多维随机变量题库

1、#00001 F(x,y)=A(B+arctg 抑嘶 G)1) 求常数A , B , Co2) 求 P0<X<2,0<Y<3*00001解:1第一次摸到红球0第一次摸到白球1第二次摸到红球0第二次摸到白球F( ,) A(B -)(C -) 1C -F( ,y)A(B-)(C arctg却0解得：B -2xA 1F(x,)A(Barctg §)(c2)0A 2F(x,y)2(2arctg )(-2 2arctg 舟)3P0 X2,0 Y3F(0,0)F(2,3)1F (0,3) F(2,0) -16#00002袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次，令求(X

2、,Y)的分布律。*00002解：显然X、Y的全部可能取值为 X=1，0 ； Y=1，0_ 2而PX=1，Y=1=P两次均摸到红球= C5，同理计算其它的Pj，故有(X,Y)的分布律Y X1011/103/1003/103/10为:#00003c 0 | x | y0 其它fx, y设(X,Y)具有概率密度1,1)求常数 c；2)求 PY>2X；3)求 F(0.5,0.5)*00003D为(X,Y)的非0定义域解：1)如下图区域 由归一性Cdxdy 1dy cdx 1 c 1D0 y2)Y2X见如图区域Gy1 21dxdy Sg其中Sg是G的面积G3PY 2X 1dxdy dy 1dx或4

3、G0 y3) 由F(x,y)的几何意义，可将F(0.5,0.5)理解为(X,Y)落在X 0.5,Y 0.5区域(见如图G1)上的概率。故有1 yF(0.5,0.5) PX0.5,Y0.5G1dxdy0dy1dx -4y#000041x exe y0 x yF(x,y)1e yye y0 y x(X,Y)的分布函数为0其它求Fx(x)与Fv(y)。*000041e x x 0解：Fx(x)=F(x,)=0x 01yyeyey0FY(y)=F(,y)=0y0#00005(X,Y)的分布函数如 2.1.求X及Y的边缘概率密度。*00005解法1:可先求出(X,Y)的概率密度，再由式(3.2.1)和(

4、3.2.2)求出X与Y的边缘概率密度f(x,y)2F(x,y) x ye y 0 x y0其它fx(x)f (x, y)dye ydy x 0x ex 0x0x 00x 0fY(y)f (x,y)dxye ydx y 00ye y0y 0其它0其它解法2:2.1.已算出了Fx(x)及 Fv(y)，那么xex0ye y y 0fx(x)=F'x0 其它0其它(x,)=fy(y)=Fy'(y)=#00006(X,Y)的分布律为xy1011/103/1001/103/10求X、Y的边缘分布律*00006解：由式(325)可得：xy10pi.11/103/102/503/103/103

5、/5p.j2/53/5#000071Xyexe0 x yF(x,y)1yyeye0 y x(X,Y)的分布函数为0其它其问X与Y独立吗?*000071 e x x 0解：Fx(x)=F(x,)=0X 01 e y ye yy0FY(y)=F(,y)=0y0F(x,y) Fx(x)FyW)故X与Y不独立。#00008随机变量(X,Y)的分布律为x1200.150.151且知X与Y独立，求、的值。*00008解：首先， + =1-0.15-0.15=0.7又 X 与 Y 独立，由定理 3.2.3. =( + )(0.15+ )=0.35=0.7-0.35=0.35#00009甲乙约定8:00 9:

6、00在某地会面。设两人都随机地在这期间的任一时刻到达，先到者最多等 待15分钟，过时不候。求两人能见面的概率。*00009解：设甲于8点零X分钟到达、乙于8点另Y分钟到达。由题意，X与Y独立且XU(0,60)(分)，丫 U(0,60)(分)，两人能见面等价于|X Y| <15。为求p|X-Y|<15需求出(X,Y) 的概率密度。由定理 3.2.2.fx(x)600 x 60其它fY(y)600y其它60f(x,y) fx(x)fY(y)1602060,0y 60其它p|X-Y| 15dxdy|x y| 15 602dxdy60Sg602丄 45220.4375#00010(X,Y

7、,Z)的概率密度为f (x,y,z)Ae(x 2y3z)x 0,y 0,z 0其它试判断(X,Y,Z)的独立性。*00010由归一性f (x, y, z)dxdydzAe (x2y 3z)dxdydz1解:A=6求各一维边缘密度函数f (x,y,z)dydzAe (x2y 3z)dydzfx (x)=类似可得fY(y)2e 2yfz(z)3e 3y z6e(x 2y 3z)fx(x)fY(y)f z(z)=故X，Y，Z相互独立。0, y '其它0,z=f(x,y,z)#00011X与下一代只数 Y的设某昆虫的产卵数X服从参数为50的泊松分布，又设一个虫卵能孵化成虫的概 率为0.8,且各

