初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑶2

1、初一数学竞赛讲座第 3 讲奇偶分析我们知道， 全体自然数按被2 除的余数不同可以划分为奇数与偶数两大类；被 2 除 余1 的属于一类， 被 2 整除的属于另一类； 前一类中的数叫做奇数，后一类中的数叫做偶数；关于奇偶数有一些特别性质，比如，奇数偶数， 奇数个奇数之和是奇数等；敏捷、奇妙、有意识地利用这些性质，加上正确的分析推理，可以解决很多复杂而好玩的问题；用奇偶数性质解题的方法称为奇偶分析，善于运用奇偶分析，往往有意想不到的成效；例 1 右表中有15 个数，选出5 个数，使它们的和等于 30，你能做到吗？为什么？分析与解： 假如一个一个去找、去试、去算， 那就太费事了；由于无论你挑选哪5 个

2、数，它们的和总不等于30，而且你仍不敢立刻断言这是做不到的；最简洁的方法是利用奇偶数的性质来解，由于奇数个奇数之和仍是奇数，表中15 个数全是奇数，所以要想从中找出5 个使它们的和为偶数，是不行能的；例 2 小华买了一本共有 96 张练习纸的练习本，并依次将它的各面编号（即由第 1 面始终编到第 192 面）；小丽从该练习本中撕下其中 25 张纸，并将写在它们上面的 50 个编号相加；试问，小丽所加得的和数能否为 2000？解： 不能；由于每一张上的两数之和都为奇数，而25 个奇数之和为奇数，故不行能为2000；说明：“相邻两个自然数的和肯定是奇数”，这条性质几乎是明显的，但在解题过程中，能有

3、意识地运用它却不简洁做到，这要靠同学们多练习、多总结；例 3 有 98 个孩子，每人胸前有一个号码，号码从1 到 98 各不相同；试问：能否将这些孩子排成如干排， 使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和？ 并说明理由；解： 不能；假如可以按要求排成，每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和，那么每一排中各号码数之和都是某一个孩子号码数的2 倍，是个偶数；所以这98 个号码数的总和是个偶数，但是这98 个数的总和为1+2+98=99×49，是个奇数，冲突！所以不能按要求排成；例 4 如右图，把图中的圆圈任意涂上红色或蓝色；问：有无可能使得在同一条直线上的

4、红圈数都是奇数？ 请说明理由；解： 不行能；假如每条直线上的红圈数都是奇数，而五角星有五条边，奇数个奇数之和为奇数，那么五条线上的红圈共有奇数个（包括重复的）；从另一个角度看，由于每个圆圈是两条直线的交点，就每个圆圈都要运算两次，因此，每个红圈也都算了两次，总个数应为偶数，得出冲突；所以，不行能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数；说明：上述两题都是从两个不同的角度去分析处理同一个量，而引出冲突的；例 5 有 20 个 1 升的容器，分别盛有1， 2， 3， 20 厘米 3 水；答应由容器a 向容器 b 倒进与 b 容器内相同的水（在a中的水不少于b 中水的条件下）；问：在如干次倒水以后能否使其

5、中11 个容器中各有11 厘米 3 的水？解： 不行能；在倒水以后，含奇数立方厘米水的容器数是不会增加的；事实上以（偶，偶）（偶，奇）（奇，奇）来表示两个分别盛有偶数及偶数，偶数及奇数，奇数及奇数立方厘米水的容器；于是在题中条件限制下，在倒水后，（偶，偶）仍为（偶，偶）；而（偶，奇）会成为（偶，奇）或（奇，偶）；（奇，奇）却成为（偶，偶）；在任何情形下，盛奇数立方厘米水的容器没有多出来；由于开头时有10 个容器里盛有奇数立方厘米的水，所以不会显现有11 个盛有奇数立方厘米水的容器；例 6 一个俱乐部里的成员只有两种人：一种是老实人，永久说真话；一种是骗子，永久说假话；某天俱乐部的全 体成员围坐

6、成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子 两旁都是老实人；外来一位记者问俱乐部的成员张三： “俱乐部里共有多少成员？”张三答：“共有45 人；”另一个成员李四说：“张三是老实人；”请判定李四是老 实人仍是骗子？分析与解： 依据俱乐部的全体成员围坐一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人的条件，可知俱乐部中的老实人与骗子的人数相等，也就是说俱乐部的全体成员总和是偶数；而张三说共有45 人是奇数，这说明张三是骗子，而李四说张三是老实人，说了假话，所以李四也是骗子；说明： 解答此题的关键在于依据题设条件导出老实人与骗子的人数相等，这里实质上利用了对应的思想；类似的问题是：围棋盘上有19&

