工科数学分析第三章

1、3.6.3 反常积分的审敛法 函数一、无穷限反常积分的审敛法定理1 设函数在区间上连续，且。若函数在上有上界，则反常积分收敛。由单调有界原理知此定理成立定理2（比较审敛原理） 设函数在区间上连续。如果，并且收敛，则也收敛；如果，并且发散，则也发散。证 设，由及收敛，得这表明作为积分上限的函数在上有界。由定理1即知反常积分收敛。如果，且发散，则必定发散。因为如果收敛，由定理1的第一部分即知也收敛，这与假设相矛盾。证毕。定理3（比较审敛法1） 设函数在区间上连续，且。如果存在常数及，使得，则反常积分收敛；如果存在常数，使得，则反常积分发散。例8 判别反常积分的收敛性。解 由于，根据比较审敛法1，这

2、个反常积分收敛。定理4（极限审敛法1） 设函数在区间上非负连续，且，那么（1） 当时，且，则收敛；（2） 当时，且，则发散。证 当时，总存在，对，由知，存在，使时即而当时收敛，当时发散。由比较判别法知，当时，（1）和（2）成立。对和，可类似证明。例9 判断反常积分的收敛性。解 由于根据极限收敛法1，所给反常积分收敛。例10 判断反常积分的收敛性。解 由于根据极限收敛法1，所给反常积分发散。定理5 设函数在区间上连续。如果反常积分收敛，则反常积分也收敛。证 令，于是，且，而收敛，由比较收敛原理知收敛，。但，因此可见反常积分是两个收敛的反常积分的差，因此它是收敛的。证毕。通常称满足定理5条件的反常

3、积分为绝对收敛，于是定理5可以简单的表示为：绝对收敛的反常积分必定收敛。例11 判定反常积分都是常数，且）的收敛性。解 因为，而收敛，从而收敛，再由定理5可知所给反常积分收敛。二、无界函数的反常积分的审敛法对于无界函数的反常积分，也有类似的审敛法。由例6知道，反常积分 ，当时收敛，当发散。于是，与定理3、定理4类似可得如下两个审敛法“定理6（比较审敛法2） 设函数在区间上连续，且为的瑕点。如果存在常数及，使得，则反常积分收敛；如果存在常数，使得，则反常积分发散。定理7（极限审敛法2） 设函数在区间上连续，且，为的瑕点（奇点）。若那么（1）当时，且，则收敛；（2）当时，且，则发散。当为奇点时，也

4、有类似结果。例12 判定反常积分的收敛性。解 这里是被积函数的瑕点。由洛必达法则知根据极限审敛法2，所给反常积分发散。对于无界函数的反常积分也有类似定理5 的结论。三、函数。 （1）显然这是一个无穷限的反常积分，并且时是被积函数的瑕点。为此，我们分别讨论下列两个积分的收敛性。先讨论，当时，是定积分；当时，因为，而，根据比较审敛法2，反常积分收敛。再讨论。因为，根据极限审敛法1，也收敛。由以上讨论即得反常积分对均收敛。函数的图形如图59所示。递推公式图 5-9证 应用分部积分法，有其中可由洛必达法则求得。显然，。反复运用递推公式，便有，一般地，对任何正整数，有所以，我们可以把函数看成是阶乘的推广

5、。作业 1 奇数，3，4偶数第三章复习X.1 积分换元的几种形式1 利用三角函数代换，变根式积分为三角有理式积分求解 令，则于是练习 求2 倒代换（即令）设分别为被积函数的分子、分母关于的最高次数，当时，可以考虑使用倒代换。求解 令，则，于是原式练习 3 指数代换（适用于被积函数由所构成的代数式）令，求解 令，原式练习 求X.2 有理函数的积分一、有理函数的积分形为，（1）其中和都是非负整数；及都是实数，并且。假定分子与分母之间没有公因式，当时，称（1）为真分式；否则为假分式。利用多项式的除法，总可以将一个假分式转换为一个多项式与一个真分式的和。而多项式的积分容易求得，所以只需要讨论真分式的积

6、分。真分式由如下性质:如果真分式在实数范围内能分解称一次因式与二次质因式的乘积，如（其中那么真分式可以分解成如下部分分式之和： （2）其中及等都是常数。对于（2）式应注意以下两点：1）分母中如果有因式，那么分解后有下列个部分分式之和其中都是常数，特别地，如果，那么分解后有；2）分母中如果有因式，其中，那么分解后有下列个部分分式之和其中都是常数，特别地，如果。那么分解后有。然后我们可以使用待定系数法，或者直接代入的特殊值求出系数例如，真分式可分解成其中为待定系数，可以用如下的方法求出待定系数。第一种方法 两端去分母后，得 或（3）因为这时恒等式，等式两端的系数和常数项必须分别相等，于是有 从而解

7、得第二种方法 在恒等式（3）中代入特殊的值，从而求出待定的常数。在（3）式中令 ，得；令 ，得.同样得到例1 求.解 因为,所以例2 求.解 由于被积函数的分母是二次质因式,所以应另想方法.因为分子是一次式,而分母的导数,由于分子是一次式,而分母的导数也是一次式,所以可以把分子拆成两部分之和:一部分是分母的导数乘上一个常数因子;另一部分是常数,即 这样,所求的积分可计算如下:例3 求.解 因为,两端去分母,得.(4) 令,得;令,得,把的值代入(4)式,并令,得,即.所以例4 求.解 因为 ,所以 当有理函数分解为多项式及部分分式之和以后,只出现多项式、及等三类函数.前两类函数的积分很简单,下

