高中数学第1章导数及其应用1.2导数的运算1.2.1常见函数的导数讲义含解析苏教选修2_2

1、1.2.1常见函数的导数几个常见函数的导数入H鲁輯已知函数2 f(x) = c, f(x) = x, f(x) = x , f(x) = x, (5)f(x)=五.问题1：函数f(x) = x的导数是什么？提示Ay = f(x + X) f(x) = x+ x x = 1A xA xA x'当 A xt 0 时，At 1,即卩 x '= 1.A x1问题2:函数f(x)=-的导数是什么?xA y f(x + A x) f(x)x+ A x xA x =A x= A xx (x + A x)1x(x + A x) A x= x2 + x A x，当 A xt 0 时,1x2.A

2、y1tA xx2'1. (kx+ b) '= k( k, b 为常数)；2. C'= 0( C为常数);3. (x) '= 1 ；24. (x) '= 2-;165.3,2(X) '= 3x ；6.1X2 ；7.基本初等函数的导数公式1 . (Xa) ' = a X1( a 为常数)；X .X2. (a)= a ln_ a(a>0，且 a* 1)；(a>0,且 a* 1)；1 13. (log aX)' = Xlogae =亦X .X4. (e )= e;, 15. (In X)= x；6. (sinx) '

3、= cos_X;7. (cos x)' = sin x.归纳-升华*领悟1函数f (x) = log ax的导数公式为f' (x) = (log ax)'=，当a= e时，上述公式就x ln a1变形为(In x)'= -，即f (x) = ln x是函数f (x) = log ax当a= e时的特殊情况.类似地， X还有 f (x) = a 与 f (x) = e*.鬲频考点题组化.名师一点就通对应学生用书P7tzai|求函数的导数例1求下列函数的导数. y=x8；i( .函数 y= sin x 的导数是. (n 解析：y = sin x = cos x,所以

4、 y ' = sin x.)y=x3；(3) y=x x；(4) y = log 2X.思路点拨解答本题可先将解析式化为基本初等函数，再利用公式求导.精解详析(1) y '= (x8) '= 8x7;(2)y ' = x3 ' f 一 3 x 答案：sin x 2.下列结论中不正确的是 . x4;3313 x(3) y' = (x ,x)' = (x'=2 x2= 2 ；i y ' = (log 2x)'=.) x In 2一点通用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时应根据所给函数的特征，恰当地选择

5、求导公式，有时需将题中函数的结构进行调整，如根式、分式转化为指数式，利用幕函数的求导公式求导.7t=cos7t解析：正确；sin=0,不正确；对于,1 31=-x-=，正确；正确.2 2 2x x答案：3求下列函数的导函数.(1) y = iox; y = log 2x；I x x 2 ；(4) y = sin + cosq丿-1.解：(1) y，= (10x) '= 10xln 10 ；xln1xln 2 y=4 3x3 = x4,-y'Fx=4x-4x x 2 y= (sin+ cos) - 12xx x2x=sin + 2sin cos2 + cos? 1 = sin x

6、,/ y'= (sinx) '= cos x.I求函数在某一点处的导数1例2求函数f(x)= 在x= 1处的导数.饭5先求导函数，再求导数值.思路点拨精解详析f ' (x) =5最后将变量的6.一点通求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导,值代入导函数便可求解.4. 若函数 f (x) = 3x，贝U f ' (1) =.解析:f ' (X)=(眾)，=(x3)，= *X - 31f ' (1) = 3.答案：15. 若函数 f (x) = sin x,则 f' (6 n ) =解析：t f ' (x) = (sin

7、 x) ' = cos x. f ' (6 n ) = cos 6 n = 1.答案：16. 已知f(x)=丄且f '=-舟，求n.1111 n +1(x) '=X 一 1 = X-nn nn n f' (1)=1n，由(1)扌得一12，得2.e1求切线方程例3已知曲线方程y= x2，求:(1) 曲线在点A(1,1)处的切线方程;过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程.(2) B点不在曲线上，进而求出切点坐标，得到的切线方程为y 1 = 2( xyo).思路点拨(1)点A在曲线上，故直接求导数，再求直线方程； 故解答本题需先设出切点坐标，再利用导数的几何

