大一经典高数复习资料经典经典全面复习

1、高等数学本科少学时类型第一章函数与极限第一节函数O函数根底高中函数局部相关知识O邻域去心邻域第二节数列的极限O数列极限的证明【题型例如】数列证明lim % J = ax_:【证明例如】；-N语言1 由xn a c呂化简得n >gg , N 二 g ；2. 即对-；0 , N - |g ；，当 n a N时，始终有不等式xn -a c e 成立，.lim 丸二 ax_ .第三节函数的极限O x > Xo时函数极限的证明 【题型例如】函数f X，证明 lim f x = AX xo【证明例如】-语言1 由fX -A V 8化简得0c xx0 eg名， = g ；2即对-；0, 二g ；

2、，当 0cx-x0 c6时，始终有不等式 f x A c名成立，lim f x = AO x:时函数极限的证明 【题型例如】函数f X，证明lim f x = AX J：:【证明例如】；-X语言1由 fxA£ e 化简得 x>gg ，X =g ；2 即对 - ；0， X 二 g ；，当 x X 时，始终有不等式fx成 立，. lim f x = AX -第四节无穷小与无穷大O无穷小与无穷大的本质函数f X无穷小二lim f x=0 函数f x无穷大二lim f x二：O无穷小与无穷大的相关定理与推论 定理三假设f x为有界函数，g x为无穷小，那么lim | f x g x=

3、0定理四在自变量的某个变化过程 中，假设f X为无穷大，那么f ' X为 无穷小；反之，假设f X为无穷小， 且f x = 0 ,那么f -1 X为无穷大【题型例如】计算：Ilim | f x g x 或X r ：-)1 . f (x| < M .函数 f (x j 在的任一去心邻域U x0内是有界的； f x| < M，.函数 f xj 在x D上有界；2. lim g x；=0 即函数 g x 是 x x0时X >x0的无穷小；lim g x =0 即函数 g x 是 x； =:时 X ：:的无穷小；3. 由定理可知lim f x g x =0xJ!imLf x

4、g x ：0第五节极限运算法那么O极限的四那么运算法那么定理一加减法那么定理二乘除法那么关于多项式p x、q x商式的极限运 算p(x )= a0xm + aixm，+ + am 、q(x )= b0xn + “xn* 中+ bn贝U有lim以= «色n = mXYqxbo0 n >m特别地，当lim丄-不定型g x0时，通常分子分母约去公因式即约去 可去间断点便可求解出极限值，也可 以用罗比达法那么求解【题型例如】求值lim ：一3Tx9【求解例如】解：因为Xr 3，从而可得 x=3，所以原式x3x31二 lim 2 limlim x 3 x -9 x 3 x 3 x -3

5、x 3 x 3JIT 一x ：- 0, sinx ： x tanx 二I 2丿，sinxlim1x >0 x(特别地，lim sin(x-Xo)=1 )To X X0O单调有界收敛准那么(P57) ()1 IX第二个重要极限：lim V 1 ' -eX .丿(一般地，lim | f xlim f x ： |-:,其中lim f x j，0 )【题型例如】求值:lim IX，,2x 1X 3其中x=3为函数f x的可去间x 9断点倘假设运用罗比达法那么求解详见第三章 第二节：解：0.x-3 x3lim 2 lim :X 】3 X9 L x 32x -9O连续函数穿越定理复合函数的极

6、限 求解定理五假设函数f x是定义域上的 连续函数，那么， 悭®X.lim丄x3 2x 6【求解例如】第七节 无穷小量的阶无穷小的比拟。等价无穷小1.U sinU tanU arcsinU arctanU ln1 U eU -12.丄U2 1_cosU2乘除可替，加减不行【题型例如】求值：limn1 * “1*【求解例如】第八节函数的连续性O函数连续的定义O间断点的分类P67X2 3xlim fX %【题型例如】求值： 啊、【求解例如】第一类间断点左右极限存在丿第二类间断点'跳越间断点不等、可去间断点相等I无穷间断点极限为旳特别地，可去间断点能在分式中约 去相应公因式lim

7、2=，limXT X2 -9 x 3第六节极限存在准那么及两个重要极限 O夹迫准那么P53 第一个重要极限：lim沁=1Y Xli2 -x -9r 2x小ex v 0、a+ x x K o应该怎样选择数a，使得f x成为在R上的连续函数？【求解例如】【题型例如】设函数fx=.建立辅助函数函数x = f x -g x -C在闭区间a, b 1上连续；.a ； b ： 0 端点异号.由零点定理，在开区间 a,b内至 少有一点，使得：=0 ,即f g C =0 0 ：1.这等式说明方程f x二g x在 开区间a,b内至少有一个根章导数与微分第一节导数概念O高等数学中导数的定义及几何意义P832.3.