8、卵的孵化是相互独立的，求此昆虫的产卵数 联合分布律。i 0,1,2,.50i 50 e 解：此题随机变量 X的分布律R?:Px=i= i!由题意易见，该昆虫下一代只数分布，即Y|X=i B(l,0.8),故有丫在X=i的条件下服从参数为i,0.8的二项PY j |X i Cij0.8i0.2i j j又由式(3.3.2),PX=i,Y=j=P(Y=yPX i,Y j Cij0.8j0.2i j 竺 e 50j|X=xiPX=x i,于是，(X,Y)的分布律为:i 0,1,., j 0,1,.,i#00012(X,Y)的概率密度为f(x, y)21 2Txyx2 y 1其它(1)求条件概率密度f

9、y|x(y|x)求条件概率 PY>1/3|X=-1/3*0001221 2x ydy 1 x 1 fx(x)f (x, y)dy 4解 :(1)0其它由式(3.3.5)当-1<x<1，x 1 时21x2(18x41 x 1其它fY|Xf(x,y)fx(x)1 x40x2y 1其它X10PX0.40.6#00013随机变量X与丫独立，其分布律分别为Y-101Py0.20.30.5分别求随机变量Z=max(X,Y)，与W=X-Y的分布律。并求(Z,W)的分布律。*00013解:作下表，表中第一行是自变量(X,Y)的全部可能取值点；第二行是第一行各取 值相应的概率；第三、第四行分别

10、是第一行各取值点相应的Z、W的取值。Z01Pz0.30.7PZ=0=0.12+0.18=0.3于是，Z、W的分布律分别为:W-1012Pw0.120.260.420.2(X，Y)(1,-1)(0,-1)(1,0)(0,0)(1,1)(0,1)Pi,j0.080.12,°12 n0.180.20.3Z=max(X,Y)101011W=X+Y0-11021从上表可以确定Z的取值域为0,1,W的取值域为-1,0,1,2.函数变量取某值 的概率等于该值在表中相应概率之和。例如设二维随机变量(X,Y)在矩形域G=(x,y)|0<x<2,0vyv1上服从均匀分布，试求边 长为X和Y的

11、矩形面积S的概率密度。*00014解：此题显然是(X,Y)的分布，求S=XY的概率密度问题。(X,Y)的概率密度为图3.4f(x,y) 0；(x,y)0(x,y)s=PXY sS的分布函数为Fs(s)=PS 当 s 0 时，Fs(s)=0 当 s 2 时，Fs(s)=1现在，设0<s<2,曲线xy=s与矩形G的上边教育点(s,1)位于曲线xy=s上方的 点满足xy>s,位于曲线xy=s下方的点满足xy<s，于是Fs(s)=PS s=PXY s=1-PXY s2 11 0.5xydxdy 1xy ss0.5 dx dy (1 ln 2 ln s)2s xs于是fs(s)0

12、.5(ln 20In s)0 s 2其它#00015设随机变量*00015解：由题意，随机变量X、丫的概率密度分别为：2 2xy1 V1 Vf x (x) efY(y) e由(3.4.3)式，随机变量Z=X+Y的概率密度为：X2(z x)2dxX与丫独立且均服从标准正态分布，求 Z=X+Y的概率密度。fz(z) fx(x)fY(z x)dx(z x)e 21 如 y2 2xz x2)1e 2e2 2兰4z1(x -) ez2z24.冷故 Z N(0,2)般地，设XX, -Xn独立，且XiN(i, i2)那么nXii 1nN(i 1ni, i2)i 1#00016设某公司有变量，求这*00016

13、解：设第i件产品的成交价为 Xi,那么Xi N(1000,1002)，i=1,2, -n100件产品进行拍卖，每件产品的成交价为服从正态分布100件产品的总成交价不低于 9.9万元的概率。N(1000,1002)的随机100又由于Xl,X2, Xn独立，总成交价Xj服从N(10,0.12)(万元)的分布i 1，故有9.9 10P(X 9.9)1()0.84130.1故总成交价不低于 9.9万元的概率为#00017设系统L由两个相互独立的子系统 与丫，它们的概率密度分别为84.13%Li,L2串联而成并，设Li,L2的寿命分别为Xe x x 0fY(y)0 x 0y 0y 0其中>0,&g

14、t;0,试写出L的寿命Z的概率密度.*00017解：由于当L1, L2中有一个损坏时，系统L就停止二作，所以这时L的寿命为Z=mi n(X,Y)Y得分布函数分别为fx(x)由得,Fx(x)FY(y)Z= min(X,Fz(z)Y)的分布函数为e(0)z z 0z 0于是,Z= min(X ,fz(z)( )e0Y)的概率密度为()z#00018设系统L由两个相互独立的子系统 L1,L2并联而成并, 与丫，它们的概率密度分别为设L1,L2的寿命分别为Xxex 0fY(y)0x 0y 0y 0其中>0,>0,试写出L的寿命Z的概率密度.*00018解：由于当且仅当都损坏时，系统fx(x

