几何第三册第七章《圆》提高测试题

1、提高测试（一）挑选题： （每题 2 分，共 20 分）1有 4 个命题：直径相等的两个圆是等圆；长度相等的两条弧是等弧；圆中最大的弧是过圆心的弧；一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不行能是等弧其中真命题是（）（ a ）（ b）（ c）（ d）【提示】长度相等的两弧不肯定是等弧，故不对；当弦是直径时，直径把圆分为两个半圆，它们是等弧，故不对【答案】 a 【点评】此题考查等圆、等弧、直线与弦的概念留意：等弧是能相互重合的两条弧，直径是圆中最大的弦2如图，点i 为 abc 的内心，点o 为 abc 的外心， o 140°，就 i 为（）（ a ） 140°（ b） 125°

2、（ c） 130°（ d）110°【提示】因点o 为 abc 的外心，就 boc、 a 分别是所对的圆心角、圆周角，所以 o 2a，故 a11 × 140° 70°又由于i 为 abc 的内心，所以21i 90° a 90°2× 70° 125°2【答案】 b【点评】此题考查圆心角与圆周角的关系，内心、外心的概念留意三角形的内心与两顶点组成的角与另一角的关系式3假如正多边形的一个外角等于60°，那么它的边数为（）（ a ） 4（ b）5（ c） 6（d） 7【提示】正多边形的外角等于它

3、的中心角，所以【答案】 c36060°，故 n 6n360【点评】此题考查正多边形的外角与中心角的关系留意：正n 边形的中心角为，n且等于它的一个外角4如图， ab 是 o 的弦，点 c 是弦 ab 上一点，且bcca 21，连结 oc 并延长交 o 于 d，又 dc 2 厘米，oc 3 厘米，就圆心 o 到 ab 的距离为（）（ a ）6 厘米（b）7 厘米（ c） 2 厘米（ d） 3 厘米【提示】延长do 交 o 于 e，过点 o 作 of ab 于 f，就 ce 8 厘米由相交弦定理，得dc· ce ac· cb，所以 ac·2 ac 2

4、5; 8， 故 ac 22 （厘米），从而 bc42 厘米由垂径定理，得affb1 （ 22 42 ） 32 （厘米）2所以 cf32 22 2 （厘米）在 rt cof 中，【答案】 cofoc 2of 2 322 27 （厘米）【点评】此题考查相交弦定理、垂径定理留意：在圆中求线段的长，往往利用相交弦定理、垂径定理进行线段的转换，再结合勾股定理建立等式5等边三角形的周长为18，就它的内切圆半径是（）（ a ） 63（ b） 33（ c）3（ d）33【提示】等边三角形的边长为6，就它的面积为3 ×62 93 又由于三角形的面积等4于内切圆的半径与三角形的周长的积的一半，所以93

5、解此方程，得r 3 【答案】 c1 r· 18（ r 为内切圆半径） 2【点评】此题考查等边三角形的面积的求法、内切圆半径的求法留意：求三角形的内切圆的半径，通常用面积法6如图， o 的弦 ab、cd 相交于点p， pa 4 厘米， pb 3 厘米， pc6 厘米， ea切 o 于点 a，ae 与 cd 的延长线交于点e，ae 25 厘米，就pe 的长为（）5（ a ） 4 厘米（ b） 3 厘米（ c）厘米（ d）2 厘米4【提示】由相交弦定理，得pa· pb pd· pc4×3 pd· 6pd 2（厘米）由切割线定理，得ae2 ed

6、3; ec （ 25 ） 2ed ·（ ed2 6）解此方程得ed 2 或 ed 10（舍去）pe2 2 4（厘米）【答案】 a 【点评】此题考查相交弦定理、切割线定理留意：应用相交弦定理、切割线定理往往建立方程，通过解方程求解7一个扇形的弧长为20厘米，面积是 240厘米 2，就扇形的圆心角是（）（ a ） 120°（ b）150°（ c） 210°（d） 240°【提示】设扇形的圆心角为n 度，半径为r，就【答案】 bnr 180nr236020 240解方程组得r24n150【点评】此题考查扇形的弧长、面积公式留意：应熟记扇形的弧长公式、

