高考数学——圆锥曲线中的轨迹问题

1、-作者xxxx-日期xxxx高考数学圆锥曲线中的轨迹问题【精品文档】圆锥曲线中的轨迹问题1. 以下五个关于圆锥曲线的命题中：平面内到定点A(1，0)和定直线l：x=2的距离之比为12的点的轨迹方程是x24+y23=1；点P是抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M点A的坐标是A(3，6)，则|PA|+|PM|的最小值是6；平面内到两定点距离之比等于常数(>0)的点的轨迹是圆；若动点M(x，y)满足(x-1)2+(y+2)2=|2x-y-4|，则动点M的轨迹是双曲线；若过点C(1，1)的直线l交椭圆x24+y23=1于不同的两点A，B，且C是AB的中点，则直线l的方程是3x+4y-

2、7=0其中真命题的序号是_ .(写出所有真命题的序号)2. 已知圆C：(x+1)2+y2=8，点A(1，0)，P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线交CP于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E(1)求曲线E的方程；(2)若直线l：y=kx+m与曲线E相交于M，N两点，O为坐标原点，求MON面积的最大值3. 已知椭圆的中心在原点，左焦点为F1(-3，0)，且右顶点为D(2，0).设点A的坐标是(1，12) (1)求该椭圆的标准方程；(2)若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程4. 已知平面上的动点P(x，y)及两定点A(-2，0)，B(2，0)，直线PA，PB的斜率分别是&#

3、160;k1，k2且k1k2=-14(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)设直线l：y=kx+m与曲线C交于不同的两点M，N若OMON(O为坐标原点)，证明点O到直线l的距离为定值，并求出这个定值若直线BM，BN的斜率都存在并满足kBMkBN=-14，证明直线l过定点，并求出这个定点5. 已知圆A：x2+y2+2x-15=0和定点B(1，0)，M是圆A上任意一点，线段MB的垂直平分线交MA于点N，设点N的轨迹为C()求C的方程；()若直线y=k(x-1)与曲线C相交于P，Q两点，试问：在x轴上是否存在定点R，使当k变化时，总有ORP=ORQ？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由6. 已知

4、动点P与双曲线x2-y23=1.的两焦点F1，F2的距离之和为大于4的定值，且|PF1|PF2|的最大值为9(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)若A，B是曲线E上相异两点，点M(0，2)满足AM=MB，求实数的取值范围7. 如图，椭圆x2+y24=1的左、右顶点分别为A、B，双曲线以A、B为顶点，焦距为25，点P是上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为k，O为坐标原点(1)求双曲线的方程；(2)求点M的纵坐标yM的取值范围；(3)是否存在定直线l，使得直线BP与直线OM关于直线l对称？若存在，求直线l方程，若不存在，请说明理由8. 已知椭圆C

5、：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上下焦点分别为F1，F2，离心率为12，P为C上动点，且满足F2P=PQ(>0)，|PQ|=|PF1|，QF1F2面积的最大值为4()求Q点轨迹E的方程和椭圆C的方程；()直线y=kx+m(m>0)与椭圆C相切且与曲线E交于M，N两点，求SF1MN的取值范围9. 已知F1(-2，0)，F2(2，0)，点P满足|PF1|-|PF2|=2，记点P的轨迹为E(1)求轨迹E的方程；(2)若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点(i)无论直线l绕点F2怎样转动，在x轴上总存在定点M(m，0)，使MPMQ恒成立，求实数m的值(ii)在(i)的

6、条件下，求MPQ面积的最小值10. 在四边形ABCD中，已知A(0，0)，D(0，4)点B在x轴上.BC/AD，且对角线ACBD(1)求点C的轨迹T的方程；(2)若点P是直线y=2x一5上任意一点，过点p作点C的轨迹T的两切线PE、PF、E、F为切点.M为EF的中点.求证：PM/Y轴或PM与y轴重合：(3)在(2)的条件下，直线EF是否恒过一定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是.请说明理由11. 设F1、F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右两个焦点(1)若椭圆C上的点A(1，32)到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；(2)设点

