函数知识点总结与经典例题与解析

1、学习必备精品学问点函数学问点总结学问点一、平面直角坐标系1、平面直角坐标系在平面内画两条相互垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系；其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点o（即公共的原点）叫做直角坐标系的原 点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面；为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、其次象限、第三象限、第四象限；留意： x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限；2、点的坐标的概念点的坐标用（ a，b）表示，其次序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横

2、、纵坐标的位置不能颠倒；平面内点的坐标是有序实数对，当（ a， b）和（ b，a）是两个不同点的坐标；学问点二、不同位置的点的坐标的特点1 、各象限内点的坐标的特点ab 时，点 px,y在第一象限x0, y0点 px,y在其次象限x0, y0点 px,y在第三象限x0, y0点 px,y在第四象限x0, y02、坐标轴上的点的特点点 px,y 在 x 轴上点 px,y 在 y 轴上y0 ， x 为任意实数x0， y 为任意实数点 px,y既在 x 轴上，又在 y 轴上x，y 同时为零，即点 p坐标为（ 0，0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特点点 px,y在第一、三象限夹角平分线上x 与

3、 y 相等点 px,y在其次、四象限夹角平分线上x 与 y 互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特点位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同；位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同；5、关于 x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特点点 p 与点 p关于 x 轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数点 p 与点 p关于 y 轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数学习必备精品学问点点 p 与点 p关于原点对称横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点 px,y到坐标轴及原点的距离：（1）点 px,y到 x 轴的距离等于y（2）点 px,y到 y 轴的距离等于x（3）点 px,y到原

4、点的距离等于x2y 2学问点三、函数及其相关概念1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量；一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与 y，假如对于 x 的每一个值， y都有唯独确定的值与它对应，那么就说x 是自变量， y 是 x 的函数；2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式； 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范畴；3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系， 有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法；（2）列表法把自变量 x 的一系列值和函数y 的对应

5、值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法；（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法；4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：依据自变量由小到大的次序，把所描各点用平滑的曲线连接起来；学问点四、正比例函数和一次函数1、正比例函数和一次函数的概念一般地，假如 ykxb （ k，b 是常数， k0），那么 y 叫做 x 的一次函数；特殊地，当一次函数ykxb 中的 b 为 0 时， ykx （k 为常数， k0）；这时， y 叫做 x 的正比例函数；2、一次函数的图像全部一次函

6、数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特点：学习必备精品学问点一次函数 ykxb 的图像是经过点（ 0，b）的直线；正比例函数ykx 的图像是经过原点（ 0，0）的直线；k 的b 的符号符号函数图像图像特点yb>00x图像经过一、二、三象限，y 随 x 的增大而增大；k>0yb<00x图像经过一、三、四象限，y 随 x 的增大而增大；yk<0b>00x图像经过一、 二、四象限，y 随 x 的增大而减小yk<0b<00x图像经过二、 三、四象限，y 随 x 的增大而减小；注：当 b=0 时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特

7、例；4、正比例函数的性质一般地，正比例函数ykx 有以下性质：学习必备精品学问点（1）当 k>0 时，图像经过第一、三象限， y 随 x 的增大而增大，图像从左之右上升；（2）当 k<0 时，图像经过其次、四象限， y 随 x 的增大而减小，图像从左之右下降；5、一次函数的性质一般地，一次函数ykxb 有以下性质：（1）当 k>0 时， y 随 x 的增大而增大（2）当 k<0 时， y 随 x 的增大而减小（3）当 b>0 时，直线与 y 轴交点在 y 轴正半轴上（4）当 b<0 时，直线与 y 轴交点在 y 轴负半轴上6、正比例函数和一次函数解析式的确定

8、确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式ykx （k0）中的常数 k；确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式k 和 b；解这类问题的一般方法是待定系数法学问点五、反比例函数1、反比例函数的概念ykxb （ k0）中的常数一般地，函数 yk （k是常数， k0）叫做反比例函数；反比例函数的解x析式也可以写成ykx 1 或 xy=k 的形式；自变量x 的取值范畴是x0 的一切实数，函数的取值范畴也是一切非零实数；2、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或其次、四象限，它们关于原点对称；由于反比例函数中自变量x0， 函数 y0，所以，它的图

