高等数学课件：1-5 函数的连续性2

1、1.1集合集合1.2函数函数1.4无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量1.3函数的极限函数的极限1.5函数的连续性函数的连续性一、连续性概念一、连续性概念二、间断点及其分类二、间断点及其分类三、连续函数的性质三、连续函数的性质 初等函数的连续性初等函数的连续性四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质 1.5 1.5 函数的连续性函数的连续性( (续续) )例如例如,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y, 1max y四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函

2、数的性质xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 注意注意 1.1.若区间是开区间若区间是开区间, , 定理不一定成立定理不一定成立; ; 2. 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, ,定理不一定成立定理不一定成立. .推论推论2 2 闭区间上的连续函数必取得介于最大值闭区间上的连续函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值与最小值之间的任何值几何解释几何解释( ).yf xyc 连连续续曲曲线线弧弧与与水水平平直直线线至至少少有有一一个个交交点点ab3 2 1 几何解释几何解释:( ),.yf xxx 连连续续曲曲线线弧弧的的两两个个端端点点位位于于 轴轴的的不不同同侧侧 则则曲曲线线弧

3、弧与与轴轴至至少少有有一一个个交交点点xyo)(xfy 定义定义000()0,( ).xf xxf x 如如果果使使则则称称为为函函数数的的零零点点注意注意1定理中改为开区间定理中改为开区间,则结论未必成立则结论未必成立.2定理中定理中 f (a) f (b) 0 为充分条件为充分条件.3定理应用广泛定理应用广泛,可证明方程根的存在性，可证明方程根的存在性，但是并没给出求根的方法但是并没给出求根的方法.例例1 1.)1 , 0(01423至少有一根至少有一根内内在区间在区间证明方程证明方程 xx证证, 14)(23 xxxf令令, 01)0( f又又, 02)1( f, 0)( f, 0142

4、3 即即.)1 , 0(01423 内至少有一根内至少有一根在在方程方程 xx01( , ), 使,1 , 0)(上连续上连续在在则则xf例例.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得证明证明且且上连续上连续在区间在区间设函数设函数证证,)()(xxfxF 令令,)(上连续上连续在在则则baxFaafaF )()(而而, 0 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即证证( )sin,F xxaxb令( )0,F xab则在上连续(0)Fb 而0由零点定理由零点定理,(0,),ab使0( )sin0,.Fab即为

5、所求()()sin()sin()F ababaabbaaab()0F abab如果，则所求的根即为()0F ab如果，小结二个定理和三个推论二个定理和三个推论最值定理，最值定理，有界性推论有界性推论介值定理（中间值定理），根的存在性定理介值定理（中间值定理），根的存在性定理注意注意1闭区间；闭区间； 2连续函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立解题思路解题思路辅助函数法辅助函数法: :先作辅助函数先作辅助函数F(x),再利用零点定理再利用零点定理;证证例例1 1 设设 f (x) 在在(-, +)上连续，且上连续，且 存在存在,)(limxfx 证明证明 f (x) 在在(-, +)上有界。上有界。证证例例3 设设f(x)在在