7、K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程12. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1(-c，0)、F2(c，0)，离心率为12，椭圆上的动点P到直线l：x=a2c的最小距离为2，延长F2P至Q使得|F2Q|=2a，线段F1Q上存在异于F1的点T满足PTTF1=0(1)求椭圆的方程；(2)求点T的轨迹C的方程；(3)求证：过直线l：x=a2c上任意一点必可以作两条直线与T的轨迹C相切，并且过两切点的直线经过定点13. 已知圆A：(x+1)2+y2=494，圆B：(x-1)2+y2=14，动圆D和定圆A相内切，与定圆B相外切，(1)记动圆

8、圆心D的轨迹为曲线C，求C的方程；(2)MN是曲线C和x轴的两个交点，P是曲线C上异于MN的一点，求证kPM.kPN为定值；(3)过B点作两条互相垂直的直线l1，l2分别交曲线C于EFGH，求四边形EGFH面积的取值范围14. 已知两个定点A1(-2，0)，A2(2，0)，动点M满足直线MA1与MA2的斜率之积是定值m4(m0)(1)求动点M的轨迹方程，并指出随m变化时方程所表示的曲线C的形状；(2)若m=-3，过点F(-l，0)的直线交曲线C于A与B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴、y轴分别交于D，E两点.记GFD的面积为Sl，OED(O为坐标原点)的面积为S2.试问：是否存在直

9、线AB，使得Sl=S2？说明理由15. 已知动点Q与两定点(-2，0)，(2，0)连线的斜率的乘积为-12，点Q形成的轨迹为M()求轨迹M的方程；()过点P(-2，0)的直线l交M于A、B两点，且PB=3PA，平行于AB的直线与M位于x轴上方的部分交于C、D两点，过C、D两点分别作CE、DF垂直x轴于E、F两点，求四边形CEFD面积的最大值16. 如图，动点M与两定点A(-1，0)、B(1，0)构成MAB，且直线MA、MB的斜率之积为4，设动点M的轨迹为C()求轨迹C的方程；()设直线y=x+m(m>0)与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|<|PR|，求|PR|PQ|

10、的取值范围17. 在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，-3)，(0，3)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C(1)写出C的方程；(2)设直线y=kx+1与C交于A、B两点，k为何值时OAOB？18. 有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是，菜地分别为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为(1，0)，如图 (1)求菜地内的分界线C的方程；(2)菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得

11、到S1面积的经验值为83.设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的经验值19. 设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨(m>0，且m1).当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C(I)求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；()过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k>0，都有PQPH？

12、若存在，求m的值；若不存在，请说明理由答案和解析【答案】1.   2. 解：()点Q在线段AP的垂直平分线上，|AQ|=|PQ|又|CP|=|CQ|+|QP|=22，|CQ|+|QA|=22>|CA|=2曲线E是以坐标原点为中心，C(-1，0)和A(1，0)为焦点，长轴长为22的椭圆设曲线E的方程为x2a2+y2b2=1，(a>b>0)c=1，a=2，b2=2-1=1曲线E的方程为x22+y2=1()设M(x1，y1)，N(x2，y2). 联立y=kx+mx22+y2=1消去y，得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0此时有=16k2-8m2+8&g

13、t;0由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=-4km1+2k2，x1x2=2m2-21+2k2，. |MN|=1+k2(-4km1+2k2)2-4×2m2-21+2k2=1+k21+2k28(2k2-m2+1) 原点O到直线l的距离d=|m|1+k2-，SMON=12|MN|d=21+2k2m2(2k2-m2+1)，由>0，得2k2-m2+1>0又m0，据基本不等式，得SMON=21+2k2m2(2k2-m2+1)21+2k2m2+2k2-m2+12=22，当且仅当m2=2k2+12时，不等式取等号MON面积的最大值为22  3. 解：(1)a=

14、2，c=3，b=a2-c2=1.椭圆的标准方程为：x24+y2=1(2)设P(x0，y0)，M(x，y)，点A的坐标是(1，12)，线段PA的中点M，由中点坐标公式，得x=x0+12y=y0+122，x0=2x-1y0=2y-12，又x024+y02=1，(2x-1)24+(2y-12)2=1，即为中点M的轨迹方程  4. 解：(1)由题意得yx+2yx-2=-14，(x±2)，即x2+4y2=4(x±2)动点P的轨迹C的方程是x24+y2=1(x±2)(2)设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立y=kx+mx2+4y2=4，化为(1+4

