偏微分方程数值解法试题与答案

1、.填空（3 5 15分）1 .若步长趋于零时，差分方程的截断误差Rm 0,则差分方程的解 Uim趋近于微分方程的解Um.此结论 （错或对）；1，、-，、- -，、2 .一阶 Sobolev 空间 H （ ）f （x,y） f , fx, fy L2（）关于内积（f,g） 是Hilbert空间；3 .对非线性（变系数）差分格式，常用 系数法讨论差分格式的 稳定性；4 .写出y x 3在区间1 , 2上的两个一阶广义导数： ,5 .隐式差分格式关于初值是无条件稳定的.此结论 （错或对）。.（13分）设有椭圆型方程边值问题22BDAC0 y 0.2* 2x y 0 x 0.3xyU x 0 U x

2、0.32 y 1UU y 01,u 2xn y 0.2用h 0.1作正方形网格剖分。(1)用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化；(2)(3)整理后的差分方程组为用截断误差为O（h2）的差分法将第三边界条件离散化;U A Ub Uc Ud三.（12）给定初值问题u _ut xu x,0取时间步长0.1 ,空间步长h 0.2。试合理选用一阶偏心差分格式（最简显格式）并以此格式求出解函数 u（x,t）在x 0.2, t 0.2处的近似值。1 .所选用的差分格式是:2 .计算所求近似值：四.(12分)试讨论差分方程k 1Ul 1kkUl r Ul 1kU11 a ha1 h逼近微分方程的截断误差阶

3、Ro思路一：将r带入到原式，展开后可得格式是在点(l+1/2,k+1/2 )展开的。思路二：差分格式的用到的四个点刚好是矩形区域的四个顶点，可由此构造中心点的差分格五.(12分)对抛物型方程2-,考虑 Du Fort-Frankel 格式XU： 1U：1 kk 1 k 1k、2 (U 1 1 (U 1 U 1) U l 1 )h试论证该格式是否总满足稳定性的Von-Neumann条件？六.(12分)(1)由Green第一公式推导 Green第二公式:/ 2(u)vdxdyGu vdxdy ：v(u)nvu dsn0(2) 对双调和方程边值问题2uf (x,y)(x,y)G，、u，、u12g1(

4、x ,y), 1g2(x, y)1 2n1u'(x,y),on选择函数集合(空间)为：推导相应的双线性泛函和线性泛函:A(u,v)F(v)相应的虚功问题为：极小位能问题为7 .(12分)设有常微分方程边值问题y y f(x) , a x by a 1, y b 1将区间a , b作剖分:a x0 x1 x2xnb1 .若要求节点基函数为分段三次多项式且有一阶连续导数，试写出基函数所应满足的插值条 件：2 .画出基函数在a , b上的图形：.* .3 .将有限兀解yh用基函数的形式表不出来：8 .(12分)设有常微分方程边值问题yy x2, 0x 1y(0) 0, y(i) 11 .转化

5、为相应的变分问题选择函数集合(空间)为：F(z)推导相应的双线性性泛函和线性泛函:A(y, z)2 .将0,1二等分，采用线性元的有限元方法，导出有限元方程并求解。参考解答14Ua UbUc1.8uA 4uc ud 1.801-r(u0155。Ub 4Ua)0(1)h1丁(Ua U31 U20 Ud 4Uc)0.1h4Ua 3.2Ub1.044Uc 3.2Ud1.082Ua 4.2Ub Ud0.599(2)或Ub 2Uc 4.2Ud0.521.81.801或0.5990.5241 (3)21 1044.20120Ua1Ub1Uc4.2Ud1.81.8011.041.081.8011 2h h3

6、1.04 1 4h2 一一 21.08 1 8h2六.1.在Green第一公式Gu vdxvx Uyvyu:vdsn4110uA1041Ub4 3.200Uc004 3.2uDu21 (1 r)u11 ru 1)(1 r)2u012r(1 r)u0 r 2u0-0.25U010.5U： 0.25U101.14 .Box格式，二阶5 .练习题。总满足。将u与v位置对换，并进一步换在原Green公式中换2.取 H 2u H 2, ug2Hou H 2, u0, u nv H。2，由Green第二公式有2u, vf ,vf vdGdsvdsnA(u,v)u vds,2 n nF(v)虚工问题：求，使 A u ,v F vH02极小位能：求u 1Au,u2f vdv ds nu min Iu HF七. 1. i(Aj)i 0,1,2, ,n 1i(Aj) 0,i0,1,n 1i(Aj)1,2,n(1) d idxAji 1,2,n一 * ,、2. yh(x)*yii(x)mii 0(x)*Yii(x)n(x)(1)0(x)nmi1/ 、i (x)H 1,y0,y1h0H 1, y 0 y 1，作内积y,分部积分dxx2 dxy,虚工问题:hE，极小位能:hE，,ymH! Iy2.构造分段线性的结点基函数1 ,并补充2 *V,i 0*i(x) Yi2x0.50 x 0.5