分段函数教案

1、学习必备欢迎下载分段函数适用学科数学适用年级高一适用区域沈阳课时时长（分钟） 90学问点1、分段函数的含义的熟悉2、会作分段函数的图像.3、利用分段函数图像解决日常生活中的实际问题.教学目标学问与技能：1. 能依据不怜悯境，明白分段函数的含义；2. 明白简洁的分段函数（函数分段不超过三段），并能运用分段函数求函数值的问题；3. 能作出分段函数的图像，利用它解决生活中的简洁应用问题.过程与方法：1. 经受在分析、摸索的基础上，让同学通过观看、感悟分段函数的意义过程，分清函数与分段函数的区分与联系；2. 通过例题的探究，培育同学勤于动脑，乐于探究，主动参加学习的意识， 体会数形结合思想在数学学习中

2、的重要性.3. 经过训练题和课堂练习，加深对分段函数的概念、图像的熟悉，应用， 提高分析、解决问题的才能.情感态度与价值观：学习过程中进一步体会发觉规律，应用规律的学习乐趣，从而提高学习数学的爱好，提高同学的求知欲、感悟数学的美；教学重点1. 分段函数的含义的熟悉2. 会作分段函数的图像.3. 利用分段函数图像解决日常生活中的实际问题.教学难点1. 分段函数与一般函数的区分与联系；2. 如何作分段函数的图像（步骤、方法及技能）；3. 分段函数的实际应用教学过程一、复习预习回忆一次函数、二次函数、指数函数、对数函数及幂函数的定义域、值域、奇偶行及单调性；二、学问讲解本节课主要学问点解析，中高考考

3、点、易错点分析考点 1 分段函数定义在定义域内， 对于自变量x 的不同取值区间，有不同的对应法就，这样的函数叫做分段函数；2. 对应关系： 对分段函数来说，在不同自变量的取值范畴内其对应关系不同，但分段函数是一个函数 .学习必备欢迎下载3. 定义域：分段函数定义域为各段定义域的并集.4. 值域：分段函数值域为各段函数值的并集.考点 2 分段函数的图像及求值1. 分段函数图像（ 1）画出函数在各段上的图象, 再合起来就是分段函数的图象.（ 2）由分段函数的图象确定函数解析式的方法1) 定类型：依据自变量在不同范畴内的图象的特点，先确定函数的类型.2) 设函数式：设出函数的解析式.3) 列方程 组

4、 ：依据图象中的已知点，列出方程 组 ，求出该段内的解析式.4) 下结论：最终用“ ”表示出各段解析式，留意自变量的取值范畴.2. 分段函数求值分段函数函数值的方法：1. 先确定要求值的自变量属于哪一段区间.2. 然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.注：当显现ffx0的形式时，应从内到外依次求值.考点 3 分段函数求解实际应用问题(1) 首要条件：把文字语言转换为数学语言.(2) 解题关键：建立恰当的分段函数模型.(3) 思想方法：解题过程中运用分类争论的思想方法.三、例题精析【例题 1】2 x2x1,0;【题干】 求函数f x1 xx23x0, 2;y2,; 的定义域、值域.32【答案

5、】f x 的定义域为 1, ,值域为 1,3 .1-1o12x【解析】 作图，利用“数形结合”可知；-1【例题 2】| x1|2, | x |12f x1,| x |1f f 1 【题干 】已知函数41x求2.【答案】13f f 1 f 3 14f 1 | 11|232213 213【解析】 由于【例题 3】222,所以2.【题干】在同一平面直角坐标系中,函数yf x 和yg x 的图象关于直线yx 对称 ,学习必备欢迎下载现将 yg x的图象沿 x 轴向左平移2 个单位 ,再沿 y 轴向上平移1 个单位 ,所得的图象是由两条线段组成的折线（如下列图）,就函数f x 的表达式为（）a. f x

6、b. f xc. f x2x21x02x20x22x21x020x21x22x41x22x4x 22x21x 2y321x-2-1o1d. f x2x63x 2【答案】 a【解析】 当 x2,0 时,y2 x1 ,将其图象沿x 轴向右平移2 个单位 ,再沿 y 轴1y1 x2111 x1向 下 平 移1个 单 位 ,得 解 析 式 为22,所 以f x2 x2x, 1当 x0,1 时,y2 x1 ,将其图象沿x 轴向右平移2x个单位 ,再沿 y 轴向下平移1 个单位 ,得解析式y2 x2112 x4 ,所以2f x12 x0, 2,综上可得f x2x21x02x20x2【例题 4】【题干】 判