15、k2)x2+8kmx+4m2-4=0，=64k2m2-16(m2-1)(1+4k2)=16(1+4k2-m2)>0x1+x2=-8km1+4k2，x1x2=4m2-41+4k2y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2，若OMON，则x1x2+y1y2=0，(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，(1+k2)(4m2-4)1+4k2-8k2m21+4k2+m2=0，化为m2=45(1+k2)，此时点O到直线l的距离d=|m|1+k2=255kBMkBN=-14，y1x1-2y1x1+2=-14，x1x2-2(x1+x2)+4+4y1y2=0

16、，x1x2-2(x1+x2)+4+4k2x1x2+4km(x1+x2)+4m2=0，代入化为4m2-4-8km(4km-2)1+4k2+4m2+4=0，化简得m(m+2k)=0，解得m=0或m=-2k当m=0时，直线l恒过原点；当m=-2k时，直线l恒过点(2，0)，此时直线l与曲线C最多有一个公共点，不符合题意，综上可知：直线l恒过定点(0，0)  5. 解：()圆A：(x+1)2+y2=16，圆心A(-1，0)，由已知得|NM|=|NB|，又|NM|+|NB|=4，所以|NA|+|NB|=4>|AB|=2，所以由椭圆的定义知点N的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设其标

17、准方程C：x2a2+y2b2=1，则2a=4，2c=2，所以a2=4，b2=3，所以曲线C：x24+y23=1()设存在点R(t，0)满足题设，联立直线y=k(x-1)与椭圆方程x24+y23=1消y得(4k2+3)x2-8k2x+(4k2-12)=0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由韦达定理得x1+x2=8k24k2+3，x1x2=4k2-124k2+3，由题设知OR平分PRQ直线RP与直RQ的倾斜角互补，即直线RP与直线RQ的斜率之和为零，即y1x1-t+y2x2-t=0，即x1y2+x2y1-t(y1+y2)=0，即2kx1x2-(1+t)k(x1+x2)+2tk=0，把、代入

18、并化简得(t-4)k4k2+3=0，即(t-4)k=0，所以当k变化时成立，只要t=4即可，所以存在定点R(4，0)满足题设  6. 解：(1)双曲线x2-y23=1的焦点F1(-2，0)设已知定值为2a，则|PF1|+|PF2|=2a，因此，动点P的轨迹E是以F1(-2，0)，F2(2，0)为焦点，长轴长为2a的椭圆设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)|PF1|PF2|(|PF1|+PF22)2=a2，a2=9，b2=a2-c2=5，动点P的轨迹E的方程x29+y25=1；(II)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由点M(0，2)满足AM=M

19、B，得：-x1=x2-2-y1=(y2+2)且M，A，B三点共线，设直线为l，当直线l的斜率存在时，设l：y=kx-2，则将直线的方程代入椭圆的方程，化简得：(5+9k2)x2-36kx-9=0，根据根与系数的关系得：x1+x2=36k5+9k2，x1x2=-95+9k2，将x1=-x2，代入，消去x2，得：(1-)2=144k25+9k2，化得：(1-)2=144k25+9k2=1445k2+90<(1-)2<16，解之得：实数的取值范围为9-45，9+45.  7. 解：(1)由题意，a=1，c=5，b=2，双曲线的方程x2-y24=1；(2)由题意，设P(

20、x1，y1)，Q(x2，y2)，直线AP的方程y=k(x+1)(0<k<2)，代入椭圆方程，整理得(4+k2)x2+2k2x+k2-4=0 x=-1或x2=4-k24+k2，Q(4-k24+k2，8k4+k2)，M(-k24+k2，4k4+k2) yM=4k4+k2=4k+4k在(0，2)上单调递增，yM(0，1) (3)由题意，kAPkBP=y11+x1y11-x1=4，同理kAPkOM=-4，kOM+kBP=0，设直线OM：y=k'x，则直线BP：y=-k'(x-1)，解得x=12，kOM+kBP=0，直线BP与OM关于直线x=12对称  8