9、像与 x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限 接近坐标轴，但永久达不到坐标轴；3、反比例函数的性质反比例函y数k k0 xk 的k>0k<0符号学习必备精品学问点yy图像oxoxx 的取值范畴是 x0，y的取值范畴是 y0；当 k>0 时，函数图像的两个分支性质分别在第一、三象限；在每个象限内，x 的取值范畴是 x0， y的取值范畴是 y0；当 k<0 时，函数图像的两个分支分别在其次、四象限；在每个象限内，y随 x 的增大而增大；y随 x 的增大而减小；4、反比例函数解析式的确定确定解析式的方法仍是待定系数法；由于在反比例函数yk 中，只有一个x待定系数，因

10、此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式；5、反比例函数中反比例系数的几何意义如过反比例函数yk k x0 图像上任一点 p 作 x 轴、y 轴的垂线 pm，pn，就所得的矩形 pmon的面积 s=pm pn=yx学问点六、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念xy ；yk ,xy xk, sk ；一般地，假如 yax 2bxca , b, c是常数， a0 ，特殊留意 a 不为零 ，那么 y 叫做 x 的二次函数；yax 2bxc a, b, c是常数， a0 叫做二次函数的一般式；2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于xb对称的曲线，这条曲线叫抛物线

11、；2a抛物线的主要特点（也叫抛物线的三要素）：有开口方向；有对称轴；有顶点；3、二次函数图像的画法五点法：（1）先依据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点m，学习必备精品学问点并用虚线画出对称轴（2）求抛物线 yax2bxc 与坐标轴的交点：当抛物线与 x 轴有两个交点时， 描出这两个交点 a,b 及抛物线与 y 轴的交点c，再找到点 c 的对称点 d；将这五个点按从左到右的次序连接起来，并向上或向下延长，就得到二次函数的图像；2当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时， 描出抛物线与 y 轴的交点 c 及对称点 d；由 c、m、d 三点可粗略地画出二次函数的草图；假如需要画出

12、比较精确的图像，可再描出一对对称点a、b，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像；学问点七、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：yax的性质：a 的符号开口方向顶点坐对称性质标轴a0向上0 ，0x0 时， y 随 x 的增大而增大； x0 时，y 轴y 随 x 的增大而减小； x0 时， y 有最小值 0 a0向下0 ，0x0 时， y 随 x 的增大而减小； x0 时，y 轴y 随 x 的增大而增大； x0 时， y 有最大值 0 a的肯定值越大，抛物线的开口越小；22. yaxc 的性质：二次函数yaxc 的图像可由yax的图像上下平移得到 （平移规律：上加下22减）；a 的符号开口方

13、向顶点坐对称性质标轴a0向上0 ，cx0 时， y 随 x 的增大而增大；x0 时，y 轴y 随 x 的增大而减小； x0 时， y 有最小值 c a0向下0 ，cx0 时， y 随 x 的增大而减小；x0 时，y 轴y 随 x 的增大而增大； x0 时， y 有最大值 c 学习必备精品学问点3. ya xh2的性质：二次函数ya xh的图像可由yax 2 的图像左右平移得到 （平移规律：左加2右减）；开口方a 的符号向顶点坐对称性质标轴a0向上h，0x=hxh 时， y 随 x 的增大而增大； xh 时，y 随 x 的增大而减小； xh 时， y 有最小值 0 a0向下h，0x=hxh 时，

14、 y 随 x 的增大而减小； xh 时， y 随 x 的增大而增大； xh 时， y 有最4. ya xh 2k 的性质：大值 0 a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上h ，kx=hxh 时， y 随 x 的增大而增大； xh 时，y 随 x 的增大而减小； xh 时， y 有最小值 k a0向下h ，kx=hxh 时， y 随 x 的增大而减小； xh 时， y 随 x 的增大而增大； xh 时， y 有最大值 k 2学问点八、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：yaxbxc （ a ， b ， c 为常数， a0 ）；2. 顶点式：ya xh 2k （ a ， h ， k 为常数

