极限的四则运算

1、2.4.1 极限的四则运算极限的四则运算复习复习: :1数列和函数的极限以及求法数列和函数的极限以及求法 na（1） 是无穷数列是无穷数列n（2） 无限增大时，什么是无限趋近于无限增大时，什么是无限趋近于 ？a就说就说当当x 趋向于正无穷大时，趋向于正无穷大时，函数函数 的极限是的极限是a ，记作，记作axfx)(lim)(xf一般地，当自变量一般地，当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数取正值并且无限增大时，如果函数)(xf无限趋近于一个常数无限趋近于一个常数 a ，也可记作也可记作:当当axfx)(时，时，当当也可记作也可记作:axfx)(时，时，就说就说当当x 趋向于负无穷大时，趋向

2、于负无穷大时，函数函数 的极限是的极限是a ，记作，记作axfx )(lim当自变量当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数取负值并且绝对值无限增大时，如果函数)(xf无限趋近于一个常数无限趋近于一个常数a ， )(xf2.函数的极限函数的极限axfx)(lim)x(flimx )x(flimx 如果如果 =a,且且 =a, 那么就说当那么就说当 x 趋向于趋向于无穷大时无穷大时,f(x)的极限是的极限是a,记作记作 也可记作也可记作:当当axfx)(时，ccxlim特别地：特别地： （c c为常数）为常数） 3.3.函数在一点处的极限与左、右极限函数在一点处的极限与左、右极限1当自变

3、量当自变量x无限趋近于常数无限趋近于常数x0（但（但x不等于不等于x0）时，）时，如果函数如果函数f(x)无限趋近于一个常数无限趋近于一个常数a，就说当，就说当x趋近于趋近于x0时，函数时，函数f(x)的极限是的极限是a，记作，记作 或当或当xx0时时f(x)a。axfxx)(lim02当当x从点从点x0左侧（即左侧（即xx0）无限趋近于）无限趋近于x0时，函数时，函数f(x)无限趋近于一个常数无限趋近于一个常数a，就说，就说a是函数是函数f(x)在点在点x0处的处的左极限左极限，记作，记作 。axfxx)(lim03如果当如果当x从点从点x0右侧（即右侧（即xx0）无限趋近于）无限趋近于x0

4、时，时，函数函数f(x)无限趋近于常数无限趋近于常数a，就说，就说a是函数是函数f(x)在点在点x0处处的的右极限右极限，记作，记作 。axfxx)(lim04常数函数常数函数f(x)=c在点在点x=x0处的极限有处的极限有 . cxfxx)(lim0000lim( )lim( )lim( )xxxxxxf xaf xf xa4求下列极限求下列极限（3） （4）（1） （2）xx1limxx21lim1)12(lim21 xxxx2lim11 2 3 21 xxx212lim21 5如何求如何求1.11.011.00110.9990.990.9xxx2122 考察下表考察下表1.455561.

5、495051.49951.51.500501.505051.5545523 观察该极限与上题极限之间存在关系吗观察该极限与上题极限之间存在关系吗?xxxxxxx21limlim212lim1121 xxxxxxx2lim)12(lim212lim12121 问题1：函数， 你能否直接看出函数值的变化趋势？，xxxxxf时当1,12)(22问题2：如果不能看出函数值的变化趋势，那么怎样才能把问题转化为已知能求的函数极限？转化的数学方法与依据是什么？ 函数极限运算法则函数极限运算法则baxgxfxgxfbaxgxfxgxfxxxxxxxxxxxx)(lim)(lim)()(lim)(lim)(li

6、m)()(lim000000bxgxx)(lim0axfxx)(lim0如果如果，那么那么).0()(lim)(lim)()(lim000bbaxgxfxgxfxxxxxx时”“0 xx新课新课也就是说也就是说：如果两个函数都有极限，那么由这两个如果两个函数都有极限，那么由这两个函数的各对应项的和、差、积、商组成函数的各对应项的和、差、积、商组成的函数的极限，分别等于这两个函数的的函数的极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（各项作为除数极限的和、差、积、商（各项作为除数的函数的极限不能为的函数的极限不能为0）。）。使用极限四则运算法则的前提使用极限四则运算法则的前提是各部分极限必须存

