第十二章第7节高阶线性微分方程59473

1、1高阶线性微分方程第七节一一. 二阶线性齐次方程解的结构二阶线性齐次方程解的结构二二. 二阶线性非齐次方程解的结构二阶线性非齐次方程解的结构三、小结及作业2第七节第七节 高阶线性微分方程高阶线性微分方程一阶线性方程)()(xqyxpy其通解为yxdxpe)(cxdexqxdxp)()(xdxpe)(xdexqxdxp)()(xdxpec)(非齐次方程特解齐次方程通解推广高阶线性微分方程情形yy3二阶线性微分方程二阶线性微分方程)()()(xfyxqdxdyxpdxyd22时，时，当当0)( xf二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程时，时，当当0)( xf二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次

2、微分方程n阶线性微分方程阶线性微分方程).()()()(1)1(1)(xfyxpyxpyxpynnnn 4 )()(2xyxq0定理得证定理得证 .一一. 二阶线性齐次方程解的结构二阶线性齐次方程解的结构定理定理 1 若函数)(,)(21xyxy是二阶线性齐次方程)()()(10 yxqyxpy的两个解, 则)()(2211xycxycy也是该方程的解.叠加原理证证: 将)()(2211xycxycy代入方程左边 , 得 )(11 xyc)(22xyc )()(11xycxp)(22xyc )( )(11xycxq)(22xyc )(11xyc)()(1xyxp )()(1xyxq )(22x

3、yc)()(2xyxp说明说明: 解中形式上含有两个任意常数时不一定是通解解中形式上含有两个任意常数时不一定是通解例如,)(1xy是齐次方程的解 ,)(2)(12xyxy也是齐次方程的解 ,)()2()()(1212211xyccxycxyc并不是通解 .但是5定义定义: 设)(,)(,)(21xyxyxyn是定义在区间 i 上的 n 个函数, 若存在不全为不全为 0 的常数nkkk,21使得当ix时有0)()()(2211xykxykxyknn则称这 n个函数在区间i 上线性相关线性相关 , 否则称为线性无关线性无关.例如例如 ,xx22sin,cos,1在 ( , ) 上都有0sincos

4、122xx故在任何区间 i 上都线性相关线性相关 ;又如又如 ,12xx若在某区间 i 上02321xkxkk则根据二次多项式至多只有两个零点 ,321,kkk必需全为 0 ,可见故2,1xx在任何区间 i 上都 线性无关线性无关 .6两个函数在区间两个函数在区间 i 上线性相关与线性无关的上线性相关与线性无关的充要条件充要条件)(,)(21xyxy线性相关存在不全为 0 的21, kk使0)()(2211xykxyk1221)()(kkxyxy( 无妨设)01k)(,)(21xyxy线性无关)()(21xyxy常数思考思考: 若)(, )(21xyxy中有一个恒为 0 , 则)(, )(21

5、xyxy必线性相关相关7定理定理 2 若)(,)(21xyxy是二阶线性齐次方程(1)的两个线性无关特解 , 则)()(2211xycxycy是该方程的例如例如, 方程0 yy有特解,cos1xy xysin2且xyytan12常数则方程的通解为xcxcysincos21通解.)()()(10 yxqyxpy8二二. 二阶线性非齐次方程解的结构二阶线性非齐次方程解的结构)(* xy是二阶非齐次方程的一个特解 , )(*)(xyxyy是相应齐次方程(2)的通解.定理定理 3 设)()()()(2xfyxqyxpy )(xy则是非齐次方程的通解 .证证: 将)(*)(xyxyy代入方程左端 , 得

6、)*( yy)*( )(yyxp)*)(*)(*(yxqyxpy )()(yxqyxpy )(xf0)(xf故)(*)(xyxyy是非齐次方程的解 , 又y 中含有两个独立任意常数 , 从而也是通解 .例如, 方程xyy 有特解xy *xcxcysincos21对应齐次方程0 yy有通解因此该方程的通解为xxcxcysincos21)*( )(yyxq9定理定理 4 设)(*xyk分别是方程的特解 , 则是方程),2, 1()()()(nkxfyxqyxpyk nkkyy1*的特解 .)()()(1xfyxqyxpynkk )(, )(, )(21xyxyxyn设是对应齐次方程的 n 个线性)

7、(*)()()(2211xyxycxycxycynn无关的特解 , 定理定理 5 ( 推广 ) 给定 n 阶非齐次线性方程)()()() 1(1)(xfyxpyxpynnn)(xy)(* xy是非齐次方程的特解 , 则非齐次方程的通解为),2, 1(nk)(* xy101例例.)(,)(,)(的特解的特解求该方程满足求该方程满足解解有两个特有两个特已知已知2000024422212 yyxeyeyyxyxyxx:解解,是是两两线线性性无无关关的的解解2221xxxeyey方程的通解方程的通解2221xxxececy2000)(,)(yy由由特解特解22xxey 11321,yyy设线性无关函数

8、都是二阶非齐次线性方程)()()(xfyxqyxpy 的解 , 21,cc是任意常数 , 则该方程的通解是 ( ) .;)(32211yycyca;)()(3212211yccycycb;)1()(3212211yccycycc;)1()(3212211yccycycdd例例2 .提示提示:3231,yyyy都是对应齐次方程的解, 且线性无关, 因为假设它们线性相关 , 则有kyyyy3231即0) 1(321ykyky从而推出321,yyy线性相关 , 与已知条件矛盾.12三、小结主要内容主要内容线性方程解的结构；线性方程解的结构；线性相关与线性无关；线性相关与线性无关；五个定理五个定理13

9、300712p习题习题).)(,),)()()(524310865114一、一、 验证验证21xey 及及22xxey 都是方程都是方程0)24(42 yxyxy的解的解, ,并写出该方程的通并写出该方程的通解解 . .二、二、 证明下列函数是相应的微分方程的通解证明下列函数是相应的微分方程的通解: :1 1、),(ln212221是任意常数是任意常数ccxxcxcy 是方程是方程 0432 yyxyx的通解；的通解；2 2、),(2)(12121是任意常数是任意常数cceececxyxxx 是是 方程方程xexyyyx 2的通解的通解 . .练练 习习 题题 15三三、已已知知xexy )(1是是齐齐次次线线性性方方程程02)12()12( yyxyx的的一一个个解解, ,求求此此方方程程的的通通解解 . .四四、已已知知齐齐次次线线性性方方程