判定平行四边形五种方法

1、判别平行四边形的基本方法.下面举例予以说明如何判别一个四边形是平行四边形呢。判” 一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 别,上在对角线AC,ABCD中E、F例1 如图L在平行四边形 D A且AE=CF,试说明四边形DE3F是平行四边形E 两条对角“分析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用。F .为此需连接BD线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别C B 1图 于点0. 3D解:连接交AC,因为四边形ABCD是平行四边形，B。所以AO=CO,=DO.又AE=CF 所以 AO-AE=COFO. EOCFJP.是平行四边形所以四边形DE3F ”二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行

2、四边形判别请如图2是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，例2 A F E你指出图中所有的平行四边形，并说明理由则图中各四边形的分析:设每根木棒的长为1个单位 长度，3两组对边分别相等的四边形是平故应考虑运用边长便可求得，“进行判别”行四边形图2则度，位为棒的长1个单长木：解设每根=1,FC=1,AF=BCAB=.所以四边形ABCF是平行四边形.都是平行四四边形四边形FCDE'ACDF同样可知四边形也是平 行四边ABDE=L=2,因为AE=DBAB=DE所以四边形.形D C判” 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形三、运用“F别E上的两、如图3 3, EF是 四边形ABCDAC的对角线例

3、AB是平行四边试说明四边形DF3EDFAE点，=CF=,/3E, ABCD3 图.形是平分析ABCD：题目给出的条件都不能直接判别四边形，ADF行四边形，但仔细观察可知， 由已知条件可得” 一组对边平行且相等由此就可得到判别平行四边形所需的. 的条件.=, 所以/ II 解：因为 DFBEAFDZCEB, ceafefcf=efae =AE 因为 CF 所以+, RP=DF=BE 又 =adcbeAadf , 所以N=dafbc, 2, bce.所以AD.BC II ABCD所以四边形是平行四边形;.判别四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形BCDDAB、Z4,在平行四边形A3CD中，

4、N如图例4是平行则四边形AECFE、F,的平分线分别交BC、AD边于点DA四边形吗？为什么？ 31，又题目中给出EC分析：由平行四边形的性质易得AF/2的是有关角的条件，借助角的条件 可得到平行线，故本题应考C BE .进行判别虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形” 4 图.AECF是平行四边形解：四边形，/BC理由：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD , ZZ dab=bcd11 , 2=/bcd/dab 所以 af/ec.又因为/ 1=, N 22 , 2=/32.因为 ad 4 bc, 所以N所以N1=N.ae/cf所以Nl=23,所以.所以四边形AECF是平行四边形判定平

5、行四边形的五种方法）证两组 对边分别平行；（2平行四边形的判定方法有：（D）证对）证一组对边平行且相等；（4证两组对 边分别相等；（3）证两组对角分别相等°下面以近几年的中（5角线互相平分；专题为例说明 如何证明四边形是平行四边形。两组对边分别平行一、AF、E分别在边BCD如图1,已知ABC是等边三角形，使AEEF=AC上，且CD=CE,连结DE 并延长至点FCF和、3E连结AF请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；（l）E 1图（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。BFEC （1）选证已解：DC证明：: ABC 是等边三角形，ACD=60° 3C/.=AC

6、, Z edccd-=ce, ABD=AE, 是等边 三角形DE=EC, Z=60° Z DECCDE= FEC=120° =/. ZBDEZ BDE义FECFEAE 又丁EF=, /.3D=, /是平行四边形）四边形（2ABDF都是等理由：由 知，ABCAEFEDC、 边三角形=60" EF=ZCDE4/ Z=ABC/A , DF II /.ABBD AF;.四边形ABDF是平行四边形。点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相 等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。二、一组对边平行且相等例2已知：

7、如图2,在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E,使CE=CG,连结BG并 延长交de于F（1）求证：AbcgAdce；（2）将Adce绕点d顺时针旋转90°得到,判4D断四边形E' BGD是什么特殊四边形？并说明理由。分析：（2）由干ABCD是正方形，所以有AB/DC,又通过旋转CE=AE '已知CE=CG,所以E' a=cg,这样就有be' =gd,可证e' BGD是平行四边形。解：（1）;ABCD是正方形，/. Zbcd=Zdce=90° 又,cg=ce, AbcgAdce（2） DCE绕D顺时针 旋转90°得