7、扇形的面积公式8两圆半径之比为23，当两圆内切时， 圆心距是4 厘米，当两圆外切时， 圆心距为（）（ a ） 5 厘米（ b）11 厘米（c） 14 厘米（d） 20 厘米【提示】设两圆半径分别为2 x、3 x 厘米，就内切时有3 x 2 x 4，所以 x4于是两圆半径分别为8 厘米、 12 厘米故外切时圆心距为20 厘米【答案】 d【点评】此题考查两圆内切、外切时，圆心距与两圆半径的关系留意：要懂得并记忆两圆的五种位置关系及圆心距与半径的关系9一个圆锥的侧面积是底面积的2 倍，就这个圆锥的侧面绽开图的圆周角是（）（ a ） 60°（ b）90°（ c） 120°

8、（ d） 180°【提示】设圆锥的母线长为a，圆心角度数为n，底面圆的半径为r ，就na 22360r 2解此方程组，得n 180【答案】 dna1802r【点评】此题考查圆锥的侧面绽开图的概念留意懂得圆柱、圆柱的侧面绽开图的有关概念10如图，等腰直角三角形aob 的面积为s1，以点 o 为圆心， oa 为半径的弧与以ab为直径的半圆围成的图形的面积为s2，就 s1 与 s2 的关系是（）（ a ） s1 s2（b） s1 s2（ c） s1s2（ d） s1 s2【提示】设oa a，就 s11 a2，弓形 acb 的面积21a241 a22在 rt aob 中， ab2 a，就以

9、ab 为直径的半圆面积为1 · ·（ab ）2 1·（2 a）21a2就 s 1a2（1a21 a2）1 a2222224【答案】 c4422【点评】此题考查三角形、圆、弓形的面积运算留意：弓形的面积运算方法（二）填空题（每题2 分，共 20 分）11已知 o1 和 o2 的半径分别为2 和 3，两圆相交于点a、b，且 ab2，就 o1o2 【提示】当两圆在ab 的两侧时，设o1o2 交 ab 于 c，就 o1o2ab，且 ac bc，2ac 1在 rt ao2c 中， o2co2 aac 2 321 22 ；在 rt ao1c 中， o1co a 2ac 2 2

10、 2123 1o1o2 22 3 当两圆在ab 的同侧时，同理可求o1o2 22 3 【答案】 22 ±3 【点评】此题考查“两圆相交时，连心线垂直于公共弦”的应用留意：在圆中不要漏解，由于圆是轴对称图形，符合此题条件的两圆有两种情形12已知四边形abcd 是 o 的外切等腰梯形， 其周长为20，就梯形的中位线长为 【提示】圆外切四边形的两组对边之和相等，就上、下底之和为10，故中位线长为5【答案】 5【点评】此题考查圆外切四边形的性质留意：此题仍可求得圆外切等腰梯形的腰长也为 5，即等于中位线长13如图， 在 abc 中，ab ac， c 72°， o 过 a、b 两点，

11、 且与 bc 切于点 b， 与 ac 交于 d，连结 bd，如 bc5 1，就 ac 【提示】在 abc 中， ab ac， 就 abc acb72°， bac 36°又bc 切 o 于 b， a dbc36° bdc 72° abd 72° 36° 36°ad bd bc 易证 cbd cab，bc 2 cd· caad bd bc，cd ac ad ac bcbc2（ ac bc）· ca解关于 ac 的方程，得ac2bc51ac2·（5 1） 251【答案】 2【点评】此题考查弦切角定理、

12、等腰三角形的性质、相像三角形的性质留意底角为72°的等腰三角形的特别性，底角的平分线把对边分成的两线段的比为51 ，即成黄金比 214用铁皮制造一个圆柱形的油桶，上面有盖，它的高为80 厘米，底面圆的直径为50厘米，那么这个油桶需要铁皮（不计接缝）厘米 2（不取近似值） 【提示】铁皮的面积即圆柱的侧面积与两底的面积的和底面圆面积为· 502 625 （厘米 2），14底面圆周长为× 5050 （厘米），就铁皮的面积为2×625 80× 50 5250 （厘米 2 ）【答案】 5250 厘米 2 【点评】此题考查圆柱的侧面绽开图的面积及圆柱的表面