7、#215;19 个交叉点，现在放满了黑子与白子，且黑子与白子相间地放，并使黑子（或白子）的上、下、左、右的交叉点上放着白子（或黑子）；问：能否把黑子全移到原先的白子的位置上，而白子也全移到原先黑子的位置上？提示：仿例6；答：不能；例 7 某市五年级99 名同学参与数学竞赛， 竞赛题共30 道，评分标准是基础分15 分，答对一道加5 分，不答记1 分，答错一道倒扣1 分；问：全部参赛同学得分总和是奇数仍 是偶数？解： 对每个参赛同学来说，每题都答对共可得165 分，是奇数；如答错一题，就要从 165 分中减去6 分，不管错几道， 6 的倍数都是偶数，165 减去偶数，差仍是奇数；同样道理，如有一

8、题不答，就要减去4 分，并且不管有几道题不答，4 的倍数都是偶数，因此，从总分中减去的仍是偶数，所以每个同学的得分为奇数；而奇数个奇数之和仍为奇数，故99 名同学得分总和肯定是奇数；例8 现有足够多的苹果、梨、桔子三种水果，最少要分成多少堆（每堆都有苹果、梨和桔子三种水果），才能保证找得到这样的两堆，把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数；分析与解： 当每堆都含有三种水果时，三种水果的奇偶情形如下表：苹果奇奇奇奇偶偶偶偶桔子奇偶偶奇偶奇偶奇梨奇偶奇偶偶奇奇偶可见，三种水果的奇偶情形共有8 种可能，所以必需最少分成9 堆，才能保证有两堆的三种水果的奇偶性完全相同，把这两堆合并后这三种水果的个数都

9、是偶数； 说明：这里把分堆后三种水果的奇偶情形一一列举出来，使问题一目了然；例 9 有 30 枚 2 分 硬 币和8 枚 5 分硬币， 5 角以内共有49 种不同的币值， 哪几种币值不能由上面38 枚硬币组成？解： 当币值为偶数时，可以用如干枚2 分硬币组成；当币值为奇数时，除1 分和 3 分这两种币值外，其余的都可以用1 枚 5 分和如干枚2 分硬币组成， 所以 5 角以下的不同币值， 只有 1 分和 3 分这两种币值不能由题目给出的硬币组成；说明：将全体整数分为奇数与偶数两类，分而治之，逐一争论，是解决整数问题的常用方法；如偶数用2k 表示，奇数用 2k+1 表示，就上述争论可用数学式子更

10、为直观地表示如下：当币值为偶数时，2k 说明可用如干枚2 分硬币表示；当币值为奇数时，2k+1=2（k-2 ）+5，其中 k2；当 k=0，1 时， 2k+1=1，3；1 分和 3 分硬币不能由2 分和 5 分硬币组成，而其他币值均可由2 分和 5 分硬币组成；例 10 设标有 a，b，c，d，e，f，g的 7 盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关；现在 a， c，d，g这 4 盏灯亮着，其余3 盏灯没亮；小华从灯a 开头顺次拉动开关，即从a 到 g，再从 a 开头顺次拉动开关，他这样拉动了999 次开关后，哪些灯亮着，哪些灯没亮？解： 一盏灯的开关被拉动奇数次后，将转变原先的状态，即亮的变成

11、熄的，熄的变成亮的；而一盏灯的开关被拉动偶数次后，不转变原先的状态；由于999=7× 142+5，因此，灯 a， b，c，d，e 各被拉动143 次开关，灯f，g各被拉动142 次开关；所以，当小华拉动999 次后 b， e， g亮，而 a，c，d， f 熄；例 11 桌上放有 77 枚正面朝下的硬币，第1 次翻动 77 枚，第 2 次翻动其中的76 枚，第 3 次翻动其中的75 枚第77 次翻动其中的1 枚；按这样的方法翻动硬币，能否使桌上全部的 77 枚硬币都正面朝上？说明你的理由；分析 ：对每一枚硬币来说， 只要翻动奇数次， 就可使原先朝下的一面朝上；这一事实，对我们解决这个问

12、题起着关键性作用；解： 按规定的翻动，共翻动1+2+77=77× 39 次，平均每枚硬币翻动了39 次，这是奇数；因此，对每一枚硬币来说，都可以使原先朝下的一面翻朝上；留意到：77× 39=77+（76+1）+（75+2）+（ 39+38），依据规定，可以设计如下的翻动方法：第 1 次翻动 77 枚，可以将每枚硬币都翻动一次；第2 次与第 77 次共翻动77 枚，又可将每枚硬币都翻动一次；同理，第3 次与第 76 次，第 4 次与第 75 次第39 次与第40 次都可将每枚硬币各翻动一次；这样每枚硬币都翻动了39 次，都由正面朝下变为正面朝上；说明：（ 1）此题也可从简洁情

