第五章空间解析几何

1、数量关系数量关系 第七章第一部分第一部分 向量代数向量代数第二部分第二部分 空间解析几何空间解析几何 在三维空间中:空间形式空间形式 点点, , 线线, , 面面基本方法基本方法 坐标法坐标法; ; 向量法向量法坐标坐标, , 方程（组）方程（组）空间解析几何与向量代数 四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算 第一节一、向量的概念一、向量的概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量及其线性运算 第七七章 .a或表示法:向量的模 : 向量的大小,21

2、mm记作一、向量的概念一、向量的概念向量:(又称矢量). 1m2m既有大小, 又有方向的量称为向量向径 (矢径):自由向量: 与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量: 模为 1 的向量,.a或记作 a零向量: 模为 0 的向量,.00或，记作有向线段 m1 m2 ,或 a ,a或.a或机动 目录 上页 下页 返回 结束 规定: 零向量与任何向量平行 ;若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,记作 ab ;若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, ab ;与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上

3、, 故两向量平行又称 两向量共线 .若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .记作a ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、向量的线性运算二、向量的线性运算1. 向量的加法向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律 : 交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 bbabbacba )()(cbacbaabcba cb)(cbacba )(aaba ba 机动 目录 上页 下页 返回 结束 s3a4a5a2a1a54321aaaaas2. 向量的减法向量的减法三角不等式机动 目录 上页 下页 返回 结束 ab)( a

4、b有时特别当,ab aa )( aababaabababa0babaaa3. 向量与数的乘法向量与数的乘法 是一个数 ,.a规定 :时，0，同向与aa,0时,0时.0a;aa;1aa可见;1aa;aa 与 a 的乘积是一个新向量, 记作，反向与aa总之:运算律 : 结合律)(a)(aa分配律a)(aa)(baba, 0a若a则有单位向量.1aa因此aaa 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ！平行与aa定理定理1. 设 a 为非零向量 , 则( 为唯一实数)证证: “ ”., 取 且再证数 的唯一性 .则,0故.即abab设 abba取正号, 反向时取负号, a , b 同向时则 b 与 a

5、同向,设又有 b a ,0)(aaa baab.ab故,0a而机动 目录 上页 下页 返回 结束 “ ”则,0 时当例例1. 设 m 为mbacd解解:abcd 对角线的交点,0 时当ba,0 时当,aab ,bdaacmc2ma2bdmd2mb2已知 b a ,b0a , b 同向a , b 反向ab .,mdmcmbmaba表示与试用baab)(21bama)(21abmb)(21bamc)(21abmd机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyz三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)

6、过空间一定点 o ,o 坐标面 卦限(八个)面xoy面yozzox面1. 空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyzo向径在直角坐标系下 11坐标轴上的点 p, q , r ;坐标面上的点 a , b , c点点 m特殊点的坐标 :有序数组),(zyx 11)0 , 0 ,(xp)0 , 0(yq), 0 , 0(zr)0 ,(yxa), 0(zyb),(zoxc(称为点 m 的坐标坐标)原点 o(0,0,0) ;rr机动 目录 上页 下页 返回 结束 m坐标轴 : 轴x00zy00 xz轴y轴z00yx坐标面 :面yox0 z面zoy0 x面x

7、oz0 y机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyzo2. 向量的坐标表示向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点 m , ),(zyxm则沿三个坐标轴方向的分向量分向量.kzjyixr),(zyxxoyzmnbcijka,轴上的单位向量分别表示以zyxkji的坐标为此式称为向量 r 的坐标分解式坐标分解式 ,rkzjyix称为向量,r任意向量 r 可用向径 om 表示.nmonomocoboa机动 目录 上页 下页 返回 结束 , ixoa, jyobkzoc四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算设),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 则ba),(zzyyxxbab

8、abaa),(zyxaaaab,0 时当aabxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量对应坐标成比例:，为实数机动 目录 上页 下页 返回 结束 五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式222zyx),(zyxr 设则有omr 222oroqopxoyzmnqrp由勾股定理得),(111zyxa因ab得两点间的距离公式:),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx对两点与, ),(222zyxb, rom作omr oroqopbabaoaobba机动 目录 上页 下页 返回 结束

9、 oyzx2. 方向角与方向余弦方向角与方向余弦设有两非零向量 ,ba任取空间一点 o ,aoa作,boboab称 =aob (0 ) 为向量 ba,的夹角. ),(ab或类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . ,0),(zyxr给定与三坐标轴的夹角 , , rr称为其方向角方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦. 记作),(ba机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二节一、平面的点法式方程平面的点法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角三、两平面的夹角机动 目录 上页 下页 返回 结束 平面及其方程 第七七章 zyxo0mn一、平面的点法式方程

10、一、平面的点法式方程),(0000zyxm设一平面通过已知点且垂直于非零向0)()()(000zzcyybxxam称式为平面的点法式方程点法式方程,求该平面的方程.,),(zyxm任取点),(000zzyyxx法向量.量, ),(cban nmm000nmmmm0则有 故的为平面称n机动 目录 上页 下页 返回 结束 kji例例1.1.求过三点,1m又) 1,9,14(0)4() 1(9)2(14zyx015914zyx即1m2m3m解解: 取该平面 的法向量为),2,3, 1(),4, 1,2(21mm)3,2,0(3m的平面 的方程. 利用点法式得平面 的方程346231nn3121mmm

