A32洛必达法则课件

1、A32洛必达法则PPT课件3.2 洛必达法则洛必达法则洛洛必必达达法法则则型型未未定定式式解解法法型型及及:00 型型未未定定式式解解法法00,1 ,0 ,0 A32洛必达法则PPT课件洛洛必必达达法法则则型型未未定定式式解解法法型型及及一一、:00 定义定义.00)()(lim,)()(,)()(型型未未定定式式或或称称为为那那末末极极限限大大都都趋趋于于零零或或都都趋趋于于无无穷穷与与两两个个函函数数时时或或如如果果当当 xFxfxFxfxaxxax例如例如,lim0 xtgxx,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()( P108, P110A32洛必达法则PPT课件.)()(l

2、im)()(lim);()()(lim)3(; 0)()()(),()2(; 0)(lim,0)(lim)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaaxFxfaxaxaxaxax 那那末末或或为为无无穷穷大大存存在在都都存存在在且且及及可可以以除除外外点点点点的的某某领领域域内内在在设设定理定理1 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则洛必达法则. .,该该法法则则仍仍然然成成立立时时及及时时当当 xaxaxP108A32洛必达法则PPT课件证证定义辅助函数定义辅助函数, 0),()

3、(1 axaxxfxf, 0),()(1 axaxxFxF,),(0 xaU内内任任取取一一点点在在 ,为端点的区间上为端点的区间上与与在以在以xa,)(),(11件件满足柯西中值定理的条满足柯西中值定理的条xFxf则有则有)()()()()()(1111xFxfaFxFafxf )()( Ff )(之间之间与与在在ax ,aax 时时当当,)()(limAxFxfax ,)()(limAFfa .)()(lim)()(limAFfxFxfaax A32洛必达法则PPT课件例例1 1解解.1)1(lim0 xxx 求求1)1(lim10 xx原原式式. 例例2 2解解.123lim2331 x

4、xxxxx求求12333lim221 xxxx原原式式266lim1 xxx.23 )00()00(A32洛必达法则PPT课件例例3 3解解.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx . 1 例例4 4)00(.cos12lim0 xeexxx 求求)00(解解. 2coslimsinlim00 xeexeexxxxxx原式原式A32洛必达法则PPT课件注：注：1、用罗必塔法则一定要验证条件，特别是条件、用罗必塔法则一定要验证条件，特别是条件(1);2、若用一次法则后仍是未定式，可继续使用，一旦、若用一次法则后仍是未定式，可继续使用，一旦 不是未定式

5、立刻停止使用不是未定式立刻停止使用; xxxxxxxxsin2limcos2limsinlim0020例例： 3220)1(22lim xxxxxxeeexexe例例：求求 解：原式解：原式3022limxexxeexxxx 20321limxeexexxxx 616lim0 xeexexxxx3、运算过程中有非零极限因子，可先算出极限。、运算过程中有非零极限因子，可先算出极限。A32洛必达法则PPT课件注意：注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好但与其它求极限方法结合使用，效果更好. .例例5 5解解.tansinl

6、im20 xxxxx 求求30sinlimxxxx 原原式式xxx6sinlim0 2031coslimxxx .61 A32洛必达法则PPT课件.)()(lim)()(lim);()()(lim)3(; 0)()()(),()2(;)(lim)(lim)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaaxFxfaxaxaxaxax 那那末末或或为为无无穷穷大大存存在在都都存存在在且且及及可可以以除除外外点点点点的的某某领领域域内内在在设设定理定理2.,该该法法则则仍仍然然成成立立时时及及时时当当 xaxaxA32洛必达法则PPT课件)0(lim)2);0(lnlim)16 为正整数，为正整数，求求

7、例例nexxxxnxx）（）（原式原式解解 xxxlnlim)111lim xxx01lim xx）（）（原式原式解解 xnxexlim)2xnxenx 1lim xnxexnn 22)1(lim 0lim xnxen ！无穷大量无穷大量的的阶阶数数依依次次递递增增。、xxxexx lnA32洛必达法则PPT课件例例7 7解解.sinlnsinlnlim0bxaxx求求axbxbbxaxaxsincossincoslim0 原原式式. 1 )( axbxxcoscoslim0 33sinsin3limcos3coslimcos3sin3cossinlim222 xxxxxxxxxxx原式原式例

8、例8 8.3tantanlim2xxx 求求)( 解解A32洛必达法则PPT课件型型未未定定式式解解法法二二、00,1 ,0 ,0 例例8 8解解.lim2xxex 求求)0( xexx2lim 原原式式2limxxe 2limxxe . 关键关键: :将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 .),00()( ,10. 1 型型.0100 或或)()(1()(1)()()(xfxgxfxgxgxf或或 A32洛必达法则PPT课件例例9 9解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101. 2 型型.0000 xxxxxsinsinlim0