15、， a0 ）；3. 两点式： yaxx1 xx2 （ a0 ，x1 ，x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非全部的二次函数都可以写成两点式， 只有抛物线与 x 轴有交点， 即 b24ac0 时，抛物线的解析式才可以用两点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.a 的肯定值越大，抛物线的开口越小；学问点九、二次函数解析式的确定依据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必需依据题目的特点，挑选适当的形式， 才能使解题简便 一学习必备精品学问点般来说，有如下几种情形：1. 已知抛物线上三点的坐标，

16、一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式学问点十、二次函数的最值假如自变量的取值范畴是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小b4 acb 2值），即当 x时， y最值；2a4a假如自变量的取值范畴是x1xx2，那么，第一要看b是否在自变量取2ab4acb 2值范畴 x1x x2 内，如在此范畴内，就当x=时， y最值；如不在2a4a此范畴内，就需要考虑函数在x1xx2 范畴内的增减性，假如在此范畴内，y随x的 增 大 而 增 大 ， 就 当 x

17、x2 时 ，y最大ax 2bx2c ， 当 xx1 时 ，y最小ax 2bx1c ；假如在此范畴内， y 随 x的增大而减小，就当xx1 时，1y最大ax 2bx1c ，当 xx2 时，y最小ax 2bx 2c ；12学问点十一、二次函数的性质1、二次函数的性质函数y ax 2二次函数bxc a,b, c是常数， a0a>0a<0yy图像0x0x2性（1）抛物线开口向上，并向上无限延长；质（2）对称轴是 x=b ，2a（1）抛物线开口向下， 并向下无限延长；（2）对称轴是 x=b ，2a学习必备精品学问点顶点坐标是（b4acb 2，）；2a4 a顶点坐标是（b4acb 2，）；2a

18、4a（3）在对称轴的左侧，即当x<b时，2a（3）在对称轴的左侧，即当x<b 时，2ay 随 x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而增大；在对称轴的右即当 x>b 时， y 随 x 的增大而增大，2a侧，即当 x>b时， y 随 x 的增大而简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当x=b 时， y 有2a2 a减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=b 时，最小值，y最小值4acb 24 ay 有最大值，y最大值2a4acb 24a2、二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情形）：2一元二次方程ax情形.bxc0 是二次函数yax2bx

19、c 当函数值y0 时的特殊图象与 x 轴的交点个数：2 当b4ac0 时，图象与 x 轴交于两点a x ，0 ，b x ，0 xx ，其中12122的 x ，x是一元二次方程axbxc0 a0的两根这两点间的距离122abx2x1b4ac a推导过程： 如抛物线 yax2bxc 与 x 轴两交点为a x1，0 ， bx2，0，由于x1 、x2 是方程ax2bxc0 的两个根，故x1x2bc, x1x2aa222b4cb24acabx1x2x1x2x1x24x1 x2aaaa 当0 时，图象与 x 轴只有一个交点； 当0 时，图象与 x 轴没有交点 .1'当 a0 时，图象落在 x 轴的

20、上方，无论 x 为任何实数，都有y0 ；2' 当 a0 时，图象落在 x 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有y0 记忆规律：一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标；因此一元二次方程中的b 24ac ，在二次函数中表示图像与x 轴是否有学习必备精品学问点交点；当>0 时，图像与 x 轴有两个交点；当=0 时，图像与 x 轴有一个交点；当<0 时，图像与 x 轴没有交点；学问点十二中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，懂得记忆）1、两点间距离公式 （当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）y22如图：点 a 坐标为（ x1， y1）点 b

