连续函数的运算71623

1、目录 上页 下页 返回 结束 一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则 第九节二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性 连续函数的运算与初等函数的连续性 第一章 目录 上页 下页 返回 结束 一、四则运算的连续性定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin内连续内连续在在xx.csc,sec,cot,tan在其定义域内连续在其定义域内连续故故xxxx目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.

2、例如例如,xysin在,22上连续单调递增，其反函数xyarcsin(递减)(证明略)在1, 1上也连续单调(递减)11xoy22递增.xsinxarcsin二、反函数与复合函数的连续性目录 上页 下页 返回 结束 xye在),(上连续其反函数xyln在),0(上也连续单调递增.又如又如, xyoxylnexy 11单调 递增,目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3 3).(lim)()(lim)(lim,)(,)(lim0000000 xgfufufxgfuufuxgxxuuxxxx则有连续在点函数若证证,)(0连续在点uuuf.)()(, 0, 000成立恒有时使当ufufuu,)(li

3、m0axgxx又,0, 0, 00时时使当使当对于对于 xx请同学们思考：为什么在此定理中没有条件请同学们思考：为什么在此定理中没有条件0000)(,),(, 0uxgxux 有有时时当当存在存在 目录 上页 下页 返回 结束 .)(00成立恒有uuuxg将上两步合起来将上两步合起来:,0, 0, 00时时使当使当 xx)()()()(00ufxgfufuf.成立成立 )()(lim00ufxgfxx).(lim0 xgfxx目录 上页 下页 返回 结束 意义意义1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;.)(. 2的理论依据变量代换xgu ).(lim)(lim00 xgfx

4、gfxxxx)(lim)(lim00ufxgfuuxx目录 上页 下页 返回 结束 例例2 266解解.93lim23xxx求可看作932xxyuy 由932xxu与复合而成的6193lim23xxx连续在点61uuy93lim23xxx93lim23xxx61目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求.)1 (loglim0 xxax解解: 原式xxax1)1 (loglim0elogaaln1例例3. 求.1lim0 xaxx解解: 令, 1xat则, )1 (logtxa原式)1 (loglim0ttataln说明说明: 由此可见当0e,xa时, 有)1ln(x1e xxx目录 上页 下

5、页 返回 结束 .)(,)(,)(,)(00000也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数连续连续在点在点而函数而函数且且连续连续在点在点设函数设函数xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理4 4注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况.目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,xy1sin是由连续函数链),(,sinuuy,1xu *rx因此xy1sin在*rx上连续 .复合而成 ,xy1sinxyo目录 上页 下页 返回 结束 例例1 . 设)()(xgxf与均在,ba上连续, 证明函数)(, )(max)(xgxfx 也在,ba上连续.证证:21)(x)()(xgxf)()(

6、xgxf)()()(21xgxfx)()(xgxf根据连续函数运算法则 , 可知)(, )(xx也在,ba上连续 .)(, )(min)(xgxfx 目录 上页 下页 返回 结束 三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性基本初等函数在其定义域内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在其定义区间内连续例如例如,21xy的连续区间为1, 1(端点为单侧连续)xysinln的连续区间为znnn, ) 12( ,2(目录 上页 下页 返回 结束 1. 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, 在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;例如例如, 1cos

7、xy,4,2, 0: xd这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.,)1(32 xxy, 1, 0: xxd及及在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.), 1上连续上连续函数在区间函数在区间注意注意注意注意2. 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.)()()(lim000定义区间定义区间 xxfxfxx目录 上页 下页 返回 结束 例例3 3. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例4 4.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0 目录

8、上页 下页 返回 结束 例例4. 求求.)21 (limsin30 xxx解解:原式elim0 x)21ln(sin3xxelim0 xx36e说明说明: 若,0)(lim0 xuxx则有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxxx2目录 上页 下页 返回 结束 )()(lim)(lim,)(lim)4(xvxuxvxu) 1)(0)()()(xuxuxuyxv且bxvaxubxvaxu)()(lim)(lim, 0)(lim) 1 ()()(lim)(lim, 1)(lim)2(xvxuxvaxu0)(lim

9、)(lim),10()(lim) 3()(xvxuxvaaxu四、幂指函数形如的函数目录 上页 下页 返回 结束 1,41,)(xxxxx例例5. 设,1,21,)(2xxxxxf解解:讨论复合函数)(xf的连续性 . )(xf1,2xx1,2xx故此时连续; 而)(lim1xfx21lim xx1)(lim1xfx)2(lim1xx3故 )(xfx = 1为第一类间断点 .1)(),(2xx1)(, )(2xx,)(1为初等函数时xfx在点 x = 1 不连续 , 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结基本初等函数在其定义域内在其定义域内连续连续函数的四则运算四则运算结果仍连续连续函数的反函数反函数连续连续函数的复合函数复合函数连续 初等函数在其定义区间内连续说明说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习,)(0连续在点若xxf