21、. 解：()由椭圆定义得：|F2Q|=|F2P|+|PQ|=|F2P|+|PF1|=2a，所以点Q的轨迹是以F2为圆心，2a为半径的圆.(1分) 当QF2F1F2时QF1F2面积最大，所以122c2a=4得：ac=2(2分) 又ca=12可得a=2，c=1.               (3分) 所以Q点轨迹E的方程x2+(y+1)2=16，椭圆C的方程y24+x23=1(5分) ()由y=kx+my24+x23=1得(3k2+4)x2+6kmx

22、+3m2-12=0=36k2m2-4(3k2+4)(3m2-12)=0 化简得：3k2-m2+4=0(7分) 所以，k2=m2-43 由k2=m2-430及m>0得，m2 (8分) 设圆心F2(0，-1)到直线MN的距离为d，则d=|m+1|1+k2=3(m+1)m-1 所以，弦长          |MN|=216-d2=213m-19m-1(9分) 设点F1(0，1)到直线MN的距离为h，则h=|m-1|1+k2=3(m-1)m+1(10分) 所以，SF1MN=12|MN|h=3(13

23、m-19)m+1=39-96m+1 由m2，得：39-96m+17，39) 所以，SF1MN的取值范围为7，39).             (12分)  9. 解：(1)由|PF1|-|PF2|=2<|F1F2|知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，由c=2，2a=2，b2=3，故轨迹E的方程为x2-y23=1(x1).-(3分) (2)当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k(x-2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，与

24、双曲线方程联立消y得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0，k2-30>0x1+x2=4k2k2-3>0x1x2=4k2+3k2-3>0，解得k2>3-(5分) (i)MPMQ=(x1-m)(x2-m)+y1y2 =(x1-m)(x2-m)+k2(x1-2)(x2-2)=(k2+1)x1x2-(2k2+m)(x1+x2)+m2+4k2=(k2+1)(4k2+3)k2-3-4k2(2k2+m)k2-3+m2+4k2=3-(4m+5)k2k2-3+m2(7分)MPMQ，MPMQ=0，故得3(1-m2)+k2(m2-4m-5)=0对任意的k2>3恒成立，1-m2=0

25、m2-4m-5=0，解得m=-1.当m=-1时，MPMQ当直线l的斜率不存在时，由P(2，3)，Q(2，-3)及M(-1，0)知结论也成立，综上，当m=-1时，MPMQ.-(8分) (ii)由(i)知，M(-1，0)，当直线l的斜率存在时，|PQ|=1+k2|x1-x2|=61+k2k2-3，M点到直线PQ的距离为d，则d=3|k|1+k2 SMPQ=12|PQ|d=9|k|1+k2k2-3=9(1+k2)k2k2-3=9(1+k2)k2(k2-3)2-(10分) 令k2-3=t(t>0)，则SMPQ=912t2+7t+1，因为1t>0 所以SMPQ=912t2+7t+1>9

26、-(12分) 当直线l的斜率不存在时，SMPQ=1236=9-(13分) 综上可知SMPQ9，故SMPQ的最小值为9.-(14分)  10. 解：(1)设点C(x，y)(x0，y0)，则B(x，0)，AC=(x，y)，BD=(-x，4)ACBD，-x2+4y=0，即y=14x2(x0)点C的轨迹T是去掉顶点的抛物线(2)对函数y=14x2求导得，y'=12x设切点(x0，14x02)，则过该切点的切线的斜率为12x0切线方程为y-14x02=12x0(x-x0)设点P(t，2t-5)，由于切线经过点P，2t-5-14x02=12x0(t-x0)化为x02-2tx0+

27、8t-20=0设点E(x1，14x12)，F(x2，14x22)则x1，x2是方程x2-2tx+8t-20=0的两个实数根，x1+x2=2t，x1x2=8t-20xM=x1+x22=t因此当t=0时，直线PM与y轴重合；当t0时，直线PM与y轴平行(3)yM=12(14x12+14x22)=18(x1+x2)2-2x1x2=184t2-2(8t-20)=12t2-2t+5点M(t，12t2-2t+5)又kEF=14x12-14x22x1-x2=14(x1+x2)=14×2t=12t直线EF的方程为：y-(12t2-2t+5)=12t(x-t)，即t(x-4)+10-2y=0.(*)当

