高等数学考前复习ppt课件

1、 高等数学期末复习高等数学期末复习考核内容和考核要求考核内容和考核要求 考核内容考核内容 一元函数微分学、一元函数积分学，一元函数微分学、一元函数积分学，包括函数、极限与延续、导数与微分、导包括函数、极限与延续、导数与微分、导数的运用、不定积分、定积分及其运用。数的运用、不定积分、定积分及其运用。第第1章章 极限与延续极限与延续 了解极限的概念数列极限、函了解极限的概念数列极限、函数极限、左右极限，知道数列极限数极限、左右极限，知道数列极限的的“定义和函数极限的描画性定义和函数极限的描画性定义，会求左右极限；定义，会求左右极限；了解无穷小量的概念，了解无穷了解无穷小量的概念，了解无穷小量的运算

2、性质及其与无穷大量的关小量的运算性质及其与无穷大量的关系；系；掌握极限的四那么运算法那么，掌握极限的四那么运算法那么，掌握两个重要极限，掌握求简单极限掌握两个重要极限，掌握求简单极限的常用方法；的常用方法；了解函数延续性的定义，了解函了解函数延续性的定义，了解函数在某点延续的概念，知道左延续和数在某点延续的概念，知道左延续和右延续的概念，会判别函数在某点的右延续的概念，会判别函数在某点的延续性；延续性；了解函数延续点的概念，会求函了解函数延续点的概念，会求函数的延续点，会判别函数延续点的类数的延续点，会判别函数延续点的类型；型；了解了解“初等函数在定义区间内延续初等函数在定义区间内延续的结论，

3、知道闭区间上的延续函数的结论，知道闭区间上的延续函数的几个性质。的几个性质。高等数学期末复习高等数学期末复习第第2章章 导数与微分导数与微分 了解导数与微分概念微分用了解导数与微分概念微分用 定义，了解导数的几定义，了解导数的几何意义，会求曲线的切线和法线方程，知道可导与延续的关何意义，会求曲线的切线和法线方程，知道可导与延续的关系；系； 熟记导数与微分的根本公式，熟练掌握导数与微分的熟记导数与微分的根本公式，熟练掌握导数与微分的四那么运算法那么；四那么运算法那么； 熟练掌握复合函数的求导法那么；熟练掌握复合函数的求导法那么； 掌握隐函数的微分法，取对数求导数的方法；掌握隐函数的微分法，取对数

4、求导数的方法； 知道一阶微分方式的不变性；知道一阶微分方式的不变性； 了解高阶导数概念，掌握求显函数的二阶导数的方法。了解高阶导数概念，掌握求显函数的二阶导数的方法。高等数学期末复习高等数学期末复习第第3章章 导数的运用导数的运用 掌握洛比塔法那么，能用它求掌握洛比塔法那么，能用它求“ 、“ 型不定式极限；型不定式极限；掌握用一阶导数求函数单调区间、极值与极掌握用一阶导数求函数单调区间、极值与极值点包括判别的方法，了解可导函数极值存值点包括判别的方法，了解可导函数极值存在的必要条件，知道极值点与驻点的区别与联络；在的必要条件，知道极值点与驻点的区别与联络；掌握用二阶导数求曲线凹凸包括判别的掌握

5、用二阶导数求曲线凹凸包括判别的方法，会求曲线的拐点；方法，会求曲线的拐点；会求曲线的程度渐近线和垂直渐近线；会求曲线的程度渐近线和垂直渐近线； 掌握求解一些简单的实践问题中最大值和最掌握求解一些简单的实践问题中最大值和最小值的方法，以几何问题为主。小值的方法，以几何问题为主。高等数学期末复习高等数学期末复习00第第4章章 不定积分不定积分 了解原函数与不定积分概念，了解不定积了解原函数与不定积分概念，了解不定积分的性质以及积分与导数微分的关系；分的性质以及积分与导数微分的关系； 熟练掌握积分根本公式和直接积分法；熟练掌握积分根本公式和直接积分法； 熟练掌握第一换元积分法和分部积分法；熟练掌握第