13、积留意：圆柱的表面积等于侧面积与两底面积之和5已知两圆的半径分别为3 和 7，圆心距为5，就这两个圆的公切线有【提示】7 3 5 7 3，两圆相交，外公切线有2 条，内公切线有0 条【答案】 2 条【点评】此题考查两圆的位置关系及对应的圆心距与两圆半径的关系留意：仅仅从57 3 并不能肯定两圆相交，仍要看5 与 7 3 的大小关系16如图，以ab 为直径的 o 与直线 cd 相切于点e，且 ac cd， bdcd， ac 8 cm， bd 2 cm，就四边形acdb 的面积为 【提示】设ac 交 o 于 f，连结 bfab 为 o 的直径， afb 90°连结 oe，就 oe cd，

14、ac oe bd点 o 为 ab 的中点，e 为 cd 的中点oe1 （ bd ac）21 （ 8 2） 5（ cm）2ab 2× 5 10（ cm）在 rt bfa 中， af cabd 8 2 6（ cm）， ab 10 cm，bf10262 8（ cm）四边形 acdb 的面积为1 （ 2 8）· 8 40（ cm2）2【答案】 40 cm2【点评】此题考查直径的性质、中位线的判定与性质、切线的性质留意：在圆中不要忽视直径这一隐含条件17如图， pa、pb、de 分别切 o 于 a、b、c， o 的半径长为6 cm，po 10 cm，就 pde 的周长是 【提示】连结

15、oa，就 oa ap在 rt poa 中， paop2oa2 10262 8（ cm）由切线长定理，得ea ec，cd bd， papb， pde 的周长为pe de pd pe ec dc pd， pe ea pd db pa pb 16（ cm）【答案】 16 cm【点评】此题考查切线长定理、切线的性质、勾股定理留意：在有关圆的切线长的运算中，往往利用切线长定理进行线段的转换 18一个正方形和一个正六边形的外接圆半径相等，就此正方形与正六边形的面积之比为 122【提示】设两正多边形的外接圆半径为r，就正方形面积为4×· r 2 r2，正六边形的面积为6×3 r

16、2 3423 r2，所以它们的比为2 r2： 323 r2 43 9【答案】 43 9【点评】此题考查正方形、正六边形的面积与外接圆的半径之间的关系留意：正多边形的面积通常化为n 个三角形的面积和19如图， 已知 pa 与圆相切于点a，过点 p 的割线与弦ac 交于点 b，与圆相交于点d、e，且 pa pb bc，又 pd 4， de 21，就 ab 【提示】由切割线定理，得pa2 pd· pepa425 10pb bc 10pe pd de 25，be 2510 15db 21 15 6由相交弦定理，得ab· bc be· bdab· 1015

17、5; 6ab 9【答案】 9【点评】此题考查切割线定理与相交弦定理的应用，要观看图形，适当地进行线段间的转化20如图，在 abcd 中， ab 43 ，ad 23 ，bd ad，以 bd 为直径的 o 交ab 于 e，交 cd 于 f，就 abcd 被 o 截得的阴影部分的面积为 【提示】连结oe、dead bd，且 ab43 ， ad 23 ， dba 30°，且 bd6bd 为直径， deb 90°de bd· sin 30° 6×1 3， be 6×23 33 2s deb1 × 33 × 3293 2o 为

18、 bd 的中点，s boe1 s deb293 4do1 bd 3， doe 2× 30° 60°，2s 阴影 2（ s adb s 扇形 does eob）2（1 × 23 × 62602· 3 36093 ）4 153 3 2【答案】 15323【点评】此题考查了勾股定理、扇形面积公式、解直角三角形等学问留意：求不规章图形面积，往往转化为规章图形的面积的和或差的形式（三）判定题（每题2 分，共 10 分）21点 a、b 是半径为r 的圆 o 上不同的两点，就有0 ab 2 r（）【答案】【点评】由于直径是圆中最大的弦，就判定正确2

19、2等腰三角形顶角平分线所在直线必过其外接圆的圆心（）【答案】【点评】由于等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边，依据垂径定理的推论知，顶角平分线所在直线必过圆心23直角梯形的四个顶点不在同一个圆上（）【答案】【点评】如在同一个圆上，就对角互补，故四个角全为直角所以假设不成立，原命题成立24等边三角形的内心与外心重合（）【答案】【点评】等腰三角形的顶角的平分线也是对边的中线与高，因此等边三角形的内心与外心重合25两圆没有公共点时，这两个圆外离（）【答案】×【点评】两圆没有公共点时，既可以是外离，也可以是内含，所以原命题不成立（三）解答题与证明题（共50 分）26（ 8 分）如图， abc

