.9、有理数的大小比

9、较：比较有理数的大小的方法有两种：(1) 利用数轴直观比较有理数的大小.数轴上，右边的数总比左边的数大；(2) 利用绝对值的知识比较有理数的大小.正数大于0,负数小于0,正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小.说明：在数轴上比较有理数大小比较直观，一目了然，但比较麻烦，而用绝对值比较有 理数大小比较方便，一般都采用.三、有理数的加减法1、有理数的加法法则：有理数加法法则：法则1：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.例如:(-2) + (-3) = -(|- 2| +1- 3|) = -(2 + 3) = 5 .法则2：绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝

10、对值 减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得零.法则3： 一个数同零相加，仍得这个数.说明：(1) 一个有理数由符号和绝对值两部分组成，法则1、2就是分别确定了和的符号 和绝对值.(2)互为相反数的两数相加得零；反之，如果两个数的和为零，那么这两个数互为相反 数.注意：进行有理数的加减运算时，首先确定用哪一条法则.2、有理数的加法运算律：(1)交换律：有理数的加法中，两数相加，交换加数的位置，和不变.即a + b = b + a.例如：(2) + 3 = 3 + (2) = 1.(2)结合律：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.艮p ("

11、+。) + c = 6z + 0 + c).例如:(-1) + 2 + (t) = ( 1) + 2 + (t) = -3.说明：为了简化运算过程，可运用运算:(1) 符号相同或分母相同的先相加.(2) 相加得零或相加得整数的先相加.注意：运算符号和性质号要分开，例如：3-(-4)中前一个“一”是运算符号，后一个“一” 是性质符号，不要出现“ 3-t”这样的错误.3、有理数的加减法则：有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.即a b = a , (b).例如：2 1 = 2 + ( 1) = 1 .说明：有理数的减法区别于小学的减法，在有理数中，利用相反数，减法可转化为加法.4、

12、有理数的加减混合运算：进行有理数的加减混合运算的步骤：(1) 把有理数的减法运算统一成加法运算；(2) 根据需要写成省略加号和括号的代数和的形式；(3) 灵活运用有理数加法法则和加法运算进行正确的、简便的计算.说明：统一成加法后，括号和加号可以省略.四、有理数的乘除法1、有理数的乘法法则：法则1：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.例如：(一2)x3 = (2x3) = -6, (_3)x(2) = 3x2 = 6.法则2：任何数同。相乘，都得0.例如：(5)x0 =。，0x(3) = 0.法则3：几个不是。的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数 时，积是负数.

13、例如：(1)x(2)x(3)x4 = 2x3x4 = 24, (_l)x(2)x(3)x(t) = 2x3x4 = 24 .法则4：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.例如：lx2x(-5)xox6 = 0 .说明：(1)法则1针对两个因数相乘，法则3针对多个不是0的因数相乘，法则4针对 至少有一个因数是0的几个因数相乘.乘法法则也是先确定结果的符号，再确定绝对值；(2)多个有理数相乘，要先根据因数的个数确定符号，负因数的个数是偶数个时为正， 奇数个时为负，再把绝对值相乘；(3) 在运算中要把小数化为分数，带分数化为假分数，便于约分.2、倒数的概念：倒数：乘积是1的两个数互为倒数.当时

14、，。与上互为倒数；当秫"0, 更0时，上与兰互为倒数.an m1 37例如：2与上，2与互为倒数.2 23说明：（1）由倒数的概念可知，正数的倒数仍为正数；负数的倒数仍为负数；（2）在小学我们知道，1的倒数等于1；比1大的数的倒数比本身小；比1小的数的倒 数比本身大.数的范围扩展到了有理数，有：-1的倒数等于-1； 0-1之间的数倒数比本身 小；小于-1的数倒数比本身大.3、有理数的乘法运算律：（1）乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等.即ab ba.112例如：一一x2 = 2x（）=.3 33（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把

15、后两个数相乘，积相等.即 （ab）c = a（bc）.例如:（-2） x 3 x （_，） = -2 x 3 x （-）.（3）乘法的分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数 相乘，再把积相加.艮p a（b + c） = ab + ac.例如：3x（1 + 1） = 3x1 + 3x-= 3 + 1 = 4.334、有理数的除法法则：法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于。的 数，都得0.五、有理数的乘方1、乘方的意义:定义：求个相同因数的积的运算叫做乘方.g8 =冲,读作。的次方，乘方的结果叫做幕，即。叫做幕.q 也读作白的次个a幕，。叫做底数，叫做指数.说明：（1） 一个数可以看作是自身的一次方；（2）指数是2时也读作平方，指数是3时也读作立方.注意：当底数是负数或分数时，底数要用括号，以免造成误解.2、乘方的法则:(1)负数的奇次幕是负数，负数的偶次蓦是正数.(2)正数的任何次幕都是正数，0的任何正整数次幕都是0.说明：根据有理数乘方的法则可知:(1)互为相反数的两个数的奇次幕仍然互为相反数，即若口 +。= 0,则。2+1 +人2"1 =0(为自然数);(2)互为相反数的两个数的偶次幕相等，即