8、4.【题型例如】函数fx=ex +1,ax +b或：过y = f x图像上点p, f a处的 切线与法线方程【求解例如】1 . y = f x ,2.切线方程：法线方程：y |y-1 xy =1 x v = T 1 x-Cf 0- re20=e1 . : f 0叫=a 0：；=af 10 二 a2. 由连续函数定义lim f x = lim f x = f 0 = ex_0 -x.0 亠 a 二 e第九节 闭区间上连续函数的性质 o零点定理【题型例如】证明：方程f x;=g xC至少有一个根介于a与b之间【证明例如】1 .x±°在X =0处可导，求a，bx 0【求解例如】1

9、 . . f_ 0 =e 二1， f0 )=a'If 0 -e-e 1 =2f 0 二bf 0 =e° 1 =22. 由函数可导定义廿二;0 f0 a -1f 0_=f 0= f 0 =b =2 a =1,b =2【题型例如】求y二fx在x = a处的切线 与法线方程a x a 1 “y_f a 右 x_a第二节函数的和差、积与商的求 导法那么O函数和差、积与商的求导法那么1 .线性组合定理一：:u 二 L Vu I -v特别地，当a = B =1时，有U 二 v = u 二 v2. 函数积的求导法那么定理二：uv二 u v uv3. 函数商的求导法那么定理三：u vuvvv

10、2第三节反函数和复合函数的求导法那么O反函数的求导法那么【题型例如】求函数fx的导数 【求解例如】由题可得f x为直接函数， 其在定于域D上单调、可导，且 fxj*fXO复合函数的求导法那么 【题型例如】设y = in earcsin厂 厂？,求y【求解例如】 第四节高阶导数F o fc牡=x卩或【题型例如】求函数y = ln 1 x的n阶导数1 【求解例如】y = V x ,第五节 隐函数及参数方程型函数的导 数O隐函数的求导等式两边对X求导 【题型例如】试求：方程丫 =x e所给定 的曲线C : y = y x在点1 _e,i的切线 方程与法线方程【求解例如】由y=x - ey两边对x求导

11、即y =xey化简得y =1 ey y11 -e111 -e1切线方程：y 一1 x -1 e1 e法线方程：y _1 = _ 1 _e x -1 e。参数方程型函数的求导【题型例如】设参数方程. 2 【求解例如】1.=2.d-y匚dx At dxAt第六节变化率问题举例及相关变化率 不作要求第七节函数的微分O根本初等函数微分公式与微分运算 法那么第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理。引理费马引理O罗尔定理【题型例如】现假设函数f x在0,二1上连 续，在0,二上可导，试证明：0,二，使得fco< r sin =0成立【证明例如】1. 建立辅助函数令' x二f x sinx

12、显然函数' x在闭区间0,二1上连 续，在开区间0,二上可导；2 .又：0 二 f 0 sin0 =0即0：门7 03. 二由罗尔定理知I - jsin：=0 成立"0,二，使得f I - |COS fO拉格朗日中值定理【题型例如】证明不等式：当x 1时，xe e x【证明例如】1. 建立辅助函数令函数f X = ex， 那么对-x 1，显然函数f x在闭区间 1,x 1上连续，在开区间1,x上可导， 并且 f x;= ex;2. 由拉格朗日中值定理可得，:X八;11,x 1使得等式ex - e1 r x -1 e成 立，.又T e - e1， x 11e - e >

13、x -1 e e x - e，化简得ex e x，即证得：当x 1时，xe e x【题型例如】证明不等式：当x 0时，In 1 x : x【证明例如】1. 建立辅助函数令函数f x = In 1 x，那么对- x 0，函数 f x在闭区间l.0,x 1上连续，在开区1间0,二上可导，并且X二2. 由拉格朗日中值定理可得，- 0,x 1使得等式1 、 In 1 x -In10x-0 成立，1化简得In 1 x x，又T1 + -l-0,x 1,In 1 x ： 1 x = x，即证得：当x 1时，ex e x第二节罗比达法那么O运用罗比达法那么进行极限运算的基 本步骤1. 等价无穷小的替换以简化