8、到,ACE=AE/ , -/CE=CG, /. CG=AE" , 丁四边形ABCD是正方形 A3Er II DG, AB=CD 二AB-AE' =CD-CG,即 BE' =DG 四边形DE' BG是平行四边形点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形 三、两组对边分别相等例3如图3所示，在aABC中，分别以AB、AC、BC为边在3C的同侧作等边相口,等边ACE, 等边3CF。求证：四边形DAEF是平行四边形；的两组DAEF分析：利用证三角形全等可得四边形DAEF对边分别相等，从而四边形是平行四 边形。FBC 都是等边三角形解：

9、:AmD 和4 =60° +Z FBAABC /. / DBFZ FBA=Z ABCDBF= Z /. Z DBFABC 丝 , X'-4BD=BABF=BCEFCABCAE 同理丝=. ACDF = ABEFAD;.是平行四边形.四边形ADFE点评：题设中存在较多线段相等关系时，可证四边形的两组对边 分别相等，从而可证四边形是平行四边形。对角线互相平分四、和AC,平行四边形ABCD的对角线例4已知：如图4于BDCG11AC于咒 相交于BDO, AE± BD干E, BF是平行四边形。，求证：四边形EFGH1AC干水5, DH图分析：因为题设条件是从四个顶点向对角线引

10、垂线，这，=OGEFGH的对角线有关，若能证出 OE些条件与四边形OH,则问题可获得解决。OF=BD, CG，AE证明：J_BDCG。，AEO=Z /. / OC, OA=* Z AOE=ZCOG, COG. AAOEADABC1111判断平行四边形的策略og .oe=JBAbofAdoh四边形EFGH是平行四边形点评：当已知条件与四边形两对角线有关时，可证两对角线互相平分，从而证四边形是平行四边 形。五、两组对角相等例5将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起四边形ABCD是平行四边形吗？理由。如图2,将RtABCD沿射线BD方向平移到RtABCD的位置，四边形ABCD是平行

11、四边形11111；.吗？说出你的结论和理由：。分析：因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形的两组内角相等解决问题。解：（1）四边形ABCD是平行四边形，理由如下：z ABC=Z ABD+Z dbc=30° +90° =120° ,zADC=ZADB+Z cdb=90° +30° =120°又 NA=60。，Zc=60° ,/. Z abc=Zadc, Za=/c（2）四边形ABCD是平行四边形，理由如下：】将RtBCD沿射线方向平移到RtzlBCD的位 置 111 时,有 Rt CBBRt ADD 111/. Z CBB=Z

12、 ADD, ZBCB=/DAD 111111 /./ CBA= / ABD+ZCBB=Z CDB+Z ADB=Z ADllUlllC, / BCD=mi/3C马十/BCD=NDAD+/DAB=/DA3 111ml所以四边形ABCD是平行四边形II点评：（2）也可 这样证明：由 知ABCD是平行=,将AB/CD四边形，. =的位置BCDBCD沿射线BD方向平移到RtZXRtZklllC时，始终有A3/ D是平行四边形。，故在学习了“平行四边形”这部分内容后，对于平行四边形的判定问题，可从以下几个方面去考虑： 一、考虑“对边”关系思路1:证明两组对边分别相等例1如图1所示，在ABC中，ZACB =

13、 90° ,己。的垂直平分线DE交BC干D,交AB于E, F在DE上，并且AF = CE.求证：四边形ACEF是平行四边形.证明：:DE是BC的垂直平分线，/.DF±BC, DB = DC/. Z FDB = ZACB = 90° .1 =AE .CE = DF J. II AC A3.2 D1= N2./3,=AF = CEAE,又 YEE H ACF1=AZ2=ZZ3=Z. A.EFACEA) 1 (图;./.AC = EF .二.四边形ACEF是平行四边形.思路2：证明两组对边分别平行例2已知：如图2,在ABC中，AB = AC, E是AB的中点，D在BC上

14、，延长ED到F,使 ED = DF = EB.连结 FC.求证：四边形AEFC是平行四边形.A.ACB =Z AB = AC, /.ZB 证明： EDB =/ ED = EB, /. 2 3EACEF II . / ACB =Z EDB B C .=CD是AB的中点，3D.三DDF, FDC, ED='"EDB=NF.F/. / DEB =Z 9X ：. AEDBFDC.CF/.AB/.是平行四边形.四边形AEFC ：证明一组对边平行且相等思路3分别是E、F 3如 图3,已知平行四边形ABCD中，例.的中点DE、BF = CF, M、N分别是AB、CD上的点，AE .求证：四