6、一换元积分法和分部积分法； 掌握第二换元积分法。掌握第二换元积分法。高等数学期末复习高等数学期末复习第第5章章 积分及其运用积分及其运用 了解定积分概念定义、几何意义了解定积分概念定义、几何意义和定积分的性质；和定积分的性质； 了解原函数存在定理，知道变上限了解原函数存在定理，知道变上限的定积分，会求变上限定积分的导数；的定积分，会求变上限定积分的导数； 熟练掌握牛顿熟练掌握牛顿莱布尼兹公式；莱布尼兹公式； 掌握定积分的换元积分法和分部积掌握定积分的换元积分法和分部积分法；分法；高等数学期末复习高等数学期末复习高等数学高等数学1第第1章章 极限与延续极限与延续本章重点：本章重点：极限的计算极限

7、的计算了解极限的概念，知道左右极限的概念，了解极限的概念，知道左右极限的概念， 知道函数在点知道函数在点 0 x处存在极限的充分必要处存在极限的充分必要 条件是条件是 )(xf在在 0 x处的左右极限存在且相等。处的左右极限存在且相等。 关于极限的计算，要熟练掌握以下几种常用方法：关于极限的计算，要熟练掌握以下几种常用方法： 1极限的四那么运算法那么：极限的四那么运算法那么： 运用时要留意法那么的条件是各个部分的极限都存在，运用时要留意法那么的条件是各个部分的极限都存在， 且分母不为且分母不为0。 当所求极限不满足条件时，当所求极限不满足条件时， 常根据函数的详细情况进展分解因式常根据函数的详

8、细情况进展分解因式 以消去以消去 零因子、或无理式的有理化、或三角函数变换、零因子、或无理式的有理化、或三角函数变换、 或分子分母同时除以或分子分母同时除以 nx分子分母同分子分母同 趋于无穷大时趋于无穷大时 等变形手段，等变形手段， 以使函数满足四那么运算法那么的条件。以使函数满足四那么运算法那么的条件。 2两个重要极限：两个重要极限： 熟记熟记 exxxxxx)11 (lim, 1sinlim0要留意这两个公式自变量的要留意这两个公式自变量的 变化趋势以及相应的函数表达，同时要熟习它们的变形方式：变化趋势以及相应的函数表达，同时要熟习它们的变形方式：高等数学高等数学1exxxxxx10)1

9、 (lim, 11sinlim3利用无穷小的性质计算：利用无穷小的性质计算： 无穷小量是指极限为无穷小量是指极限为0 的量，有限个无穷小量之和、的量，有限个无穷小量之和、积都是无穷小量，有界变量与无穷小量之和还是无穷小量。积都是无穷小量，有界变量与无穷小量之和还是无穷小量。4利用函数的延续性计算：延续函数在一点的极限值等于函数在该点的函数值。利用函数的延续性计算：延续函数在一点的极限值等于函数在该点的函数值。 5利用洛必塔法那么计算：参看第利用洛必塔法那么计算：参看第3章的有关内容。章的有关内容。例例1：求以下极限：求以下极限1002872)43() 12() 1(limxxxx解解 1 分子

10、、分母同除以分子、分母同除以 100 x那么那么 1002872)43() 12() 1(limxxxx 1002872)43()12()11 (limxxxx 1002872)43(lim)12(lim)11 (limxxxxxx 1002832高等数学高等数学12 11cos1lim20 xxx解解 首先将分母有理化，然后在利用重要极限计算首先将分母有理化，然后在利用重要极限计算11cos1lim20 xxx ) 11)(11() 11)(cos1 (lim2220 xxxxx 1)1() 11)(cos1 (lim2220 xxxx ) 11(lim)cos1 (lim2020 xxxx

11、x ) 11(lim2sin2lim20220 xxxxx 12213 xxx1sinlim20解解 由于由于 0 x时，有时，有 02x11sinx因此因此 xx1sin2还是无穷小量，故还是无穷小量，故 01sinlim20 xxx高等数学高等数学14 xxx10)21 (lim解解 xxx10)21 (lim 2210)21 (limxxx 2e5 )ctgsincos(lim220 xxxx解解 )ctgsincos(lim220 xxxx xxxx220sincoscoslimxxxx20sin)cos1 (coslimxxxxxx2220sincos1coslim 2112116

12、)3(lim22xxxxx解解 )3(lim22xxxxx xxxxxxxxxxxxx2222223)3)(3(limxxxxxx2234limxxx11314lim2 2114高等数学高等数学12、函数延续、函数延续了解函数在一点延续的概念，了解函数在一点延续的概念， 它包括三层含义：它包括三层含义：)(xf在在 0 x的一个邻域内有定义；的一个邻域内有定义； )(xf在在 0 x处存在极限；处存在极限； 极限值等于极限值等于 )(xf在在 0 x处的函数值，处的函数值， 这三点缺一不可。这三点缺一不可。 假设函数假设函数 )(xf在在 0 x至少有一条不满足上述三条，至少有一条不满足上述三