14、运算2 判断极限不定型的所属类型及是 否满足运用罗比达法那么的三个前 提条件A.属于两大根本不定型0,二且满0旳足条件，那么进行运算：f xf xlimlimx a g x x a g x再进行1、2步骤，反复直到结果得 出B. 不属于两大根本不定型转化为基 本不定型0 ；型转乘为除，构造分式【题型例如】求值：lim x：Tnx【求解例如】O运用罗比达法那么进行极限运算的基 本思路通分获得分式通常伴有等价无穷小的 替换取倒数获得分式将乘积形式转化为分 式形式取对数获得乘积式通过对数运算将指 数提前第三节泰勒中值定理不作要求 第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性 O连续函数单调性单调区间【题型例如

15、】【求解例如】一般地，lim°xI nx 一=0，其中:J R:-：型通分构造分式，观察分母【题型例如】求值：lim -1T Isin x x 丿试确定函数f x =2x'-9x2 12x-3 的单调区间【求解例如】0 00 x -sin x1 - cosx 0lim =limlimL x Q _2 ' x 0 2x L x 0x200型对数求极限法【题型例如】求值：lim xx0-COS.limT2x【求解例如】1. v函数且可导二 f'(x)=6x2-18x + 122. 令 f'(x)=6(x_1)(x_2)=0,解 得：xi = 1, x2 =

16、 2sin x3.(三行表)f x在其定义域R上连续,2极大 值极小 值【求解例如】解：设y =xx,两边取对数得：In y =1 n, ln x =xln x = 丄xanInx去(In x &丿对对数取0时的极限:lim In y =lim lim匸0人J * 0 1 L 0x1=lim xlim x =0，从而有 lim y =lim elnyx 0 1x一0x一0x 02x1:型(对数求极限法)1【题型例如】求值：IJm (cosx +sin x Y【求解例如】二0型对数求极限法1屮【题型例如】求值：lim 1tanxxT &丿oO4. A函数f x的单调递增区间为 ,

17、1,2 =;单调递减区间为1,2【题型例如】证明：当x 0时，ex x 1【证明例如】1.构建辅助函数设x二ex-x-1，x 0e0 =2.: x=eX -10， x 0xHO =03 .既证：当x 0时，ex x 1【题型例如】证明：当x 0时，In 1 x x【证明例如】1.构建辅助函数设x = In 1 x -X， x 02. lx 二1 ： 0， x 0丿1 +xx r 0=03 .既证：当 x 0 时，In 1 x :： xO连续函数凹凸性【题型例如】试讨论函数y =1 3X2 -X3的单调性、极值、凹凸性及拐占八、【证明例如】21y =-3x +6x = -3x(x-2)'

18、 y "= -6x +6 = -6(x -1)I y -3x x - 2 =02. 令y.解得:y =-6(x-1)=0X1 0, X2 = 2X =13. (四行表)那么函数f x在闭区间l.a,b 1上的最 大值M满足：M 二 maxf a ,Xmi,xm 2,Xm3,，xMn, f b ?7设函数f x的定义域为D，如果Xm的某个邻域U Xm 二D，使得对-U Xm，都适合不等式f x f Xm，我们那么称函数f x 在点"xm, f Xm1 处有极小值f Xm ；令 XmL Xm1, m2 , Xm3，,Xmn p>那么函数f x在闭区间l.a,b 1上的最小

19、值m满足：m=mi n：f a ,Xm1,Xm2,Xm3,., Xmn, f b /7【题型例如】求函数f xi=3x-x3在丨-1,31上的最值函数函数函数f x在其定义域-1,31上连极小值极大值4.又t f -1 - -2, f 1 = 2, f 3 - -184. 函数y二1 - 3x2 - x3单调递增区间为0,1, 1,2单调递增区间为=,0 , 2,；y =1 3x2 - x3的极小值在x = 0时 取到，为f 0 =1,极大值在x=2时取到，为f 2 =5 ；y =1 3x2 -x3在区间-：,0 , 0,1 上凹，在区间1,2, 2, ：上凸;y =1 3xx3的拐点坐标为1

20、,3第五节函数的极值和最大、最小值 O函数的极值与最值的关系 设函数f x的定义域为D，如果Xm的某个邻域U XmD，使得对-U xm，都适合不等式f xf xm ，我们那么称函数f x在点XM,f xm处有极大值f Xm ； 令 Xm、Xm 1, XM2 ,Xm 3,，XMn P【求解例如】1.v函数续，且可导 f x3x2 32 .令 f x = -3 x-1 x 1 = 0 ,解得：为-1,x2 =13. 三行表- f Xm/f 1=2,f Xmin "318第六节 函数图形的描绘不作要求 第七节 曲率不作要求 第八节方程的近似解不作要求 第四章不定积分第一节不定积分的概念与性

