选修21课件323立体几何中的向量方法三

1、空间空间“角度角度”问题问题一、复习引入一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意义。成相应的几何意义。（化为向量问题

2、）（化为向量问题）（进行向量运算）（进行向量运算）（回到图形）（回到图形）向量的有关知识：两向量数量积的定义：两向量数量积的定义：ab=|a|b|cosa,b两向量夹角公式：两向量夹角公式：cos a,b =b ba ab ba a直线的方向向量：与直线平行的非零向量直线的方向向量：与直线平行的非零向量平面的法向量：与平面垂直的向量平面的法向量：与平面垂直的向量( (课本第课本第107107页练习页练习2)2)如图，如图，6060的二面角的棱上有的二面角的棱上有a a、b b两点，直两点，直线线acac、bdbd分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直a

3、bab，已知，已知abab4 4，acac6 6，bdbd8 8，求，求cdcd的长的长. . bacd 注注: :利利用用本本题题中中的的向向量量关关系系我我们们还还可可以以倒倒过过来来求求二二面面角角的的大大小小. . 二面角的平面角二面角的平面角方向向量法方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（的夹角。如图（2），设二面角），设二面角 的大小为的大小为其中其中ab lcdlcdabl,cdabcdabcdab,coscosdclba 例例1 1：如图如图3

4、 3，甲站在水库底面上的点，甲站在水库底面上的点a a处，乙站在水坝斜面上的点处，乙站在水坝斜面上的点b b处。从处。从a a，b b到直线到直线 （库底与水坝的交线）的距离（库底与水坝的交线）的距离acac和和bdbd分别为分别为 和和 ,cd,cd的长为的长为 , ab, ab的长为的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 labcd解：解：如图，如图，. dabccdbbdaac ，化为向量问题化为向量问题根据向量的加法法则根据向量的加法法则dbcdacab 进行向量运算进行向量运算222)(dbcdacabd )(2222dbcddbaccdacbdc

5、dab dbacbca 2222dbcabca 2222于是，得于是，得22222dcbadbca 设向量设向量 与与 的夹角为的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。就是库底与水坝所成的二面角。cadb 因此因此.cos22222dcbaab abcd 图图3所以所以.2cos2222abdcba 回到图形问题回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为库底与水坝所成二面角的余弦值为.22222abdcba 例例1 1：如图如图3 3，甲站在水库底面上的点，甲站在水库底面上的点a a处，乙站在水坝斜面上的点处，乙站在水坝斜面上的点b b处。从处。从a a，b b到直线到直线 （库底与水坝的交

6、线）的距离（库底与水坝的交线）的距离acac和和bdbd分别为分别为 和和 ,cd,cd的长为的长为 , ab, ab的长为的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 labcd思考：思考： （1）本题中如果夹角）本题中如果夹角 可以测出，而可以测出，而ab未知，未知，其他条件不变，可以计算出其他条件不变，可以计算出ab的长吗？的长吗？ abcd 图图322)( dbcdacab 由由)(2222dbcddbaccdacbdcdab 分析：分析： cos2222abbca 可算出可算出 ab 的长。的长。 （2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条）如果已知一个四棱

7、柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？值吗？ 分析：分析：如图，设以顶点如图，设以顶点 为端点的对角线为端点的对角线长为长为 ，三条棱长分别为，三条棱长分别为 各棱间夹角为各棱间夹角为 。a1b1c1d1abcdad， cba 21212)( ccacabcad 则则 cos)(2222acbcabbca )(2cos 2222acbcabcbad （3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 ，并且以某一顶，并且以

8、某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于点为端点的各棱间的夹角都等于 ，那么可以确定这个四棱柱相邻，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？两个夹角的余弦值吗？a a1b1c1d1abcd分析：分析：二面角二面角平面角平面角向量的夹角向量的夹角回归图形回归图形 解：解：如图，在平面如图，在平面 ab1 内过内过 a1 作作 a1eab 于点于点 e，ef在平面在平面 ac 内作内作 cfab 于于 f。 cos sin 1abfaeacfea ，则则 cfeafcea cos coscos 11， |11cfeacfea 221sin)()(abfcbaeaa 2222222sincos)co