13、形入手（如9 枚硬币的情形），按规定的翻法翻动硬币，从中获得启示；（2）对有关正、反，开、关等实际问题通常可化为用奇偶数关系争论；例 12 在 8×8 的棋盘的左下角放有9 枚棋子， 组成一个 3×3 的正方形（如左下图） ；规定每枚棋子可以跳过它身边的另一枚棋子到一个空着的方格，即可以以它旁边的棋子为 中心作对称运动，可以横跳、竖跳或沿着斜线跳（如右下图的1 号棋子可以跳到2， 3， 4号位置）；问：这些棋子能否跳到棋盘的右上角（另一个3× 3 的正方形）？解： 自左下角起，每一个方格可以用一组数（行标、列标）来表示，（自下而上）第i行、（自左而右）第j 列的方

14、格记为（ i ，j ）；问题的关键是考虑9 枚棋子（所在方格）的列标的和s；一方面，每跳一次，s 增加 0 或偶数，因而s 的奇偶性不变；另一方面，右上角9 个方格的列标的和比左下角9 个方格的列标之和大3×（ 6+7+8）-3 ×（ 1+2+3） =45，这是一个奇数；综合以上两方面可知9 枚棋子不能跳至右上角的那个3× 3 的正方形里；奇偶分析作为一种分析问题、处理问题的方法，在数学中有广泛的应用，是处理存在性问题的有力工具，本讲所举例题大多属于这类问题；这种方法具有很强的技巧性，特别是挑选什么量进行奇偶分析往往是很困难的；选准了，只须依据奇偶数的性质，分析这

15、个量的奇偶特点，问题便迎刃而解；选不好，事倍功半；同学们应仔细领悟本讲所举例题，以把握挑选合适的量进行奇偶分析的技巧；练 习 31以下每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12 个整数中，至少有几个偶数？+= - =× =÷ =2任意取出1234 个连续自然数，它们的总和是奇数仍是偶数？3一串数排成一行，它们的规律是：前两个数都是1，从第三个数开头，每一个数都是前两个数的和；如右所示：1，1，2， 3， 5， 8， 13，21，34， 55，试问：这串数的前100 个数（包括第100 个数）中，有多少个偶数？ 4能不能将1010 写成 10 个连续自然数之和？假如能，

16、把它写出来；假如不能，说明理由；5能否将 1 至 25 这 25 个自然数分成如干组，使得每一组中的最大数都等于组内其余各数的和？6在象棋竞赛中，胜者得1 分，败者扣1 分，如为平局，就双方各得0 分；今有如干个同学进行竞赛，每两人都赛一局；现知，其中有一位同学共得7 分，另一位同学共得20 分，试说明，在竞赛过程中至少有过一次平局；7在黑板上写上1， 2， 909，只要黑板上仍有两个或两个以上的数就擦去其中的任意两个数a，b，并写上 a-b （其中 a b）；问：最终黑板上剩下的是奇数仍是偶数？8设 a1，a2，a64 是自然数 1，2，64 的任一排列，令b1=a1-a 2，b2=a3-a

17、 4，b32=a63-a 64；c1=b1-b 2，c2=b3-b 4， c16=b31-b 32；d1=c1-c 2，d2=c3-c 4， d8=c15-c 16；这样始终做下去，最终得到的一个整数是奇数仍是偶数？练习 3 答案：1至少有 6 个偶数；2奇数；解： 1234÷ 2=617，所以在任取的1234 个连续自然数中，奇数的个数是奇数，奇数个奇数之和是奇数，所以它们的总和是奇数；333；提示：这串数排列的规律是以“奇奇偶”循环；4不能；假如 1010 能表示成 10 个连续自然数之和， 那么中间 2 个数的和应当是1010÷5=202； 但中间2 个数是连续自然数

18、，它们的和应是奇数，不能等于偶数202；所以， 1010 不能写成 10 个连续自然数之和；5不能；提示：仿例3；6证：设得7 分的同学胜了x1 局，败了y1 局，得20 分的同学胜了x2 局，败了y2局；由得分情形知：x1-y1=7，x 2-y220；假如竞赛过程中无平局显现，那么由每人竞赛的场次相同可得x1+y1=x2+y2 ，即 x1+y1+x2+y2 是偶数；另一方面，由 x1-y1=7 知 x1+y2 为奇数，由 x2-y2=20 知 x2+y2 为偶数， 推知 x1+y1+x2+y2 为奇数；这便显现冲突，所以竞赛过程中至少有一次平局；7奇数；解：黑板上全部数的和 s1+2+ 909 是一个奇数，每操作一次，总和 s 削减了 a+b-（a-b）=2b，这是一个偶数， 说明总和 s 的奇偶性不变； 由于开头时 s 是奇数， 因此终止时 s 仍是一个奇数；8偶数；解：我们知道，对于整数a 与 b，a+b 与 a-b 的奇偶性相同，由此可知，上述运算的其次步中， 32 个数a1