28、x=4，y=5时，方程(*)恒成立对任意实数t，直线EF恒过定点(4，5)  11. 解：(1)椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2.(2分) 又点A(1，32)在椭圆上，因此122+(32)2b2=1得b2=3，于是c2=1.(4分) 所以椭圆C的方程为x24+y23=1，(5分) 焦点F1(-1，0)，F2(1，0).(7分) (2)设椭圆C上的动点为K(x1，y1)，线段F1K的中点Q(x，y)满足：x=-1+x12，y=y12，即x1=2x+1，y1=2y.(11分) 因此(2x+1)24+(2y)23=1.即(x

29、+12)2+4y23=1为所求的轨迹方程.(15分)  12. (1)解：依题意，椭圆离心率为12，椭圆上的动点P到直线l：x=a2c的最小距离为2，ca=12a2c-a=2，(2分) c=1a=2，b2=a2-c2=3 (3分) 椭圆的方程为x24+y23=1   (4分) (2)解：设点T的坐标为(x，y)当P，T重合时，点T坐标为(2，0)和点(-2，0)，(5分) 当P，T不重合时，由PTTF1=0，得PTTF1.(6分) 由|F2Q|=2a及椭圆的定义，|PQ|=|QF2|-|PF2|=2a-|PF2|=|PF1|，(7分)

30、 所以PT为线段F1Q的垂直平分线，T为线段F1Q的中点在QF1F2中，OT=12|F2Q|=a=2，(8分) 所以有x2+y2=4综上所述，点T的轨迹C的方程是x2+y2=4.(9分) (3)证明：直线l：x=a2c与x2+y2=4相离，过直线上任意一点M(4，t)可作圆x2+y2=4的两条切线ME，MF  (10分) 所以OEME，OFMF，所以O，E，M，F四点都在以OM为直径的圆上，(11分) 其方程(x-2)2+(y-t2)2=4+(t2)2(12分) EF为两圆的公共弦，-得：EF的方程为4x+ty-4=0    

31、0;  (13分) 显然无论t为何值，直线EF经过定点(1，0).(14分)  13. 解：(1)设动圆圆心D(x，y)，半径为r，由动圆D和定圆A相内切，与定圆B相外切，可得DA+DB=4，(2分) 则D是以AB为焦点的椭圆，a=2，c=1，b=3，所以曲线C的方程为x24+y23=1.-3分(2)由题意可得，M(-2，0)，N(2，0)，设P(x0，y0)，则有x024+y023=1，那么kPMkPN=y0x0+2y0x0-2=y02x02-4=-34-(6分) (3)()当l1、l2中有一条斜率不存在时，不妨设l1x轴，则l2与x轴重合.则EF=3

32、，MN=4，所以S四边形EGFH=12EFGH=6.-(7分) ()当l1、l2的斜率均存在时，不妨设l1的斜率为k(k0)，则l2的斜率为-1k，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，G(x3，y3)，H(x4，y4)，因为B(1，0)，所以联立直线方程和椭圆方程，有l1：y=k(x-1)x24+y23=1(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，得x1+x2=8k23+4k2，x1x2=4k2-123+4k2，-(8分) 所以EF=1+k2|x1-x2|=12(1+k2)3+4k2将k换为-1k，有x3+x4=83k2+4，x3x4=4-12k23k2+4，GH=12(k2+1)3k

33、2+4，则SEGFH=12EFGH=72(1+k2)2(3+4k2)(3k2+4)，-(10分) 设t=1+k2，则t>1，那么SEGFH=72t2(4t-1)(3t+1)=72t212t2+t-1=72-(1t-12)2+494 当t=2，即k=±1时，SEGFH取最小值28849，当t+时，SEGFH6综上所述，四边形EGFH面积的取值范围为28849，6.-(12分)  14. 解：(1)设动点M(x，y)，依题意有yx-2yx+2=m4，(m0)，整理，得x24-y2m=1，m2动点M的轨迹方程为x24-y2m=1，x±2m>0时，轨