9、s(cos)cos(coscosaaaaa cos1cos 可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。空间空间“夹角夹角”问题问题1.异面直线所成角异面直线所成角设直线设直线, l m的方向向量分别为的方向向量分别为, a b lamlamb 若两直线若两直线 所成的所成的角为角为 , 则则, l m(0)2cosa ba b 例例2090 ,rt abcbcaabc中，现将沿着111abcabc平面的法向量平移到位置，已知1bccacc，111111abacdf取、的中点、 ，11bdaf求与所成的角的余弦值.a1ab1bc1c1d1fxyz解：以点解：

10、以点c c为坐标原点建立空间直角坐标系为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设如图所示，设 则：则： cxyz11cc (1,0,0), (0,1,0),ab1111 1( ,0, ),( ,1)22 2fa d所以：所以：11(,0,1),2af 111( ,1)22bd 11cos,af bd 1111|af bdafbd a1ab1bc1c1d1f11304.105342所以 与 所成角的余弦值为1bd1af3010练习： 在长方体 中，1111abcdabc d58,abad = ，14,aa 1112,mbcb m 为上的一点,且1nad点 在线段上，1.adan1.adam(1)

11、求证：abcd1a1b1c1dmnxyz(0,0,0),a(5,2,4),am 1(0,8, 4),ad 10am ad 1.adam1(0,0,4),a(0,8,0),d(5,2,4)m方向向量法方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（的夹角。如图（2），设二面角），设二面角 的大小为的大小为其中其中ab lcdlcdabl,cdabcdabcdab,coscosdclba2、二面角、二面角注意法向量的方向：同进注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量同出

12、，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角二面角等于法向量夹角lnm 将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量如图，向量 ，则二面角则二面角 的大小的大小 mn，lnm,nm, 2、二面角、二面角若二面角若二面角 的的大小为大小为 , 则则l (0)cos.u vu v 法向量法法向量法例例2 正三棱柱正三棱柱 中，中，d是是ac的的中点，当中点，当 时，求二面角时，求二面角 的余弦值。的余弦值。111cbaabc 11bcabcbcd1cadbc1b1a1)0,21,23(aaa)0 ,0(ab

13、)0 ,41,43(aad), 0 , 0(1bc),0(1bab 解法一：如图，以解法一：如图，以c为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系c-xyz。设。设底面三角形的边长为底面三角形的边长为a，侧棱长为，侧棱长为b,则则 c(0,0,0)故),21,23(1baaab), 0(1babc11,abbc2211102ab bcab 22ba则可设 =1， ，则b(0,1,0) a22b)0 ,41,43(d)22, 0 , 0(1cyxzcadbc1b1a1fe作作 于于e, 于于f，则则 即为二面角即为二面角 的大小的大小1bcce 1bcdf fdec,cbcd1在在 中，中，

14、 即即e分有向线段分有向线段 的比为的比为bccrt121222211abbcccebecbc12112(0,)33e12(0,)33ec 由于 且 ，所以 acbdabccc面1dcbd1在 中，同理可求 bdcrt1)42,21,0(f)42,41,43(fdcos = fdec ,22463341fdecfdec即二面角 的余弦值为 cbcd122yxzcadbc1b1a1fe解法二解法二：同法一，以：同法一，以c为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系 c-xyz 在坐标平面在坐标平面yoz中中 1cc b设面设面 的一个法向量为的一个法向量为 bdc1),(zyxm 同法一，

15、可求同法一，可求 b(0,1,0)0 ,41,43(d)22, 0 , 0(1c) 0 ,43,43(db)22,41,43(1dc可取可取 (1,0,0)为面为面 的法向量的法向量 bcc1nyxzcadbc1b1a1由由 得得mdbmdc,113120,442cd mxyz 04343yxmdb解得解得 zyx263 所以，可取所以，可取 )6, 3, 3(m二面角二面角 的大小等于的大小等于 cbcd1nm, cos = nm,22233nmnm即二面角即二面角 的余弦值为的余弦值为 cbcd122 方向朝面外，方向朝面外， 方向朝方向朝面内，属于面内，属于“一进一出一进一出”的情况，二面角等于法向的情况，二面角等于法向量夹角量夹角nm1. 已知正方体 的边长为2， o为ac和bd的交点，m为 的中点 （1） 求证： 直线 面mac （2）求二面角 的余弦值1111dcbaabcd1ddob1cmab1巩固练习巩固练习 b1a1 c1d1dcbaom