15、)L才停止工作，所以这时L的寿命Z为Z=max(X,Y)Z的分布函数为zx ,.e )(1Fz(z)=Fx(z)Fy(z)=于是,Z=maxX,Y的概率密度为fz(z)e)z2yfY|X(y|1/3)1丄810其它11 2y11/31 81dy 0.9#0001912分设随机变量X，Y的联合密度函数为f(x, y)ycxe , 0 x y其它0,1求常数*000192求关于X和关于Y的边缘密度函数;解1根据f (x, y)dxdy0dyyCxe0ydx(4分)(2)fx (x)xe0,fY(y)#0002012分设随机变量ydyxxe0,(8 分)y y .xe dx00,1y e20,x，y

16、的联合密度函数为(12 分)yf(x, y)cxe , 0 x y0,其它1求常数 C； 2求 fXYx| y, fY|Xy|x ； 4求x，Y的联合分布函数；5 求Z=X+Y 的密度函数；6求 M=max X，Y 和 m=max X，Y的密度函数；7求 P X+Y<1 。*00020解1根据f (x, y)dxdyy0dy 0 Cxeydxydyde2(4分)fx(X)xe0,ydyxxe0,fY(y)xe ydx0,0,fxY(x| y)(2)f(x,y)fY(y)2x2 ,y0,其他fxY(y |x)f (x, y)fx(y)exy0,x y其他(8 分)(12 分)#000211

17、6分设随机变量X, Y的联合密度函数为cxe y, 0 x y0,其它f(x, y)1求常数e ； 2求x，y的联合分布函数；*00021解1根据 fx,ydxdy 1 得dy Cxe ydx Cy2e ydy C 1(4分)0022(2)当 x<0 或 y<0 时，F(x, y) P(Xx,Y y) 0(6分)F(x, y)P(Xx,Y y)yvdv ue vdu0 01 y 2v e2 0vdv 1扌 y2e yye y e y 1(1 y2 y 1)ey 分2 (8 分)当0 y x时,时F(x, y) P(X x,Y y)x ydu ue0udvu(ee y)du1 (x1

18、)e-x2ey2(12 分)因此X , Y的联合分布函数为0,F(x,y)(x 1)e(16 分)#0002212分设随机变量的联合密度函数为f(x, y)cxe y0,0 x y其它(1)求常数*000222 求Z=X+Y的密度函数解1根据f (x, y)dxdy(2)得当因此y0dy 0 Cxefx(X)fY(y)ydxydy(4分)xe0,ydyxxe0,xe ydx 00,1y e20,根据两个随机变量和的密度函数公式fz(z)f (x, z x)dx(6分)z<0 时，fZ (z)fZZfZZz2xe0(z而当z>0时x)zdx ex2xe0dxz(：1)e2(10 分)

19、(f0,z1)e2,(12 分)#0002314分设随机变量X, Y的联合密度函数为f(x, y)ycxe , 0 x y0,其它(1)求常数 C; (2 )求 M=max (X , Y )和m=max (X , Y)的密度函数*00023口f(x, y)dxdy 1中解(1)根据得dy yCxe ydx Cy2e ydy -(3)C C 10 0 2 2( 4 分)2当 x<0 时，FmX0。当 x> 0 时,Fm(x)P(M x)PCX x,Y x)xduxuevdv Xu(eu e x)du1 21( xx 1)e x0u026分即01,当x0时Fm(x)1(1 2(xx1)

20、ex 当 x0时2(8 分)所以随机变量M=max (X,Y)的密度函数为fMX12 xx e ,当x0时20,当x0时当x<0时，Fm (x)P(mx)0当x>0时，Fm(x)P(m :x)1 P(m x)1 P(Xx,Y x)1vdv uevdu彳1 21ve vdv 1(丄 x2 x 1)e %x02 x2(12 分)因此m的密度函数为12 xx e ,当x0时fm(x)20,当x0时(14分#0002414分设随机变量X, Y的联合密度函数为f(x, y)cxe y, 00,x y其它(1)求常数*00024(2 )求 M=max(X , Y )和 m=max (X , Y

21、)的密度函数(1)根据f(x,y)dxdy(2)y0dy 0 Cxe当x<0时,Fm(x)xdu0Fm(x)所以随机变量fMXydx C2Fm (x)P(M x)xuedv(2xM=max1 2x e20,ydy号°。当x>0时,P(Xx0u(e0,(4分)(X，x,Y x)du/ 1 2(2xx 1)e(6分)1)ex(8 分)的密度函数为当 x<0 时，Fm(X) P(mx)当x>0时,Fm(x)P(m x) 1因此mdvVue vdu0P(m2 xx)的密度函数为fm(x)1x e2x,当x当x1 P(Xvdv 1x,Y(1 2(2xx)x 1)e(12 分)分#0002510分设随机变量的联合密度函数为f(x, y)cxe y0,0 x y其它(1)求常数 C; (2 )求 P (