13、条， 那么函数在该点是延续的，那么函数在该点是延续的， 会求函数的延续会求函数的延续 点。点。 了解函数在区间上延续的概念，了解函数在区间上延续的概念， 由函数在一点延续的定义，由函数在一点延续的定义， 会讨论分段函数的延续性。会讨论分段函数的延续性。 知道延续函数的和、差、积、商分母不为知道延续函数的和、差、积、商分母不为0仍是延续函数，仍是延续函数， 两个延续函数的复合仍为两个延续函数的复合仍为 延续函数，延续函数， 初等函数在其定义域内是延续函数。初等函数在其定义域内是延续函数。 知道闭区间上延续函数的性质最大最知道闭区间上延续函数的性质最大最 小值存在定理、零点定理、介值定理。小值存在

14、定理、零点定理、介值定理。例例2 讨论函数讨论函数 0sin10001sin)(xxxxxxxxf在在 0 x处的延续性。处的延续性。 高等数学高等数学1解解 )(xf的定义域为的定义域为 ),(01sinlim)(lim00 xxxfxx1sin1lim)(lim00 xxxfxx由于由于 )(xf在在 0 x点处的左右极限不相等，点处的左右极限不相等， 故极限不存在，故极限不存在， 因此函数因此函数 )(xf在在 0 x点延续。点延续。 第第2章：导数与微分章：导数与微分高等数学高等数学1 了解导数的概念；了解导数的概念；了解导数的几何意义；了解导数的几何意义；会求曲线的切线和法线；会求曲

15、线的切线和法线；会用定义计算简单函数的导数；会用定义计算简单函数的导数；知道可导与延续的关系。知道可导与延续的关系。高等数学高等数学1)(xf在点在点0 xx处可导是指极限处可导是指极限xxfxxfx)()(lim000存在，且该点处的导数就是这个极限。导数极限还可写成存在，且该点处的导数就是这个极限。导数极限还可写成00)()(lim0 xxxfxfxx)(xf在在点点0 xx 处的导处的导数数)(0 xf 的几何意义是曲线的几何意义是曲线)(xfy 上点上点)(,(00 xfx处的切线斜率处的切线斜率曲线曲线)(xfy 在点在点 )(,(00 xfx处的切线方程为处的切线方程为 )()(0

16、00 xfxxxfy高等数学高等数学1函数函数)(xfy0 x0 x在在点可导，那么点可导，那么在在点延续。反之函数点延续。反之函数 )(xfy 在在 0 x点延续，在点延续，在 0 x点不一定可导。点不一定可导。了解微分的概念；知道一阶微分方式不变性。了解微分的概念；知道一阶微分方式不变性。熟记导数与微分的根本公式；熟练掌握导数与微分的四那么运算法那么。熟记导数与微分的根本公式；熟练掌握导数与微分的四那么运算法那么。微分四那么运算法那么与导数四那么运算法那么类似微分四那么运算法那么与导数四那么运算法那么类似vuvudd)(dvuuvvudd)(d)0(dd)(d2vvvuuvvu熟练掌握复合

17、函数的求导法那么。熟练掌握复合函数的求导法那么。高等数学高等数学1掌握隐函数求导法，取对数求导法，参数表示的函数的求导法。掌握隐函数求导法，取对数求导法，参数表示的函数的求导法。普通当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法，如普通当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法，如321xxy求求 y直接求导比较费事，采用取对数求导法，将上式两端取对数得直接求导比较费事，采用取对数求导法，将上式两端取对数得)2ln(31) 1ln(21lnxxy两端求导得两端求导得)2(31) 1(21xxyy整理后便可得整理后便可得)2(682123xxxxxy高等数学高等数学1假设

18、函数由参数方程假设函数由参数方程)()(tytx的方式给出，那么有导数公式的方式给出，那么有导数公式)()(ddttxy了解高阶导数的概念；会求函数的二阶导数。了解高阶导数的概念；会求函数的二阶导数。高等数学高等数学1综合练习综合练习一、填空题一、填空题设设 f xxx( ) 245那那么么f fx( )。解：解： 42)(xxf故故372445)42(4)42()(22xxxxxff曲线曲线 xysin在在 4x处的切线方程是处的切线方程是 。 解：解： xycos22)4(y又有又有 22)4(y故切线方程为故切线方程为)4(2222xy或或 0224824yx高等数学高等数学1设设yxl