8、意义求出斜率，切线的方程.精解详析y '= 2x,当x = 1时，y '= 2,故过点A(1,1)1)，即 2x y 1 = 0.(2) T耳3,5)不在曲线y= x2上，可设过B(3,5)与曲线y= x2相切的直线与曲线的切点为 (Xo-y = 2x,当 x= xo 时，y '= 2xo.故切线方程为 y x2= 2xo(x xo).又直线过B(3,5)点， 5 x2= 2xo(3 xo).即 xo 6xo+ 5 = o.解得Xo= 1或Xo= 5.故切线方程为 2x y 1 = 0或10x- y 25 = 0.一点通(1) 求切线方程是导数的应用之一，有两种情况：

9、求曲线在点P处的切线方程，P为切点，在曲线上； 求过点P与曲线相切的直线方程，P不一定为切点，不一定在曲线上.(2) 求曲线上某点(xo, yo)处的切线方程的步骤： 求出f'(X。)，即切线斜率； 写出切线的点斜式方程； 化简切线方程.(3) 求过点P与曲线相切的直线方程的步骤： 设出切点坐标为(xo, yo); 写出切线方程y yo = f' (xo)( x xo)； 代入点P的坐标，求出方程.7. 已知直线y= x+ a与曲线y = In x相切，则a的值为.1 1 一解析：设切点为F( xo, yo) , T y'= x，由题意得xo= 1，二xo= 1,-点P

10、的坐标为(1,o), 把点F的坐标代入直线y = x+ a,得a= 1.答案：1&求曲线y = 2x2 1的斜率为4的切线的方程.解：设切点为 F(xo, yo), y'= 4x，由题意知，当 x= xo时，y'= 4xo= 4,所以xo= 1.当xo= 1时，yo = 1,.切点P的坐标为(1,1)故所求切线的方程为y 1= 4(x 1)，即4x y 3 = 0.右法-规律-亦结1. 对公式y = xn的理解：(1) y = xn中，x为自变量，n为常数；(2) 它的导数等于指数 n与自变量的(n 1)次幕的乘积.公式中 nQ,对n R也成立.2在应用正、余弦函数及指

11、数、对数函数的求导公式时应注意的问题：(1) 对于公式(sin x) '= cos x, (cos x) '= sin x，一要注意函数的变化，二要注 意符号的变化.11(2) 对于公式(In x)'=-和(ex) '= ex很好记，但对于公式(log ax) '= Tog ae和(a)'X应用=axln a的记忆就较难，特别是两个常数log ae与In a很容易混淆.课下训练经典化.贵在触类旁通对应课时跟踪训练(三)一、填空题1.已知 f(x) = x"，若 f ' ( 1) = 4,贝U a 的值是解析：T f(X)= x，

12、二 f '(X)= a x"T,a 1 I f ( 1) = a ( 1)= 4. I a = 4.答案：412. 过曲线y = 1上一点P的切线的斜率为-4，则点P的坐标为 解析：设 P(X0, ya)，贝y f '(X。)= x2 = 4.所以 xo=± 2，所以 P 2， 2 或 P 2， 2 .答案:3. 已知 f(x) = x2, g(x) = x3，则适合方程 f' (x) + 1 = g' (x)的 x 值为2解析：由导数公式可知f' (x) = 2x, g' (x) = 3x .所以 2x+ 1 = 3x2,即

13、卩 3x2 2x 1 = 0.解之得x = 1或x = 3.1答案：1或34. 设函数 f (x) = log ax, f' (1) = 1，则 a =.1 1 解析：T f ' (x) =, - f' (1) = 1.x In aIn a1'In a= 1，即 a=.e答案： 2e5. 已知直线y= kx是曲线y = In x的切线，贝U k的值等于1解析:T y' = (In x)'= -，设切点坐标为(xo, yo),X则切线方程为y yo= 和 xo).即 y = xox+ In xo-1.由 In xo- 1 = 0，知 xo= e.答

14、案：二、解答题6求下列函数的导数. y=ig 2 ；x y=2 ；x22X(4) y = 2cos 一1.解：(1) y/= (Ig 2) '= 0；(2) y ' = (2X) ' = 2xln 2 ;3、，3 1(3) y = (xR=产；2x,(4) / y= 2cos 1 = cos x,= y = (cos x)= sin x.7已知点P( 1,1)，点Q2,4)是曲线y = x1 &求曲线y=;和y= x在它们交点处的两条切线与 x轴所围成的三角形的面积.上的两点，求与直线PQ平行的曲线y = x2的切线方程.2解：t y ' = (x)' = 2x,设切点为 Mxo, yo)，则当x= xo时，y ' = 2x0.4 1又 PQ勺斜率为k = 1,2 + 1而切线平行于PQk = 2x0= 1,1n即