7、定函数f xx3x x x2 x0的单调性 .0【答案】f x 在 r 上是单调递增函数.【解析】 明显f x 连续 .当 x0 时,f ' x3 x21 1 恒成立 ,所以f x 是单调递增函数 ,当 x0 时,f ' x2x0 恒成立 ,f x 也是单调递增函数,所以f x在 r 上是单调递增函数;或画图易知【例题 5】f x 在 r 上是单调递增函数.【题干】 判定函数f xx2 xx2 x1) x1) x0的奇偶性 .0【答案】 对于任意 xr都有 f xf x ,所以f x 为偶函数 .【解析】 当 x0 时,x0 ,f xx 2 x1x2 x1f x ,当 x0时,

8、f 0f 00 ,当 x0 ,x0 ,f xx2 x1x2 x1f x 因此 ,对于任意xr 都有f xf x ,所以 f x 为偶函数 .四、课堂运用【基础】学习必备欢迎下载1.画出函数 y=|x|的图象 .2.已知函数 y=x4,xx 22x,0x2,x0,x4,4.1求 ff f5 的值; 2画出函数的图象 .3.已知奇函数f x xr ，当 x >0 时，f x = x 5 x +1. 求f x 在 r 上的表达式；4.已知f x2a xx1 , x1 满意对任意xx2 都有f x1 x1f x2 x20 成立，就a 的取值范a, x11围是2a2，x 2，5.已知 fx log

9、ax2，x2，且 f2 1，求 f1 的值6.函数 y |x 3| |x1|有a 最大值4，最小值0b最大值0，最小值 4 c最大值4，最小值 4d最大值、最小值都不存在答案和解析：1.解析： 由肯定值的概念 ,我们有 y=x, x- x, x0,所以函数图像如下列图；0.2. 5>4, f5=-5+2=-3. -3<0, f即 ff f5 =-1.f5 =f-3=-3+4=1. 0<1<4, ff f5 =f1=1 2-2 ×1=-1,（2）3.f x 是定义域在r 上的奇函数， f 0=0.又当 x 0 时， x >0,故 有 f x = x 5 x

10、 +1= x 5+ x +1；学习必备欢迎下载再由 f x 是奇函数 ,x5f x0 xx1x004. 32f x =,2f x = x 5+ x 1.x5x1x0由于对任意 x1x2 都有f x1 f x2 0 成立，f x 在 r 上x1x25. f2 loga22 1loga31，a 3， f1 2×3218. 4x36.y |x3| |x 1| 22x4 1 x 3，因此 y 4,4 ，应选 c. x 1【巩固】1.已知函数f xx22x x0为奇函数，就f g 1g x x0a 、 20b 、 18c、 15d 、 17x, x02.设函数f xx2 , x0如 fa=4,

11、 就实数 a=a.-4 或-2b.-4 或 2c.-2 或 4d.-2 或 23.函数f x1x2 , x x2x1，就 f 的值为 3, x1a. b.c.d.184.设函数g xx22 ，f xg xx4, xg x,求 f x 的值域 g xx, xgx.答案及解析1.答案 c解析：由已知得，g 1f 13 ，所以，f g1f 3f 3152.答案 b解析：当a0 时，由 -a=4,得 a=-4;学习必备欢迎下载当 a 0 时，由 a2=4,得 a=2a=-2 舍去 .综上 a=-4 或 2.3.答案 c解析： x1，f 332333,又1 1，所以3f 1f 3f 1 31 1 283

12、94.【解析】令xgx, 解得 x1或 x2 f xg xx4, xg x,x2x2, x,12,g xx, xg x.x2x2, x1,2x1 27 , x,12,241 29x, x 241,29当 x,12, 时， fx2, ；当 x 1,2时， f x,0 ；4 f x 的值域为 9 ,02, 4【拔高】1.已知实数 a0 ，函数fx2xax2ax1，如 f 1ax1f 1a，求 a 的值cx10xc292.已知函数fxx，满意 f c 8，2c21cx121求常数 c 的值；2解不等式f x 答案及解析：1.解：分类争论：1 当 a0 时， 1 a 1,1 a1.这时 f1 a 21

13、 a a 2a；8 1.f1 a 1a2a 13a.由 f1 af1 a，得 2 a 1 3a，解得 a3 2，不符合题意，舍去2 当 a0 时， 1 a 1,1 a1，这时 f1 a 1 a 2a 1 a； f1 a 21 a a 2 3a，.由 f1 af1 a，得 1 a 2 3a，解得 a 34综合 1 ，2 知 a 的值为 3.4学习必备欢迎下载 c，22.解1 依题意知0 c 1， c，fc 298c3 119，所以：8c 121，2 由1得 f x x 1， 0 x 22 4x 1， 12由 fx 2 1，得 82x1，当 0 x11x 121，2 x 1 时，22.842当1x