7、在！是各部分极限必须存在！由由 可得到：可得到：)(lim)(lim00 xfcxcfxxxx)()(lim)(lim*00nnxfxfnxxnxx使用极限运算法则的前提是使用极限运算法则的前提是各部分极限存在！各部分极限存在！（c为常数）为常数）)(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx由上面的运算法则可知：由上面的运算法则可知：;lim,)lim(lim00000nnxxnnxxnxxxxxxx即)(*nn请记清函数极限的运算法则请记清函数极限的运算法则 利用函数极限的运算法则利用函数极限的运算法则,可可以根据已知的几个简单函数的极以根据已知的几个简单函数的极限

8、，求出较复杂的函数的极限。限，求出较复杂的函数的极限。01lim00)1lim(1lim1limnxnnxnxnxxxxx即下面举例说明如何求函数的极限下面举例说明如何求函数的极限例例1.求求).3(lim22xxx解解:)3(lim22xxxxxxx3limlim222)(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxxnnxxxx00lim)(lim)(lim00 xfcxcfxxxxxxxx222lim3)(lim102322.1212lim.22321xxxxx求例1212lim2321xxxxx解：解：) 12(lim) 12(lim23121xxxxxx1lim2

9、limlim1limlim2lim121311121xxxxxxxxxx211211112232).0()(lim)(lim)()(lim000bbaxgxfxgxfxxxxxx 通过例通过例1、例、例2我们可以发现：我们可以发现：函数函数f（x）在在 处有定义处有定义; 求这类函数在某一点求这类函数在某一点x=x0处的极限值时，只要把处的极限值时，只要把x=x0 代入函数解析代入函数解析式中，就得到极限值。如：式中，就得到极限值。如：0 xx 总结提高总结提高：)3(lim22xxx.1212lim2321xxxxx(1)(2)3(lim22xxxxxxx3limlim222102322(1

10、)(2)1212lim2321xxxxx) 12(lim) 12(lim23121xxxxxx211211112232分析：当分析：当 分母的极限是分母的极限是0，不能直，不能直接运用上面的极限运算法则。因为当接运用上面的极限运算法则。因为当 时函数的极限只与时函数的极限只与x无限趋近于无限趋近于4的函数值有的函数值有关，与关，与x=4时的函数值无关，因此可以先将时的函数值无关，因此可以先将分子、分母约去公因式分子、分母约去公因式x-4以后再求函数的以后再求函数的极限。极限。4x4x.416lim24xxx例3 求观察图象观察图象例3 求.416lim24xxx416lim24xxx)4()4

11、)(4(lim4xxxx4limlim)4(lim444xxxxx844解：解：).0()(lim)(lim)()(lim000bbaxgxfxgxfxxxxxx例例4 求求 .121lim221xxxx解：解：) 12)(1() 1)(1(lim1xxxxx.121lim221xxxx121lim1xxx321211)12(lim)1(lim11xxxx).0()(lim)(lim)()(lim000bbaxgxfxgxfxxxxxx观察图象观察图象总结与提高：总结与提高： 通过例通过例3、例、例4同学们会发现：同学们会发现：函数函数f（x）在）在 处无定义处无定义求这类函数在某一点求这类函

12、数在某一点x=x0处的极限值时，处的极限值时，必须通过代数变形转化为第一种类型。必须通过代数变形转化为第一种类型。0 xx .416lim24xxx如：求如：求)4()4)(4(lim4xxxx4limlim)4(lim444xxxxx.416lim24xxx.121lim221xxxx例例3 求求例例426lim)4(22xxxx练习：练习： 求下列函数的极限求下列函数的极限1214lim) 1 (22xxxx265lim) 3(222xxxxx)2)(3()2)(1(lim)2(22xxxxx1214lim)1 (22xxxx531214lim22xxxx12212422解：解：)2)(3()2)(1(lim)2(22xxxxx解：解：)2)(3()2)(1(lim22xxxxx) 2)(3(lim) 2)(1(lim222xxxxxx) 1(lim)3(lim)2(lim) 1(lim22222xxxxxxxx3264) 22)(32() 22)(12(2（3）265lim222xxxxx) 1)(2()3)(2(lim2xxxxx13lim2xxx311232（4）26lim22xxxx2)2)(3(lim2xxxx5)3(lim2xx例例5 已知已知., 221lim221的值求实数axxaxx221lim221xxaxx22111122a6