9、原原式式xxxxxcossincos1lim0 . 0 通过通分或分子有理化及其它初等变换转化为通过通分或分子有理化及其它初等变换转化为 或或 不定型。不定型。00A32洛必达法则PPT课件型型00,1 ,0. 3 ln01ln0ln01000取对数取对数.0 通过通过)(ln)()()(xfxgxgexf 将三种不定式转化为将三种不定式转化为0型。型。例例1010解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 xxxe1lnlim0 A32洛必达法则PPT课件例例1111解解.lim111xxx 求求)1( xx

10、xeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1212解解.)(limln10 xxctgx 求求)(0 ,)()ln(ln1ln1ctgxxxectgx 取对数得取对数得)ln(ln1lim0ctgxxx xxctgxx1sin11lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式A32洛必达法则PPT课件例例: 求210)(coslimxxx(1型)解法一解法一: 21)(cosxxxxecosln12xxxcosln1lim 20( 0型)20coslnlimxxx).00( 型xxxx2)sin(cos1lim0 xxxxsinc

11、os21lim021所以: 210)(coslimxxxxxxecosln1lim2021 eA32洛必达法则PPT课件解法二解法二: 210)(coslimxxx(1型)21cos1cos10) 1(cos1limxxxxx211coslim 20 xxx而21210)(coslim exxx故A32洛必达法则PPT课件例例解解.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 极限不存在极限不存在洛必达法则失效。洛必达法则失效。)cos11(limxxx 原原式式. 1 洛必达法则有时并不适用洛必达法则有时并不适用法则不是万能的法则不是万能的A32洛必达法则

12、PPT课件()lim()xxxxxeeeexxxxxeeeelimxxxxxeeeelim).(型xxxxxxxxx2221lim/1lim/1limlimxxxxxeeeeA32洛必达法则PPT课件例例: 求)( lim 型xxxxxeeeexxxxxeeeelimxxxxxeeee11lim )11 ()11 (lim22xxxxxeeeexxxee221111lim111解解: A32洛必达法则PPT课件洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好它求极限方法结合使用，效果更好. .方法包括：方法包括：1。该分出的因子

13、应及时分出；。该分出的因子应及时分出；2。能用等价无穷小代替的因子应及时用等价无穷小代替；。能用等价无穷小代替的因子应及时用等价无穷小代替；3。能用恒等变换简化的因子应及时用恒等变换简化。能用恒等变换简化的因子应及时用恒等变换简化。A32洛必达法则PPT课件常用八个等价无穷小常用八个等价无穷小: :,0时时当当 x2 sin tan arcsin arctan1 ln(1)11 cos2(1)1(0)xaxxxxxxxxxxxexxxaxaA32洛必达法则PPT课件等价无穷小代换等价无穷小代换定理定理( (等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理) ).limlim,lim, 则则存存在在且且设设

14、证证 lim)lim( limlimlim.lim 注意注意:只能对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和只能对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中的各无穷小不能分别代换中的各无穷小不能分别代换. .A32洛必达法则PPT课件例例: 求xxxx30sinarcsinlim解解: 当 x0时. sin3x x3xxxx30sinarcsinlim30arcsinlimxxxx).00( 型2203111limxxx222011131limxxxx2202011lim131limxxxxx61A32洛必达法则PPT课件例例3011 sinlimsinxxxx.1212sinlim30 xxxx

15、30sinlim( 11 sin )xxxxxxA32洛必达法则PPT课件xxx)arctan2(limxxxe)arctan2ln(lim2/1)arctan2ln(limeexxx例例A32洛必达法则PPT课件三、三、 讨论函数讨论函数 0,0,)1()(2111xexexxfxx当当当当, , 在在处处点点0 x的连续性的连续性. .解：解：f(0-0)=f(0)=21e)00()1ln( 1)1ln(11)(ln2xxxxxxxf0limx)(lnxf0limxxx211121f(0+0)=21e因此，因此，f(x)在在x=0连续。连续。A32洛必达法则PPT课件例例 设设f(x)f(

16、x)在在x=xx=x0 0处具有二阶导数，处具有二阶导数，求极限求极限hhxfhxfhhxfxfhxfhh2)( )( lim0/0)()(2)(lim00020000)(2)()(lim0/00000 xfhxfhxfh)( )( lim)( )( lim212)( )( lim000000000hxfhxfhxfhxfhhxfhxfIhhh20000)()(2)(limhhxfxfhxfh解：解：20000)()(2)(limhhxfxfhxfh解：解：=f”(x0)A32洛必达法则PPT课件三、小结三、小结洛必达法则洛必达法则型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取取对对数数令令gfy A32洛必达法则PPT课件用洛必达法则求下列