14、 1 时， 4x 12 1， 1522综上可知，28x 5.x . 284 8f x 2 1 的解集为x2 x 5.848课程小结1、分段函数：即在函数的定义域内，对于自变量x 的值的不同取值区间，有着不同的对应法就，这样的函数通常叫分段函数.2、作分段函数的图像的步骤和方法：（1）化简函数解析式；（2）写出分段函数解析式；（3）作分段函数的图像:在不同的定义域内作出相应的函数图像；3、分段函数与一般函数的区分与联系：函数 hx 是分段函数 ,在定义域的不同部分 ,其解析式不同 .说明 : 分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数 ;分段函数的定义域是各段定义域的并集 , 值域是各段值域的

15、并集 ;一般函数的图像是不间断的（连续的），而分段函数的图像可能连续，也可能间断；课后作业【基础】1.设函数f x2 x1 x10,如 f x0 1 ,就 x0 得取值范畴是（）x2x0a. 1,1b. 1,c . ,20,d . ,11,学习必备欢迎下载2.设函数f x x124x x1 x1,就使得1f x1 的自变量 x 的取值范畴为 （）a ,20,10b.,20,1c.,21,10d.2,01,103.国家规定个人稿费纳税方法是：不超过80 0 元的不纳税；超过800 元而不超过4 000元的按超过800 元部分的14%纳税； 超过 4 000 元的按全部稿酬的11%纳税 已知某人出

16、版一本书，共纳税420 元，就这个人应得稿费扣税前 为 a 2 800 元b 3 000 元c3 800 元d 3 818 元4.某市出租车的计价标准是：3 km 以内 含 3 km10 元；超过 3 km 但不超过18 km 的部分 1 元/km；超出 18 km 的部分 2 元/km.1假如某人乘车行驶了20 km ，他要付多少车费？某人乘车行驶了x km ，他要付多少车费？2假如某人付了22 元的车费，他乘车行驶了多远？11x1 ,xa,5. 设 集 合 a0, ， b,1 ， 函 数 f x2如 x0a ， 且2221x,xb.f f x0 a， 就1x0 的取值范畴是（）11113a

17、 0,4b , 42c ,42d 0,8答案及解析1.答案 d解析：【解析1】第一画出yf x 和 y1 的大致图像 ,易知f x0 1 时,所对应的x0 的取值范畴是 ,11, .【解析 2】由于 f x01 ,当 x00 时,2 x011,解得 x01 ,当 x00 时,1x0 21 ,解得 x01 ,综上 x0 的取值范畴是,11, . 应选 d.2.答案 a解析：当 x1时 ,f x1x121x2或x0 ,所以 x2或0x1,学习必备欢迎下载当 x1 时,f x14x11x13x10,所以 1x10 ,综上所述 ,x2 或 0x10 ,应选 a 项 .3.答案 c解析：设扣税前应得稿费

18、为x 元，就应纳税额为分段函数，由题意，得 y0，假如稿费为4 000 元应纳税为448 元，现知某人共纳税420 元，所以稿费应在8004 000 元之间， x 800 ×14% 420，x 3 800.4.1乘车行驶了20 km ，付费分三部分，前3 km 付费 10元， 3 km 到 18 km 付费 18 3 ×1 15 元 ，18 km 到 20 km 付费 20 18 ×2 4元，总付费 10 154 29 元设付车费 y 元，当 0<x3时，车费y 10；当 3<x18时，车费y 10 x 3 x 7；当 x>18 时，车费y 25

19、 2x 18 2x11.2付出 22 元的车费，说明此人乘车行驶的路程大于 3 km ，且小于18 km ， 前 3 km 付费 10 元，余下的12 元乘车行驶了12 km ，故此人乘车行驶了15 km.5.答案 c解析如x a ，就 f x x11，000,1b22 f f x0 10x0a ，20x0，1x02 ， 11 021x0111142x02242【巩固】1.已知函数2x x0f x30x1,求f f f a a <0 的值；log 132x3 xx x102.求函数y x30x5 xx1 的最小值 1答案及解析1. a <0,学习必备欢迎下载 f a 2a , 0&

20、lt; 2a <1, f f a =f 2 a =3 ,3 >1, f f f a= f 31= log 13 =,322.方法 1先求每个分段区间上的最值，后比较求值；当 x 0 时, y =f x=2 x +3, 此时明显有y max=f 0=3;当 0< x 1 时， y =f x= x +3,此时 y max =f 1 =4当 x >1 时， y = f x = x +5，此时 y 无最大值 .比较可得当x =1 时, y max=4.方法 2利用函数的单调性由函数解析式可知，f x 在 x ,0上是单调递增的， 在 x 0,1 上也是递增的，而在x 1,+ 上是递减的，y 4由 f x 的连续性可知f x 当 x =1 时有最大值43方法 3利用图像，数形结合求得21作函数 y = f x 的图像（图1），明显当