34、迹是焦点在x轴上的双曲线，m(-4，0)时，轨迹是焦点在x轴上的椭圆，m=-4时，轨迹是圆，m(-，-4)时，轨迹是焦点在y轴上的椭圆，且点A1(-2，0)，A2(2，0)不在曲线上(2) m=-3时，动点M的轨迹方程为x24+y23=1( x±2)，假设垂直直线AB，使Sl=S2，显然直线AB不能与x，y轴垂直，直线AB的斜率存在且不为0，设AB方程为y=k(x+1)，代入x24+y23=1并整理得(3+4 k2) x2+8kk2 x+4k2-12=0 设A(xE1E，yE1E)，B(xE2，yE2)，则xE1E+xE2=-8k23+4k2，yE1E+yE2=6k3+4k2，则G(

35、-4k23+4k2，3k3+4k2)，DGAB，3k3+4k2-4k3+4k2-xDk=-1，解得xED=-k23+4k2，即D(-k23+4k2，0)，GFDOED，S1S2=(|DG|OD|)2，又Sl=S2，|DG|=|OD|，(-k23+4k2-4k23+4k2)2+(3k3+4k2)2=|-k23+4k2|，整理得8k2+9=0，此方程无解，不存在直线AB，使Sl=S2  15. 解：()设动点Q的坐标是(x，y)，由题意得yx+2yx-2=-12(x±2)，化简，整理得x22+y2=1 故Q点的轨迹方程是x22+y2=1(x±2)；()设直线

36、方程为x=my+n，代入椭圆方程可得(m2+2)y2+2mny+n2-2=0，=8(m2-n2+2) 设直线l与曲线M的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2=-2mnm2+2，y1y2=n2-2m2+2，PB=3PA，y2=3y1， n=-2时，由可得m=±2，满足>0不妨取m=2，则y1+y2=-23n，y1y2=n2-26，由已知及>0，可得2<n2<6，|x1-x2|=2|y1-y2|=212-2n23，S=12|y1+y2|x1-x2|=229n2(6-n2)229×62=223，当且仅当n2=3时等号成立，四边形CEFD面积

37、的最大值为223  16. 解：()设M(x，y)，则kMA=yx+1，kMB=yx-1 直线MA、MB的斜率之积为4，yx+1×yx-1=4 4x2-y2-4=0 又x=±1时，必有一个斜率不存在，故x±1 综上点M的轨迹方程为4x2-y2-4=0(x±1) ()直线y=x+m与4x2-y2-4=0(x±1)联立，消元可得3x2-2mx-m2-4=0 =16m2+48>0 当1或-1是方程的根时，m的值为1或-1，结合题设(m>0)可知，m>0且m1 设Q，R的坐标分别为(xQ，yQ)，(xR，yR)，|

38、PQ|<|PR|，xR=m+2m2+33，xQ=m-2m2+33，|PR|PQ|=-xRxQ=-m+2m2+33m-2m2+33=1-21-21+3m2 m>0且m1 1+3m2>1，且1+3m24 1<1-21-21+3m2<3，且1-21-21+3m253 |PR|PQ|的取值范围是(1，53)(53，3)  17. 解：(1)由条件知：P点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，其中c=3，a=2，所以b2=a2-c2=4-(3)2=1故轨迹C的方程为：y24+x2=1；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2) 由y=kx+1y24+x2=1(kx

39、+1)2+4x2=4，即(k2+4)x2+2kx-3=0 由=16k2+48>0，可得：x1+x2=-2kk2+4x1x2=-3k2+4，再由OAOBOAOB=0x1x2+y1y2=0，即(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1=0，所以-3(k2+1)k2+4-2k2k2+4+1=0，k2=14k=±12  18. 解：(1)设分界线上任意一点为(x，y)，由题意得|x+1|=(x-1)2+y2，得y=2x，(0x1)，(2)设M(x0，y0)，则y0=1， x0=y024=14，设所表述的矩形面积为S3，则S3=2×(14+1)=2×

