导数理论在经济分析中的应用

1、第 30卷 第 4 期 高 师 理 科 学 刊 vol. 30 no.4 2010 年 7 月 journal of science of teachers college and university jul. 2010文章编号： 1007-9831 （ 2010） 04-0034-03导数理论在经济分析中的应用 刘荣花1，杨春艳1，孙艳伟2（1. 齐齐哈尔高等师范专科学校 理工系，黑龙江 齐齐哈尔 161005；2. 齐齐哈尔恒昌中学，黑龙江 齐齐哈尔 161005） 摘要： 运用导数理论可以对现实经济活动中的问题进行一系列的量化分析，为广大企业管理者进行科学决策提供支持对导数在经济学边际

2、分析、弹性分析和优化分析中的应用进行阐述，并列举实例加以说明关键词： 导数；经济学；边际分析；弹性分析；优化分析 中图分类号： f224.9文献标识码：a doi ： 10.3969/j.issn.1007-9831.2010.04.011高等数学和经济学同为经济管理类专业的主干课程，如何将这2 门学科的知识有效地结合起来，分析现实经济问题， 已经成为学者关注的热点导数是高等数学的基础内容之一1-3，随着市场经济的深入发展，导数在经济领域中的应用日益广泛本文从边际分析、弹性分析和优化分析3 个层面分析了导数在经济分析尤其是微观经济分析当中的应用，并列举实例加以说明 1 导数的概念 设函数)(x

3、fy =在点0 x 的某一邻域内有定义，当自变量x 在0 x 处有增量x?时，相应地，函数有增量)()(00 xfxxfy-?+=?如果y?与x? 之比，当0?x时存在极限，则称函数)(xfy =在点0 x 处可导，并称这个极限值为函数)(xfy =在点0 x 处的导数，记为)(0 xf ，即xxfxxfxyxfxx?-?+=?=?)()(limlim)(000002 经济分析中常用的函数 导数在经济领域中的应用，主要是研究在这一领域中出现的一些函数关系，因此必须了解一些经济分析中常见的函数 （ 1）价格函数一般说来，价格是销售量的函数 （ 2）需求函数需求函数为)( pfq =，其中： q

4、表示商品需求量；p 表示商品市场价格 （ 3）成本函数成本函数记为c ，10ccc+=，其中：0c为固定成本；1c 为变动成本. （ 4）收益函数收益函数记为r ，pqr =，其中： q 表示销售量；p 表示价格 （ 5）利润函数利润函数记为l ，crl-=，其中： r 表示收入；c 表示成本 3 导数在经济分析中的应用 3.1 导数在经济学边际分析中的应用 设函数)(xfy =是可导函数，则)(xf的边际函数即为)(xf 边际概念就是将导数的概念经济化在经济学当中，涉及“边际”的问题主要有边际效用、边际替代率、边际产量、边际成本、边际收益和边际收稿日期： 2010-03-01基金项目： 黑龙

5、江省高等教育学会“十一五”规划课题（115c-856 ）作者简介： 刘荣花（ 1977- ），女，黑龙江庆安人，讲师，从事应用数学研究e-mail ： 第 4 期 刘荣花，等：导数理论在经济分析中的应用 35利润等边际效用（mu ）指在一定时间内消费者增加一个单位商品或服务所带来的新增效用，也就是总效用的增量4-5 例 1假设消费者在商品x 和商品 y 花去自己的全部收入为了达到均衡，消费者必须使他的预算约束下的效用 （ u ） 最大化 也就是说， 求解),(maxyxqqfu =， 约束条件为yyxxqpqpm+= 其中：xq，yq 分别为购买商品x ， y 的数量；xp ，yp 分别为商品

6、x ， y 的价格 解为了求解该问题， 首先构造拉格朗日方程)(),(yyxxyxqpqpmqqfl-+=求 l 对xq，yq 和的一阶偏导数，并使之等于0，得到 ,0,0=-?=?=-?=?yyyxxxpqfqlpqfql-=?ml0=-yyxxqpqp（ 1） 解 方 程0=-?=?xxxpqfql和0=-?=?yyypqfql， 求 得yyxxpqfpqf?=?=/，=xxpmuyypmu，进一步解方程组（1）即可求得最优值xq及yq xmu是消费者消费最后一单位商品x 所得到的边际效用，ymu是消费者消费最后一单位商品y 所得到的边际效用因此表明，为了达到约束条件下的效用最大化，消费者

7、必须使花在商品x 上的最后一元与花在商品 y 上的最后一元的边际效用相等，而是消费者达到均衡时，花费在商品x 和商品 y 上面的最后一元的边际效用 3.2 导数在经济学弹性分析中的应用 弹性概念是经济学中的另一个重要概念，用来定量地描述一个经济变量对另一个经济变量的变化的反应程度6-8 设函数)(xfy =在点0 xx =处可导，函数的相对改变量)()()(0000 xfxfxxfyy-?+=?与自变量的相对改变量0 xx?之比00/xxyy?，称为函数)(xf从0 xx =到xxx?+=0两点间的平均相对变化率，或者称为两点间的弹性当0?x时，00/xxyy?的极限称为)(xf在0 xx =