15、边形ENFM是平行四边形是 平行四边形，证明：.四边形ABCD.=ZC = .ADBC, / A.ADE四CSF 又AE = CF, /. FD . =BF1 =Z2, DE/.2C2 的中点，N分别是DE、BF VMNM.FNAEM= 1 32. Z /AB, A Z3 = VDC ABE .FN II /. Z1 =/3. .EM.是平行四边形四边形ENFME、J1 对角二、考虑“关系一4思路：证明两组对角分别相等3DA中，点例4如图4,在正方形ABCDE、2BCAD、的中点F分别是F；丝求证：（1） AABECDF ）（图4是平行四边形（2）四边形BFDE.C=/3CCDAB 中，=,A

16、D= , A/ABCD）（证明：1 在正方形 CB11 =AE90" , -/BC, =AD, CF 22.ABE CFAE. = . /. AACDF;.(2)由(1) A3E段ZkCDF 知，z 1 =Z2, /3=/4./. Zbed=/dfb.在正方形 ABCD 中，Z ABC =/ADC, AZE3F=ZEDF.四边形BFDE是平行四边形.三、考虑“对角线”的关系思路：证明两条对角线相互平分例5如图5,在平行四边形ABCD中，P、P是对角线21BD的三等分点.求证：四边形APCP是平行四边形.2:证明：连结AC交HD于。.ABCD是平行四边形，:四边形A D.OB = OD

17、/.OA = OC, 0PP:BP'iOP = OP = DP , /.2211AP.四边形.是平行四边形CPB平行四边形的识别浅5)(图确识别平行四边形，是进一步学习矩形、菱形和正方形的基础。识别平行四边形是利用边、角和 对角线的特点，而且只需要两个条件，为了更加清楚哪些条件能或不能很别平行四边形，我们把 这些条件 总结如下。1利用定义或定理直接识别平行四边形。CD /.AD II BC1.1两组对边分别 平行，如图1,AB o CD,AC=BC1.2两组对边分别相等，如图1,AB=两组对角分别相等，L3=BAD ZBCDo如图1,/A3C=NADC，N AB=CDo 1.4 一组对

18、边平行且相等，如图1,AB/CD, =OD。两条 对角线互相平分，如图1QA=OCQB1.5 2利用定义和定理间接识别平行四边形图，如组对角相等一 2.1 一组对边平行且 DA o ZADC=1,AB II CD,/ABC又 十CD .二ZABCZBCD=1800 ; 证明：AB II O. .BCD /ADC/ ADC+/ = 180° AD II BC=V/ABCCB1 图）（是平行四边形两组对边分别平行ABCD四边形如图一组对边平行且两条对角线交点平分一条对 角线，2.2 OA, /ABl,CDOC=o ；.证明：*/A3 II CD /. /BAC=Z DCA 在2AOB 和

19、/COD 中，/BAC=/DCA, OA=OC, Z AOB= ZCOD:ZlAOBZlCOD（ASA） AAB=CD 二.四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等）2.3两组邻角互补，而且两组邻角耍有一个公共角，如图 1,/DAB十/ABC=180° ,/ABC十/BCD=180°。证明：N dab+Zabc=180° J. ad II bc 又 Z abc+Z bcd=180cAA3/CD 二.四边形ABCD是平行四边形（两组对边平AD行）不能识别为平行四边形3cB两组不同的邻角互补，3.12图，可以画出梯形。+ZD=180° A+ZB=iso

20、c , /c如图2,/角相等关系都是对边3.2识别平行四边形的条件涉及的边、D涉及邻边邻角相等的都不能做为平行四边形识别的条件。对角,不一定是平行四边形。，CB=CDAD两组邻边相等，如图3, AB=,CAAD可以画出等腰梯形。N C,= N D,/3=两对邻角 相等，如图4, ZA 一组对边平行且另一组对边相等,3.3BBC3图也可以画出等腰梯形。3C,AB=CD, 如图4,AD/4图一组对边相等，一组对角相等，不一定是平行四边3.4形。反例作图方法.如图5：作/ABC,在边3A上确定点A.在边BC上确定点C.过点A、B、 c作。1.以点C为01A圆心，以线段AB长为半径作。C,以AC为弦作