21、 坐标为（ x2，y2）就 ab间的距离，即线段ab的长度为x1x2y1y2a02、二次函数图象的平移 将抛物线解析式转化成顶点式b2ya xhk ，确定其顶点坐标h ，k； 保持抛物线yax的外形不变， 将其顶点平移到h，k处，详细平移方法2如下：y=ax 2向上 k>0【或向下 k <0】平移 |k |个单位y=ax 2+ k向右 h>0【或左 h<0】平移 |k| 个单位y=ax-h2向右 h>0 【或左 h<0 】平移 |k| 个单位向上 k>0 【或下 k<0 】平移 |k|个单位向上 k>0 【或下 k<0】平移 |k|个

22、单位向右 h>0【或左 h<0】平移 |k| 个单位y=ax-h2+k平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减，上加下减” 函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占 3 分，但把握这个学问点，对提高答题速度有很大帮忙，可以大大节约做题的时间）3、直线斜率： ktany2y1x2x14、设两条直线分别为，l 1 ：yk1 xb1l 2 ：yk 2 xb2如 l 1/l 2 ，就有l 1 / l 2k1k2 且b1b 2 ；如l 1l 2k 1k 21学问点十三、二次函数的图象与各项系数之间的关系抛物线 yax 2bxc 中，

23、a b c,的作用学习必备精品学问点（1） a 打算开口方向及开口大小，这与yax2 中的 a 完全一样 .a >0 时，抛物线开口向上；a <0 时，抛物线开口向下；a 的肯定值越大，开口越小（2）b 和 a 共同打算抛物线对称轴的位置. 由于抛物线 yax 2bxc 的对称轴是直线xb ，故： b 2a0 时，对称轴为 y 轴； ba0 （即 a 、b 同号）时，对称轴在 y 轴左侧； ba诀左同 右异）0（即 a 、b 异号）时，对称轴在 y 轴右侧. （口（ 3） c 的大小打算抛物线yax 2bxc 与 y 轴交点的位置 .当 x0时， yc ，抛物线 yax 2bxc

24、与 y 轴有且只有一个交点 （0，c ）： c0 ，抛物线经过原点 ; c0 , 与 y 轴交于正半轴； c0 , 与 y 轴交于负半轴 .以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在y 轴右侧，就b0 .a经典例题与解析（二次函数与三角形）1、已知：二次函数 y=x2+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，）（ 1）求此二次函数的解析式（ 2）设该图象与x 轴交于 b、c 两点（ b 点在 c 点的左侧），请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点e，使 ebc的面积最大，并求出最大面积学习必备精品学问点2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于 a、b 两点（

25、 ay）在 b 的左侧），与 y 轴交于点 c 0 ，4 ，顶点为（ 1， 9 c2（ 1）求抛物线的函数表达式；（ 2）设抛物线的对称轴与轴交于点d，试在对称轴上找出点p，使cdp为等腰三角形，请直接写出满意条件的全部点p 的坐标aodbx第 2 题图 （ 3）如点 e 是线段 ab上的一个动点（与a、b 不重合），分别连接 ac、bc，过点 e 作 efac交线段 bc于点 f，连接 ce，记 cef的面积为 s，s 是否存在最大值？如存在，求出s 的最大值及此时e 点的坐标；如不存在，请说明理由y3、如图，一次函数 y 4x4 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 a、c 两y4 2aobx

26、点，抛物线于点 b x bxc 的图象经过 a、c 两点，且与 x 轴交3（ 1）求抛物线的函数表达式；（ 2）设抛物线的顶点为d，求四边形 abdc的面积；（ 3）作直线 mn平行于 x 轴，分别交线段ac、bc于点 m、n问在 xc第 3 题图 轴上是否存在点 p，使得 pmn是等腰直角三角形？假如存在，求出全部满意条件的 p 点的坐标；假如不存在，请说明理由（二次函数与四边形）学习必备精品学问点4、已知抛物线 y1 x2mx2m7 22(1) 试说明：无论 m为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点；(2) 如图，当该抛物线的对称轴为直线x=3 时，抛物线的顶点为点c，直线 y=x