19、n()21那么那么 y ( )0。 解：解： 122xxy222222) 1() 1(2) 1(4) 1(2 xxxxxy故故 2) 0 ( y二、单项选择题二、单项选择题曲线曲线 yxxe在点处的切线斜率等于在点处的切线斜率等于0。 A.( , )0 1B. ( , )1 0C. ( ,)01D. (, )1 0解：解： xye1令令 0 y得得 0 x而而 1)0(y应选项应选项C正确。正确。 高等数学高等数学1yxsin2那么那么 y。 A. cosx2B. cosx2C. 22xxcosD. 22xxcos解：解： 222cos2)(cosxxxxy应选项应选项C正确。正确。 3以下等

20、式中正确的选项是以下等式中正确的选项是A. 3233xxxxe dd e ()B. 1ddxxx()12C. ln( )x xxdd1D. 2ddx xx()1解：按微分法那么进展运算得解：按微分法那么进展运算得高等数学高等数学1xxxxxxde3)(de)e (d33323xxxd2)1(d32xxxd1)1(d2xxxd21)1(d3应选项应选项A正确。正确。高等数学高等数学1三、计算题三、计算题计算以下函数的导数或微分：计算以下函数的导数或微分：设设 xxysin22tan求求 2dxy 解：由导数四那么运算法那么和复合函数求导法解：由导数四那么运算法那么和复合函数求导法那么那么2ln2

21、cos2cos2sin2xxxy由此得由此得xxyxd2d)2ln22coscos2(d2sin22yy x( )高等数学高等数学1设函数设函数由方程由方程 xyxyyeln确定，求确定，求 ddyx 解：解： 等式两端对等式两端对 x求导得求导得 2eyyxyxyyyxyy整理得整理得xxyyxxyyyye22方法二：由一阶微分方式不变性和微分法那么，原式两端求微分得方法二：由一阶微分方式不变性和微分法那么，原式两端求微分得左端左端 yyxxyxyxyyyydedd)e (d)(d)e(d右端右端 2dd)(d)(lndyyxxyxyyxxyyx由此得由此得2dddeddyyxxyxyyyx

22、xyy整理得整理得xxyyxxyyxyyedd22yy x( )高等数学高等数学1xxyln设函数设函数由参数方程由参数方程 xtyt221确定，求确定，求 ddyx 解：解： 由参数求导法由参数求导法 ttxyxytt1221dd求以下函数的二阶导数：求以下函数的二阶导数：3解：解：1lnlnxxxxyxy1 xxy1解：解：22)1 (1)1 ()1 (xxxxy34)1 (2)1 ()1 (2xxxy 高等数学高等数学1第第3章：导数的运用章：导数的运用1)掌握洛必塔法那么，会用它求掌握洛必塔法那么，会用它求 “ 00、“ 型不定式的极限，以及简单的型不定式的极限，以及简单的“ 、“ 0

23、型不定式的极限。型不定式的极限。 高等数学高等数学1关于积分概念的了解和积分计算问题分析关于积分概念的了解和积分计算问题分析一、原函数与不定积分一、原函数与不定积分知函数知函数 f x( )在某区间上有定义，在某区间上有定义， 假设存在函数假设存在函数 F x( )， 使得在该区间上的任一点处，使得在该区间上的任一点处， 都有关系式都有关系式 dxxfxdFxfxF)()()()(或 成立，成立， 那么称函数那么称函数 )(xF是函数是函数 )(xf在该区间上的一个原函数。在该区间上的一个原函数。 设函数设函数 )(xF是函数是函数 )(xf的一个原函数，的一个原函数， 那么那么 )(xf的全

24、体原函数的全体原函数 CxF)(C为恣意常数为恣意常数)， 称为称为 f x( )的不定积分。的不定积分。 记为：记为：CxFdxxf)()(性质：性质： 1 )()(xfdxxfdxd2 dxxfdxxfd)()(高等数学1二、不定积分的根本公式及运算性质dxxgkdxxfkdxxgkxfk)()()()(2121高等数学高等数学1三、换元积分法三、换元积分法知知 CxFdxxf)()(那么那么 CxFxdxfdxxxf)()()()()(_凑微分法凑微分法高等数学高等数学1CtFdtttftdtfdxxftx)()()()()()()(CxFxt)(1)(1_第二换元积分分法第二换元积分分