8、面讨论积分.将分母中的二次质因式配方得 ,故令,并记,其中,于是.当时(如例2 ),有.当时, ,上式最后一个积分的求发见上节例9.这样我们就将有理函数的积分求出来了.由此,可得,有理函数的原函数都是初等函数.二、三角有理式的积分例5 求.解 由三角学知道,与都可以用的有理式表示，即，所以如果作变换，那么 ，而，从而 .于是本例使用的代换称为万能代换，对三角有理式的积分都可以使用三、简单无理式的积分例6 求.解 为了去掉根号，可以设，于是，从而积分为例7 求.解 令，则，得例8 求解 为了同时去掉各个根式，得令例9 求.解 为了去定掉根式，可以设，于是，从而所求积分为四、含有反三角函数的不定积

9、分绝大多数这类题课直接令反三角函数为新变量求解求解 令于是 原积分 练习 求五、抽象函数的不定积分所谓抽象函数的不定积分，是指被积函数由抽象函数所构成的一类积分，其解法同样可用换元法和分部积分法求解 原式练习六、分段函数的不定积分设，求解 当时，当时，当时，由于原函数的连续性，分别考虑在处的左、右极限可知有，解之，有 ，令 ，则练习 求。X.3 几种特殊形式的定积分计算一、 分段函数的积分（1）要认清积分限是被积函数定义域的哪个区间段的端点，然后按段积分求和。（2）当被积函数是给定函数与某一简单函数复合而成的函数时，要通过变量代换将其化为给定函数的形式。切记：与此同时积分限也要相应改变。设，求

10、 解 当时，当时，综上所述，可知练习 求积分二、 被积函数带有绝对值符号的积分再作积分运算前取点绝对值，其方法是先令绝对值内的式子等于“0”，在积分区间内求出根，再据此把积分区间分成若干个子区间，各子区间上的被积函数的绝对值就可以去掉了（注意符号！）求。练习 三、 被积函数中含有“变上限积分“的积分用分部积分法做，将变上限的积分取作，其余的部分取作设，求。解 练习 设，求四、 对称区间上的积分或者考察被积函数是否为奇偶函数，用奇偶函数积分的“特性”处理，或作负变换处理。例1 设在上连续，且对任何有，计算；在令，则有又，即，可知为奇函数。于是0例2 。解 令，则 故五、 由三角有理式与其他初等函

11、数通过四则运算或复合而成的函数的积分通过变量代换把原积分分解成可抵消或易积分的若干个积分；一般讲，变量代换是这样做的；积分区间为对称的，令；积分区间为的令；积分区间为的，令；积分区间为的，令例 求定积分（1）而代入原积分，的原积分。（2） 从而 故（3）从而 故 。（4）从而 。故 六、七、习题课三 例1 求下列各式的原函数：（1） 设，求（2） 设及，求。解 （1）对这种类型的题，一般可用下列两种解法。方法一 设，原式变为 故 ，.方法二 ，令，由于，故取。所以 . .（2）设，于是原式变为 所以，当时， ；当时， 由于在内连续（包括），所以其原函数在内存在且连续。由在的连续，有 ，而，即得

12、 ，故得 。所以 即 例2 求。解 例3 求下列不定积分：（1）；(2) ; (3) .解 （1）（2）（3）例4 用分布积分法求下列积分（1） ；（2）；（3）；（4） ；（5）。解 （1）（2）（3）先作变换，令，则，于是（4） 所以 故 （5）例5 求下列积分：（1）；（2）。解 （1） （2）令原式例6 求.解 也可以如下求解例7 利用定积分求极限。解 由定积分定义知，若在上可积，则可对用某种特定的分法，并取特殊的点，所得积分和的极限就是在上的定积分。因此，遇到求一些和式的极限时，若能将起化为某个可积函数的积分和，就可用定积分求此极限。分析和式的特点，若将其化为积分和，可视被积函数为，

13、而分点和其极限分别为0和1，即知积分区间为作等分，取为的左端点，于是相应的积分和就是本题的和式，由于在上连续，从而可积，有用定积分求此类和式极限的关键是仔细分析所求和式，选择适当的函数与积分区间，把和式极限转化为定积分，再利用牛顿莱布尼茨公式计算出结果。例8 设在上连续，且对任何有，（其中为常数，为常数），试证：是以为周期的周期函数。证 由，两端对求导，得，即 据周期函数的定义知，是以为周期的周期函数。例9 设在上连续，且不变号，证明：方程在内有且只有一个跟。证 令，显然在上连续，不妨设，则，故由零点定理知，在内至少存在一点，使，即方程在内至少存在一个根。又，可知在上单调增加，故在内只有一个根。当时，可类似得证例10 设在上连续，在内可导，且，求证：证 令，则，又已知条件，可得。又令显然。而，由已知，故，所以，从而，于是，特别，即这类题要求比较两个定积分的大小，即比较两个数与的大小。证明这类题，通常构造一个辅助函数，通常为变上限的积分，使恰为的一个函数值，然后利用的单调性证明（或从而得到（或。例11 设在上可导，且