27、1 与抛物线交于 a、b 两点，并与它的对称轴交于点d抛物线上是否存在一点p 使得四边形 acpd是正方形？如存在，求出点p 的坐标；如不存在，说明理由；平移直线 cd，交直线 ab于点 m，交抛物线于点n，通过怎样的平移能使得c、d、m、n为顶点的四边形是平行四边形5、如图，抛物线 ymx211mx24m m 0与 x 轴交于 b、c 两点（点 b 在点c的左侧），抛物线另有一点a 在第一象限内，且 bac90°（ 1）填空： ob_，oc_；（ 2）连接 oa，将 oac沿 x 轴翻折后得 odc，当四边形 oacd是菱形时，求此时抛物线的解析式；（ 3）如图 2，设垂直于 x

28、轴的直线 l ： x n 与（ 2）中所求的抛物线交于点m， 与 cd交于点 n，如直线 l沿 x 轴方向左右平移， 且交点 m始终位于抛物线上 a、c 两点之间时，摸索究：y 当n 为何值时，四边形amcnyl: x n大值，并求出这个最大值a的面积取得最maobcx dobcnxd学习必备精品学问点6、如下列图，在平面直角坐标系中，四边形 abcd是直角梯形， bc ad， bad=90°， bc与 y 轴相交于点 m，且 m是 bc的中点， a、b、d 三点的坐标分别是 a（ 1 ，0 ），b（ 1 ，2 ）， d（ 3， 0）连接 dm，并把线段 dm沿 da方向平移到 on

29、如抛物线过点 d、m、n（ 1）求抛物线的解析式yax 2bxc经（ 2）抛物线上是否存在点 p，使得 pa=pc，如存在，求出点 p 的坐标；如不存在，请说明理由（ 3）设抛物线与 x 轴的另一个交点为 e，点 q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点 q 在什么位置时有 |qe-qc|最大？并求出最大值7、已知抛物线yax22 ax3a a0 与 x 轴交于 a、b 两点（点 a 在点 b 的左侧），与 y 轴交于点 c，点 d为抛物线的顶点（1）求 a、b 的坐标；（ 2）过点 d 作 dh丄 y 轴于点 h，如 dh=h，c 求 a 的值和直线 cd的解析式；（ 3）在第（ 2）小题的条件

30、下，直线cd与 x 轴交于点 e，过线段 ob的中点 n 作 nf丄 x 轴，并交直线 cd于点 f，就直线 nf上是否存在点 m，使得点 m到直线 cd 的距离等于点 m到原点 o的距离？如存在， 求出点 m的坐标； 如不存在， 请说明理由学习必备精品学问点8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2 +bx+c（a0）的图象经过m（1，0）和 n（3，0）两点，且与y 轴交于 d（0，3），直线 l是抛物线的对称轴 1）求该抛物线的解析式2）如过点 a（ 1，0）的直线 ab与抛物线的对称轴和x 轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式3）点 p 在抛物线的对称轴上，p 与直线 ab和

31、x 轴都相切，求点p 的坐标9、如图， y 关于 x 的二次函数 y= （x+m）（x3m）图象的顶点为 m，图象交 x 轴于 a、b 两点，交 y 轴正半轴于 d 点以 ab为直径作圆， 圆心为 c定点 e 的坐标为（ 3，0），连接 ed（m0）（ 1）写出 a、b、d 三点的坐标；（ 2）当 m为何值时 m点在直线 ed上？判定此时直线与圆的位置关系；学习必备精品学问点（ 3）当 m 变化时，用m表示 aed的面积 s，并在给出的直角坐标系中画出s关于 m的函数图象的示意图；10、已知抛物线yax2bxc 的对称轴为直线 x2 ，且与 x 轴交于 a、b 两点与y 轴交于点 c其中 ai

32、1 ， 0 ，c0，3 （ 1）（3 分）求抛物线的解析式；（ 2）如点 p 在抛物线上运动（点p 异于点 a）（ 4 分）如图l 当 pbc面积与 abc面积相等时求点p 的坐标；（ 5 分）如图 2当 pcb=bca时，求直线 cp的解析式；答案与分析：1、解：（ 1）由已知条件得，（ 2 分）2解得 b=，c=，此二次函数的解析式为y=x x；（ 1 分）12（ 2）x2x=0，x=1，x =3，b（ 1，0）， c（3，0）， bc=4，（1 分）e点在 x 轴下方，且 ebc面积最大，e 点是抛物线的顶点，其坐标为（1， 3），（1 分） ebc的面积 =×4×3