11、m机动 目录 上页 下页 返回 结束 此平面的三点式方程三点式方程也可写成 0132643412zyx0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx一般情况一般情况 : 过三点)3,2, 1(),(kzyxmkkkk的平面方程为说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别特别, ,当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程截距式方程. ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(crbqap1czbyax时,)0,(cbabcax)( cay)(0bazabcbzaacybcx平面方程为 pozyxrq分析:利用三点式 按第一行展开得 即0a

12、x yzab0a0c机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、平面的一般方程二、平面的一般方程设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程此方程称为平面的一般平面的一般0dzcybxa任取一组满足上述方程的数,000zyx则0)()()(000zzcyybxxa0000dzcybxa显然方程与此点法式方程等价, )0(222cba),(cban 的平面, 因此方程的图形是法向量为 方程方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 特殊情形特殊情形 当 d = 0 时, a x + b y + c z = 0 表示 通过原点通过原点的平面; 当 a = 0 时, b y + c z + d

13、= 0 的法向量平面平行于 x 轴; a x+c z+d = 0 表示 a x+b y+d = 0 表示 c z + d = 0 表示 a x + d =0 表示 b y + d =0 表示0dczbyax)0(222cba平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.,), 0(icbn机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程.例例3. .用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.解解: 因平面通过 x 轴 ,0 da故设所求平面方程为0zcyb代入已知点)

14、 1,3,4(得bc3化简,得所求平面方程03 zy(p327 例4 , 自己练习) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、两平面的夹角三、两平面的夹角设平面1的法向量为 平面2的法向量为则两平面夹角 的余弦为 cos即212121ccbbaa222222cba212121cba两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.122n1n),(1111cban ),(2222cban 2121cosnnnn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2特别有下列结论：特别有下列结论：21) 1 (0212121ccbbaa21/)2(212121ccbbaa),(:),(:2222211111cb

15、ancban1122121cosnnnn 21nn 21/ nn2n1n2n1n机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此有例例4. 一平面通过两点垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .解解: 设所求平面的法向量为,020cba即ca2的法向量,0cbaccab)()0(0) 1() 1() 1(2czcycxc约去c , 得0) 1() 1() 1(2zyx即02zyx0) 1() 1() 1(zcybxa)1, 1, 1(1m, )1, 1,0(2m和则所求平面故, ),(cban方程为 n21mmn且机动 目录 上页 下页 返回 结束 外一点,求),(0000zyxp0d

16、zcybxa例例5. 设222101010)()()(cbazzcyybxxa222000cbadzcybxad0111dzcybxa解解: :设平面法向量为),(1111zyxp在平面上取一点是平面到平面的距离d .0p,则p0 到平面的距离为01prjppdnnnpp010p1pnd, ),(cban (点到平面的距离公式)机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyzo0m例例6.解解: 设球心为求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成则它位于第一卦限,且2220001111zyx00331xx , 1000zyxrzyx000因此所求球面方程为000zyx633331,

17、 ),(0000zyxm四面体的球面方程.从而)(半径r2222)633()633(633)633(zyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三节一、空间直线方程一、空间直线方程 二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间直线及其方程 第七七章 一、空间直线方程一、空间直线方程xyzo01111dzcybxa02222dzcybxa1 2 l因此其一般式方程1 1. 一般式方程一般式方程 直线可视为两平面交线，(不唯一)机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(0000zyxm2. 对称式方程对称式方程故有说明说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零

18、.mxx000yyxx设直线上的动点为 则),(zyxmnyy0pzz0此式称为直线的对称式方程对称式方程(也称为点向式方程点向式方程)直线方程为s已知直线上一点),(0000zyxm),(zyxm例如, 当,0, 0时pnm和它的方向向量 , ),(pnms smm/0机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 参数式方程参数式方程设得参数式方程 :tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 1.用对称式及参数式表示直线解解: :先在直线上找一点.043201 zyxzyx632zyzy再求直线的方向向量2,0zy令 x = 1, 解方程

19、组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点 .)2,0, 1(故.s, ) 1, 1, 1 (1n)3, 1,2(2n21ns,ns21nns机动 目录 上页 下页 返回 结束 故所给直线的对称式方程为参数式方程为tztytx32 41t41x1y32z解题思路解题思路: 先找直线上一点;再找直线的方向向量.)3, 1,4(21nns312111kji机动 目录 上页 下页 返回 结束 2l1l二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系1. 两直线的夹角两直线的夹角 则两直线夹角 满足21, ll设直线 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)的方向向量分别为212121ppnnmm2

20、12121pnm222222pnm),(, ),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别有特别有:21) 1(ll 21/)2(ll0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. . 求以下两直线的夹角解解: 直线直线二直线夹角 的余弦为(参考p332 例2 )13411:1zyxl0202:2zxyxl cos22从而4的方向向量为1l的方向向量为2l) 1,2,2() 1(1)2()4(212221)4(1222) 1()2(2) 1,4, 1 (1s2010112kjis 机动 目录 上页 下页 返回 结束 当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;l2. 直线与平面的夹角直线与平面