8、处的相对变化率，也就是相对导数，或称为弹性，记为0 xxyee对于一般的x ，若)(xf可导且0)(xf，则有yxyyxxyxxyyeexxxy=?=?=?0000lim/lim，称为)( xf的弹性函数，简称弹性 经济学所分析的弹性问题主要可以分为需求弹性和供给弹性2 个方面，也可以分成点弹性和弧弹性2种，常见的弹性分析主要有需求的价格弹性、需求的收入弹性、需求的交叉价格弹性以及供给的价格弹性、供给的收入弹性、供给的交叉价格弹性等 例 2在一个某种商品的需求量对价格、收入和其它变量的回归方程中，收入的回归系数是10 要求：（ 1）计算当收入为10 000 美元，商品销售量是80 000 单位

9、时，该商品的收入弹性；（ 2）如果该商品销售量从 80 000 上升到 90 000 单位，收入从10 000 美元上升到11 000 美元，商品的收入弹性是多少？该商品属于哪种产品？ 解（ 1）该商品的需求收入弹性是qiiq?，其中： i 表示收入； q 表示商品销售数量；q?是商品销售数量的变化；i? 是收入的变化在对q 进行的关于 i 和其它解释变量的回归中，i 的估计系数是10，即10=?iq 因此，对于10 000 美元的收入和80 000 单位的销售量，商品的收入弹性000800001010=ie=1.25 （ 2）销售量从 80 000 增加到 90 000 单位，消费者的收入从

10、10 000 美元增加到11 000 美元时，=ie36 高 师 理 科 学 刊 第 30卷12121212qqiiiiqq+-=1.24 ，因为ie 为正数，该商品为正常商品，又因为ie 高于 1，所以该商品是奢侈品3.3 导数在经济学优化分析中的应用 优化分析是经济管理活动中的核心问题之一，通常是利用导数和线性规划等数学分析工具来探求使经济活动效果最好或者代价最小的行为方式，以便为企业管理者提供相关的决策依据9-11 经济学分析中的主要优化问题有产出最大化分析、收入最大化分析、利润最大化分析、资源合理利用的优化分析、成本最小化分析以及最优组合分析等，通常伴随一些约束条件通过优化分析可以帮助

11、企业管理者寻求最大化企业的收益，并尽量降低生产成本和管理费用，意义非常深远 例 3假定企业的总收益和总成本函数分别为25.045qqtr-=，257823+-=qqqtc分析产量为多少时，企业才能获得最大化的利润 解2125.73-+-=-=qqqtctrl，为了求企业l 最大时的产出水平，令0dd=ql，解得11=q，42=q 进一步， 求得 l 关于 q 的二阶导数qql615dd22-=当1=q时，9dd122=qql，l 取最小值 当4=q时，9dd422-=qql， l 取最大值所以，l 在4=q时最大，从而可以求得企业最大利润6max=l 参考文献： 1 葛云飞，李云友高等数学教程

12、m 北京：北京交通大学出版社，2006 2 褚衍彪高等数学在经济分析中的运用j 枣庄学院学报，2007 ， 24（ 5）： 21-23 3 周学勤例说导数的应用j 牡丹江教育学院学报，2009 ， 3（ 1）， 12-16. 4 高鸿业西方经济学（微观部分）m 4版北京：中国人民大学出版社，2007 5 多米尼克萨尔瓦多（美） 管理经济学m 4 版北京：清华大学出版社，2007 6 段有礼二元函数的导数在经济分析中的应用浅析j 保山师专学报，2003 ， 22（ 2）： 39-41. 7 李春萍导数与积分在经济分析中的应用j 商场现代化，2007 （ 504）： 182-183 8 张丽玲导数

13、在微观经济学中的应用j 河池学院学报，2007 ， 27（ 5）： 38-42 9 史为，李楠应用边际分析理论建立最优化经济数学模型j 昆明大学学报：综合版，2002 ， 13（ 1）： 15-19 10 崔宜兰导数在经济领域中的最优化问题的应用j 安庆师范学院学报：自然科学版，1997 ， 3（ 1）： 60-61 11 万解秋试论需求效用学说对我国价格制度改革的作用j 世界经济文汇，1985 ， 4（ 4）： 22-26. the application of differential quotient in economic analysis liu rong-hua1， yang ch

14、un-yan1， sun yan-wei2（1. department of science，qiqihar higher teachers college，qiqihar 161005，china ； 2. qiqihar hengchang middle school，qiqihar 161005，china ） abstract：do a series of quantitative analysis on many problems in our everyday economic activities by using differential quotient， for the majority of business managers to provide support for scientific decision-making. researched the simple application of di