33、=6（1 分）学习必备精品学问点，）2、（ 1）抛物线的顶点为 （ 19设抛物线的函数关系式为ya x2 1 2 92抛物线与 y 轴交于点 c 0 ，4 ，a 0 1 2 924解得 a 12所求抛物线的函数关系式为y 12x 1 2 92（ 2） 解： p11 ，17 ， p21 ，17 ， p 31 ， 8 ，p4171 ， 8 ，19（ 3） 解：令x 1 20，解得 x 2， x 4 1122抛物线 y 12x 1 2 9与2x 轴的交点为 a 2，0c 4 ，0过点 f 作 fmob于点 m，mfeb efac， bef bac，ocabeboc23eb46又 oc ，ab ，mf

34、×ab bce bef设 e 点坐标为 x，0 ，就 eb4x，mf2 4 x s ss1eb·oc3111221 2283 2 eb·mf2 eb oc mf 2 4 x4 3 4 x x1 x 1 2 3 3 xy33ea obx a10， s 有最大值当 x1 时， s 3最大值3 此时点 e 的坐标为 1 ，03、（ 1）一次函数 y 4x 4 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 a、c 两c点，x2 a 1，0c0 ， 4把 a 1，0c 0 ， 4 代入 y43 bxc 得d第 3 题图 4bc0 38b解得3 y4 28x4c 4y4 28c 4x43

35、321616（ 2） x 3x4 3 x 13316顶点为 d（ 1， 3 ）设直线 dc交 x 轴于点 e由 d（ 1，3 ） c0 ， 4y4易求直线 cd的解析式为 y x43paobxmn第 3 题图 c学习必备精品学问点易求 e（ 3，0），b（3，0）s edb16×1616×23s12×4 4sss 12 eca ×2四边形 abdc edbeca（ 3） 抛物线的对称轴为x 1做 bc的垂直平分线交抛物线于e，交对称轴于点 d3易求 ab的解析式为 y3x3 d3e 是 bc的垂直平分线 d3e ab设 d3e 的解析式为 y3x b d

36、3e 交 x 轴于（ 1，0）代入解析式得b3,y3x3把 x 1 代入得 y0 d3 1，0,过 b 做 bhx 轴，就 bh 111在 rt d1 hb中，由勾股定理得d1h11 d1 （ 1，113）同理可求其它点的坐标；可求交点坐标 d1 （ 1，113） , d 2（ 1， 22）, d3 1，0,d4 1, 113 d5（ 1， 22）4、1=m 2412m7=m24 m7 = m24m243 = m23 ，22不管 m为何实数，总有22m20，= m23 0，无论 m为何实数，该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点2 抛物线的对称轴为直线x=3， m3，抛物线的解析式为y1 x23

37、x5 = 1x3 22 ，顶点 c坐标为（ 3， 2），yx1,22212x1x7解方程组15 ，解得或，所以 a 的坐标为（1，0）、yx23 xy10y2622b 的坐标为（ 7，6）， x3 时 y=x1=31=2， d 的坐标为（ 3， 2），设抛物线的对称轴与x 轴的交 点为 e，就 e 的坐标为（ 3，0），所以 ae=be=3， de=ce=2， 假设抛物线上存在一点p 使得四边形 acpd是正方形，就 ap、cd相互垂直 平分且相等， 于是 p 与点 b 重合， 但 ap=6，cd=4，apcd，故抛物线上不存在一点p 使得四边形 acpd是正方形 设直线 cd向右平移 n 个