21、质 O原函数与不定积分的概念 原函数的概念：假设在定义区间I上，可导函数 F x的导函数为Lx，即当自变量 xT时，有F x=fx或dF x=f x dx成立，那么称F x 为 f x的一个原函数原函数存在定理：如果函数f x在定义区间I上连 续，那么在I上必存在可导函数F x使 得r x =f x，也就是说：连续函 数一定存在原函数可导必连续不定积分的概念在定义区间I上，函数f x的带 有任意常数项C的原函数称为f x在 定义区间I上的不定积分，即表示 为： fxdx=Fx C 称为积分号，f x称为被积函 数，f x dx称为积分表达式，x那么称 为积分变量O根本积分表O不定积分的线性性质

22、分项积分公式第二节换元积分法O第一类换元法凑微分dy f x dx的逆向应用【题型例如】求 J_2dx a +x【求解例如】解:宀【题型例如】1 a1求一dx' J2x+11 arc a【求解例如】O第二类换元法去根式dy f x dx的正向应用对于一次根式a=O,bR ：ax b :令t -弋ax b，于是t2 -bx =a那么原式可化为t对于根号下平方和的形式a 0:a2 x2 :令 x =atant31JIt ，22于是t = arcta，那么原式可化为aasect ；对于根号下平方差的形式a 0:a. a2 - x2 :令 x 二 asint/ 兀兀、t ,22x于是t = a

23、rcsin ,贝原式可化为aa cost ;b. J x2 _ a2 :令 x = a sect0 <t v，2于是t= arccosa，那么原式可化为xata nt ；【题型例如】求f y 1 dx 一次根式'J2x+1【求解例如】1 _ 1 , 解:dx上琴二 卜 tdt = 1 dt =t +C =2x+1 +C'j2x+1xh w L tdxt【题型例如】求J Ja2 - x2dx 三角换元【求解例如】第三节分部积分法O分部积分法设函数u = f x，v = gx具有连怡门彳+°续导数，那么其分部积分公式可表示为：Judv=uv-Jvdu分部积分法函数排

24、序次序：“反、对、幕、三、指O运用分部积分法计算不定积分的基本步骤：遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序；就近凑微分：fdx = dv使用分部积分公式：Judv = uv - fvdu展开尾项Jvdu = Jv udx，判断a.假设Jvddx是容易求解的不定积分，那么直接计算出答案容易表示使用根本积分表、换元法与参数 AA.AVN1N2Ml由待定有理函数积分可以轻易求解出 结果；b.假设v udx依旧是相当复杂，无法 通过a中方法求解的不定积分， 那么重复、，直至出现容易 求解的不定积分；假设重复过程 中出现循环，那么联立方程求 解，但是最后要注意添上常数C【题型例如】求 eQ xq x二

25、b0xnb|Xn 5：；bn 对于有理函数匕'，当p x的次数Qx* 丿 小于Q x的次数时，有理函数匕'Qx 是真分式；当P x的次数大于Q x 的次数时，有理函数 匕上 是假分式QxO有理函数真分式不定积分的求解 思路 将有理函数 »的分母Q x分拆Qx 成两个没有公因式的多项式的乘 积：其中一个多项式可以表示为一k 次因式x-a ；而另一个多项式可 以表示为二次质因式 2 1 2 px q ， p -4q ：0；即：Q x =Q! x Q2 x一般地：mx n = m i x ，那么参数I m Jna =- x2dx【求解例如】【题型例如】求 ex sin xd

26、x【求解例如】1ex sin xdxex sin xcosx y C第四节 有理函数的不定积分O有理函数设：P xp x二 a0xma#亠am那么设有理函数二的分拆和式Qx为：其中系数法比拟法求出得到分拆式后分项积分即可求解2【题型例如】求 -dx 构造法'x + 1【求解例如】第五节积分表的使用不作要求 第五章定积分极其应用第一节定积分的概念与性质O定积分的定义f x称为被积函数，f x dx称为被积表达式，x那么称为积分变量，a称 为积分下限，b称为积分上限，a, bl称为积分区间O定积分的性质bb a f x dx»a f u dua f x dx = 0ab _rb| kf x dx =