20、内接于 o， ab 的延长线与过c 点的切线gc 相交于点d， be 与 ac 相交于点f，且 cb ce，求证：（ 1）be dg；（ 2）cb2 cf2 bf·fe【提示】（ 1）证明利用弦切角定理进行角之间的转化可证e gce；把（ 2）变形为cb2 cf2 bf· febf· fe cf· af，cf2 bf· fecf2 cf· af cf（ cfaf） cf· ca即只要证cb2 cf· ca 即可，只需证cbf cab【略证】（ 1）cg 为 o 的切线， ebc gcecb ce， ebc e e

21、gcegc eb（ 2） ebc e a， fcbo 为公共角，cbf cabcb2 cf· cacf·（ cf af） cf2 cf· af由相交弦定理，得cf· fa bf· fe，cb2 cf2 bf· fe即cb2 cf2 bf· fe【点评】对于形如a2 cd ef 的等式的证明较困难，因不易找到突破口一般先把待证明的等式进行变形，以便于看出等式中线段之间的联系如此题中，先把cf2 移到等式的右边去，再结合相交弦定理找出了思路27（ 8 分）如图， o 表示一个圆形工件，图中标注了有关尺寸，且mbma 14，求工件

22、半径的长【提示】把om 向两方延长，交o 于点 c、 d设 o 的半径为r，就可用相交弦定理求半径长【略解】把om 向两方延长，分别交o 于 c、d 两点设 o 的半径为r 从图中知， ab15 cm又mbma14，1mb× 153（ cm）， ma12 cm5从图中知， cm r 8， md r 8，由相交弦定理，得am· bmcm· md 12× 3（ r8）（ r 8）解此方程，得r10 或 r 10（舍去）故工件的半径长为10 cm【点评】此题是一道实际问题，要善于把实际问题转化为数学问题，因在圆中，om与 ab 相 交 ， 故 向 相 交 弦

23、定 理 转 化 28（ 8 分）已知：如图（1）， o1 与 o2 相交于 a、 b 两点，经过a 点的直线分别交 o1、 o2 于 c、d 两点（ c、d 不与 b 重合），连结 bd，过点 c 作 bd 的平行线交 o1 于点 e，连 be（ 1）求证： be 是 o2 的切线；（ 2）如图（ 2），如两圆圆心在公共弦ab 的同侧，其他条件不变，判定be 和 o2的位置关系（不要求证明）图（ 1）图（ 2）【提示】（ 1）过 b 作 o2 的直径 bh，连结 ab、ah，证 ebh 90°（ 2）用类似的方法去探求【证明】（ 1）连结 ab，作 o2 的直径 bh，连结 ah就

24、abh h 90°， h adb， eba ecaec bd， adb ace eba eba abh 90°即 ebh 90°be 是 o2 的切线（ 2）同理可知， be 仍是 o2 的切线【点评】 证明一与圆有公共点的直线是圆的切线的一般方法是过公共点作半径（或直径），再证直径与半径垂直，但此题已知条件中无90°的角，故作直径构造90°的角，再进行 角的转换同时两圆相交，通常作它们的公共弦，这样把两圆中的角都联系起来了另外，当问题进行了变式时，要学会借鉴已有的思路解题29（ 12 分）如图，已知cp 为 o 的直径， ac 切 o 于点

25、c，ab 切 o 于点 d，并与 cp 的延长线相交于点b，又 bd 2 bp求证：（ 1） pc 3 pb；（ 2） acpc【提示】（ 1）由于 bc bp pc，所以要证pc 3 bp，即要证bc 4 bp，用切割线定理进行转化 （ 2）要证 ac 等于 o 的直径，即要证ac 2×半径只要连结od， 易证 bod bac可利用相像三角形的性质证明结论【略证】（ 1）bd 是 o 的切线， bpc 是 o 的割线，bd2 bp· bcbd 2 bp，4 bd2 bp· bc4 bp bcbc bp pc，4 bp bp pcpc 3 bp（ 2）连结 doab 切 o 于点 d， ac 切 o 于点 c， odb acb 90° b b， odb acbdo acbd bc2 bp4