40、;54=52，设五边形EMOGH的面积为S4，则S4=S3-SOMP+SMGN=52-12×14×1+12×34×1=114，S1-S3=83-52=16，S4-S1=114-83=112<16，五边形EMOGH的面积更接近S1的面积  19. 解：(I)如图1，设M(x，y)，A(x0，y0) 丨DM丨=m丨DA丨，x=x0，|y|=m|y0| x0=x，|y0|=1m|y| 点A在圆上运动，x02+y02=1 代入即得所求曲线C的方程为x2+y2m2=1(m>0，m1) m(0，1)(1，+)，0<m<1时

41、，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(-1-m2，0)，(1-m2，0) m>1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0，-m2-1)，(0，m2-1) ()如图2、3，x1(0，1)，设P(x1，y1)，H(x2，y2)，则Q(-x1，-y1)，N(0，y1)，P，H两点在椭圆C上，m2x12+y12=m2m2x22+y22=m2 -可得(y1-y2)(y1+y2)(x1-x2)(x1+x2)=-m2 Q，N，H三点共线，kQN=kQH，2y1x1=y1+y2x1+x2 kPQkPH=y1(y1-y2)x1(x1-x2)=-m22 PQPH，kPQkPH=-1 -

42、m22=-1 m>0，m=2 故存在m=2，使得在其对应的椭圆x2+y22=1上，对任意k>0，都有PQPH   【解析】1. 解：平面内到定点A(1，0)和定直线l：x=2的距离之比为12的点的轨迹方程是x24+y23=1，显然不正确，因为(2，0)在直线x=2上；点P是抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M点A的坐标是A(3，6)，则|PA|+|PM|的最小值是6；因为(3，6)在抛物线的内部，所以正确；平面内到两定点距离之比等于常数(>0)的点的轨迹是圆，=1时是直线，所以不正确；若动点M(x，y)满足(x-1)2+(y+2)2=|2x-y

43、-4|，则动点M的轨迹是双曲线，显然不正确，因为不满足双曲线的定义；若过点C(1，1)的直线l交椭圆x24+y23=1于不同的两点A，B，且C是AB的中点，则直线l的方程是3x+4y-7=0，满足题意，正确故答案为： 求出平面内到定点A(1，0)和定直线l：x=2的距离之比为12的点的轨迹方程，即可判断x24+y23=1的正误；确定点A(3，6)的位置，即可判定|PA|+|PM|的最小值是6是否正确；找出反例即可否定平面内到两定点距离之比等于常数(>0)的点的轨迹是圆；利用双曲线的第二定义判断：若动点M(x，y)满足(x-1)2+(y+2)2=|2x-y-4|，则动点M的轨迹是双曲线是否

44、正确；若过点C(1，1)的直线l交椭圆x24+y23=1于不同的两点A，B，且C是AB的中点，求出直线l的方程是否为3x+4y-7=0，即可判定正误本题是中档题，考查圆锥曲线的基本性质，轨迹方程的求法，综合能力比较强，知识面比较宽，常考题型2. (1)根据椭圆的定义和性质，建立方程求出a，b即可(2)联立直线和椭圆方程，利用消元法结合设而不求的思想进行求解即可本题主要考查与椭圆有关的轨迹方程问题，以及直线和椭圆的位置关系的应用，利用消元法以及设而不求的数学思想是解决本题的关键.，运算量较大，有一定的难度3. (1)利用椭圆的中心在原点，左焦点为F1(-3，0)，且右顶点为D(2，0).求出椭圆

45、的几何量a，b，即可得到椭圆方程(2)设P(x0，y0)，M(x，y)，点A的坐标是(1，12)，线段PA的中点M，转化求解代入椭圆方程即可得到M的轨迹方程本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力4. (1)利用斜率计算公式即可得出；(2)把直线l的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，利用OMONx1x2+y1y2=0即可得到k与m的关系，再利用点到直线的距离公式即可证明；利用斜率计算公式和根与系数的关系即可得出k与m的关系，进而证明结论本题综合考查了直线与椭圆相交问题转化为直线l的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系、OMONx1x2+y1y2=0、点到直线的距