38、单位（ n 0）可使得 c、d、m、n 为顶点的四边形是平行四边形， 就直线 cd的解析式为 x=3 n ， 直线 cd与直线 y=x 1 交于点 m（3 n ，2 n ），又 d 的坐标为（ 3，2）， c 坐标为（ 3， 2）， d通过向下平移 4 个单位得到 cc、d、m、n 为顶点的四边形是平行四边形，四边形cdmn是平行四边形或四边形 cdnm是平行四边形（）当四边形cdmn是平行四边形， m向下平移 4 个单位得 n， n 坐标为（ 3n ， n2 ），学习必备精品学问点又 n在抛物线 y1 x253x上， n213n 23 3n5 ，2222解得 n10 （不合题意，舍去） ，

39、n22 ，（）当四边形cdnm是平行四边形， m向上平移 4 个单位得 n， n 坐标为（ 3n ， n6 ），又 n在抛物线 y1 x23x5 上， n613n 23 3n5 ，2222解得 n1117 （不合题意，舍去） ， n2117 ， 设直线 cd向左平移 n 个单位（ n 0）可使得 c、d、m、n 为顶点的四边形是平行四边形，就直线cd的解析式为 x=3n ，直线 cd与直线 y=x 1交于点 m（ 3n ，2n ），又 d 的坐标为（ 3，2）， c坐标为（ 3，2）， d通过向下平移 4 个单位得到 cc、d、m、n 为顶点的四边形是平行四边形，四边形cdmn是平行四边形或四

40、边形 cdnm是平行四边形（）当四边形cdmn是平行四边形， m向下平移 4 个单位得 n， n 坐标为（ 3n ，2n ），又 n在抛物线 y1 x23x5 上，2n1 3n 23 3n5 ，2222解得 n10 （不合题意，舍去） ， n22 （不合题意，舍去） ，（）当四边形cdnm是平行四边形， m向上平移 4 个单位得 n， n 坐标为（ 3n ， 6n ），又 n在抛物线 y1 x23x5 上， 6n13n 23 3n5 ，2222解得 n1117 ， n2117 （不合题意，舍去） ，综上所述， 直线 cd向右平移 2 或（ 117）个单位或向左平移 （117 ）个单位，可使得c

41、、d、m、n为顶点的四边形是平行四边形 5、解：（ 1） ob3，oc 8（ 2） 连接 od，交 oc于点 e四边形 oacd是菱形 adoc，oe ec12y× 8 4a be431又 bac90°， ace bae ae2be·ce 1× 4 ae2aeceaebeobecx d点 a 的坐标为 4 ， 2把点 a 的坐标 4 ，2 代入抛物线 ymx211mx24m，yl: xn maobecnxd学习必备精品学问点m1y1 21112得 2抛物线的解析式为 x 22 x（3）直线 xn 与抛物线交于点m1 211点 m的坐标为 n， n 22

42、n12由（ 2）知，点 d 的坐标为（ 4， 2），x就 c、d 两点的坐标求直线cd的解析式为 y1 4211 2111点 n 的坐标为 n， n4mn（ n n12）（1n4）22 5n8222n 2s111 22四边形 amcn 9s amnscmnmn·ce （22n 5n8）×4 n5 2当 n5 时， s 四边形 amcn96、解：（ 1） bcad，b（-1 ， 2），m是 bc与 x 轴的交点， m（0，2）， dm on， d（ 3 ， 0）， n（ -3 ， 2），就9a3bcc29a3bc0a，解得0bc19 ，132y1 x21 x2；93（ 2）

43、连接 ac交 y 轴与 g， m是 bc的中点， ao=bm=m，cab=bc=，2即 g（0，1）， ag=g，c abc=9°0 ， bgac，即 bg是 ac的垂直平分线，要使pa=pc，即点 p 在 ac的垂直平分线上，故p 在直线 bg上，点 p 为直线 bg与抛物线的交点，设直线 bg的解析式为 ykxb ，就kbb12k1yx1，解得，b1yx1x332x332y1 x21 x93，解得12y1，2232y2，232点 p（ 332，232）或 p（ 3-32，232 ），（ 3 ） y1 x21 x21 x3 29， 对 称 轴93924x3 ， 2令1 x21 x20 ，解得 x3 ， x26 ， e（6 ，0）