21、0。1的等B圆。2, 交。于D、E两点，则四边形ABCD为平行四边DC02形，而四边形ABCE即为符合条件的非 平行四边形，即Eab=ce,Nabc=Naec。3.5 一组对边相等，对角线交点平分一条对角线，不一定是平行四边形。反例作图方法.如图6: 图5作线段AB.过线段AB的中点。作直线CD.A过点B作3E_1_CD、垂足为E,以点E为圆 心，小CFEG于线段OE的长为半径作OE.交CD于F、G两点，OHDI以点A为圆心，BF长为 半径作。及交直线CDB图6干H、工两点，则四边形AGBH和四边形AF3工为平行四边形，而四 边形AG3工和四边形即为符合条件的非平行四边形，如在四边形AG3工中

22、,A工=3GQA=0B。说明一个四边形是平行四边形的思路于秀坤山东平行四边形是最基本、最重要的一类特殊四边形.如何说明一个四边形是平行四边形呢？要说明 一个四边形是平行四边形，一般可以根据题目中所给的条件，分别通过下列的思路进行说明.一、 当已知条件出现在四边形的一组对边上时，考虑采用一组对“两组对边分别平行或相等的四边 形是平行四边形”或.边平行且相等的四边形是平行四边形"交ACAD是角的平分线，DE"例1 如图1,在ABC中，.AE=CFBC交AC于点F,试说明A3千点E, EFA1图,DEAC是角的平分线，可知/1=/2,由分析：由AD, =CFAE=ED,耍说明AE

23、可知/ 2=/3 , 所以N1=N3,即可得是平行四只需说明四边形EDCF=EC,因此，可转化为说明ED边形就可以 了.，所以AE=ED2=N3,所以N1=N3,因为N解：1=/2, Z （两是平行四边形，所以四边 形EDCFDE/AC, EF/BC又因为 组对边分别平行的四边形是平行四边形）.=CF.所以ED=CF, 所以AE采用两组当已知条件出现在四边形是对角上时，考虑“二、对角分别相等的四边形 是平行四边形ABCD的内角/DAB、2例如图2, AEx CF分别是 N3CD的平分线，试说明四边形AECF是平行四边形.C图2解：在 ABCD中，因为NDAB=N3CD,又因为:.11 , Z2

24、=l=z zBCDZDAB22 ,所以，Z1=Z2 , Z4=Z2ab/cd,所以/3=/1 因为，5= N6所以N3=/4,所以/是平行四边形.所以四边形aecf两''三、当已知条件出现在四边形 的对角线上时，考虑采用”条对角线互相平分的四边形是平行四边形。，EF过BDDABCD中， AC、相交于。例3如图3,在试、H. AB、CD交于GGH分别交AD、BC于三、F,过。分别说 明四边形EGFH是平行四边形.3图，/2abcd,所以/1=解:在Dabcd中，因为，所以COHAOG2所以因为OA=OC, Z OH=, OG OF, 同理OE= EGFH是平行四边形.所以四边形构

25、造平行四边形解题邹殿敏山东平行四边形是一种特殊的四边形，它的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分.许多几何 问题可以通过添加辅助线，构造平行四边形加以解决.一、求线段的长为边Q为边AB上一点， P例1如图1,在正ABC中，之间M点与线段PQ的中点上一点，且AP=CQ.今重得AAC cm . c的距离是19cm,则P点到点的距离等于ABC由4, PDMD., AB交BC于点D,连接作分析：QD为平APDQDQ,所以四边形BDBP=, AP= 为正三角形，易知的对角线.所以是平行四边形APDQ行四边形.所以AMD.所口=/.由abdcbp 可得 pc) (=2X=2adam19=38ciha =38cm. pc 以 QMPDA 二、证明线段相等问题CD,延长 融=中，AD/BC,例2如图2,在梯形ABCDCB到 E,使EB=AD,连接AE.求证：AE=AC.分析:连接BD.由AD与、平行且相等易知四边AEB是平行四边形，所以BD=AE .因为AC=BD, 所以AA2三、证明线段和差问题例3如图3, ABC中，D, F是AB边上两点，且AD=BF,作DEBC, FG/BC,分别交AC于 点 E, G. 求证：DE+FG=BC.分析：作GH/AB交BC于点H.则四边形B