46、离公式、斜率计算公式等基础知识与基本能力，考查了推理能力和计算能力5. ()求出圆心A(-1，0)，通过|NM|=|NB|，推出点N的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设其标准方程，求出a，c，即可求解椭圆方程()设存在点R(t，0)满足题设，联立直线y=k(x-1)与椭圆方程x24+y23=1消y得(4k2+3)x2-8k2x+(4k2-12)=0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，利用韦达定理，通过直线RP与直线RQ的斜率之和为零，得到x1y2+x2y1-t(y1+y2)=0，即2kx1x2-(1+t)k(x1+x2)+2tk=0，推出t=4存在定点R(4，0)满足题设本题考查椭圆方程的求法

47、直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查存在性问题的处理方法，考查分析问题解决问题的能力6. (1)先由双曲线的方程得到两焦点，设已知定值为2a，则|PF1|+|PF2|=2a，因此，动点P的轨迹E是以F1(-2，0)，F2(2，0)为焦点，长轴长为2a的椭圆.利用待定系数法结合基本不等式即可求得椭圆的方程；(2)设所求直线l的方程：y=kx-2，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量关系式即可求得实数的取值范围，从而解决问题本小题主要考查圆锥曲线的轨迹问题、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想.属于

48、中档题7. (1)求由题意，a=1，c=5，b=2，即可双曲线的方程；(2)yM=4k4+k2=4k+4k在(0，2)上单调递增，即可求点M的纵坐标yM的取值范围；(3)求出kOM+kBP=0，可得直线BP与OM关于直线x=12对称本题考查轨迹方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查斜率的计算，属于中档题8. ()由椭圆定义得：|F2Q|=|F2P|+|PQ|=|F2P|+|PF1|=2a，点Q的轨迹是以F2为圆心，2a为半径的圆，当QF2F1F2时QF1F2面积最大，推出ac=2，结合离心率，然后求解椭圆方程即可()联立y=kx+my24+x23=1通过=0，推出k2=m2-43求出m2，设

49、圆心F2(0，-1)到直线MN的距离为d，求出弦长，设点F1(0，1)到直线MN的距离为h，求出三角形的面积的表达式，然后求解范围即可本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，三角形的面积的求法，点到直线的距离公式的应用，考查转化思想以及计算能力9. (1)利用双曲线的定义及其标准方程即可得出；(2)当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k(x-2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，与双曲线方程联立消y得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0，利用根与系数的关系、判别式解出即可得出(i)利用向量垂直与数量积的关系、根与系数的关系即可得出；(ii)利用点到直线的距离公式、弦

50、长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出本题考查了双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题、向量垂直与数量积的关系、一元二次方程的根与系数的关系、点到直线的距离公式、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题10. (1)设点C(x，y)(x0，y0)，则B(x，0)，利用BC/AD，可得点B的坐标，再利用ACBDACBD=0即可得出；(2)对函数y=14x2求导可得切线的斜率，设切点(x0，14x02)，可得切线方程为y-14x02=12x0(x-x0).设点P(t，2t-5)，由于切线经过点P，可得2

51、t-5-14x02=12x0(t-x0).设点E(x1，14x12)，F(x2，14x22).则x1，x2是方程x2-2tx+8t-20=0的两个实数根，利用根与系数的关系，再利用中点坐标公式即可得到点M的横坐标，进而得到结论；(3)利用(2)可得到点M的坐标，求出斜率，即可得到直线EF的方程，即可得到定点熟练掌握向量垂直与数量积的关系、直线与抛物线相切问题、根与系数的关系、直线的点斜式及其直线过定点问题等是解题的关键11. (1)把已知点的坐标代入椭圆方程，再由椭圆的定义知2a=4，从而求出椭圆的方程，由椭圆的方程求出焦点坐标(2)设F1K的中点Q(x，y)，则由中点坐标公式得点K(2x+1，2y)，把K的坐标代入椭圆方程，化简即得线段KF1的中点Q的轨迹方程本题考查椭圆的简单性质、线段的中点公式，以及用代入法求轨迹方程12.