南京市高中三年级年级第三次模拟考试与答案

1、南京市2018届高三年级第三次模拟考试2018.05一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）221 .集合 A二x| X 4- X 6 = 0 , B=x| X 4 二 0，贝 U AU B= 2. 已知复数z的共宛复数是一.若Z（2 i）=5，其中i为虚数单位，则一的模为3. 某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在50 , 60元的学生人数为.（第3题图）Print S（第4题图）4. 根据如图所示的

2、伪代码，可知输出S的值为.5. 已知A, B, C三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A与B在相邻两天值班的概率为X y 3< 0, y6,若实数x, y满足x+ 2y 50,则x的取值范围为 y一 2w 0,7.已知 a，P是两个不同的平面， I , m是两条不同的直线，有如下四个命 颜若 l-La, l_LFI，贝 Ua3 ；若 1 La, a _L 3，贝 U I II 3 ；若 Illa, l_L 3,贝 Ua_L 3 ；若 1 I a , a_L 3，贝 U I _L 3 .其中真命题为 （填所有真命题的序号）.22&在平面直角坐标系xOy中，若双曲线字一治二1

3、 （ a0, b0）的一个焦点到一条渐近线的距离为2a,则该双曲线的离心率为.9 .若等比数列小的前n项和为S,n N，且a=1, $=3$,则 ay的值为.2x + x+ a, 0w xw 2,10 .若f（x）是定义在R上的周期为3的函数，且f（x）=则f（a+1）的值为 .一6X + 18, 2v XW 3,11 .在平面直角坐标系xOy中，圆M x2+ y2- 6x-4y + 8=0与x轴的两个交点分别为&B,其中A在B的右侧，以AB为直径的圆记为圆N,过点A作直线I与圆M圆N分别交于C,D两点.若D为线段AC的中点，则直线I的方程为上.12 .在 ABC中，AB=3,A(=2

4、, D为边BC上一点.若云B-AD= 5,天C -天D= 3，则TAB.7AC的值为.13 .若正数a, b, c成等差数列，则 2Ah 4 c ”的最小值为丁 一 a+ /c14 .已知a, b R, e为自然对数的底数.若存在b 3e, ej，使得函数f （ x）=ex- ax- b在1 , 3上存在零点，则a的取值范围为_、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15 .（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，锐角a, 3的顶点为坐标原点O,始边为x轴的正半轴，终边与单位圆。的交点分别为p, Q已知点P的横坐标

5、为绍7，点Q的纵坐标为婪（1 ）求COS2 a的值；（2）求2 a 3的值.16 .（本小题满分14分）如图，在三棱锥 P ABC中， PA=AB,（1） 求证：平面PBCL平面ABC（2） 若PD平面AEM求PM的长.17 .（本小题满分14分）（第15题图）6,其余棱长均为2,M是棱PC上的一点，D, E分别为棱BC的中点.PB（第16题如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB AC和以BC为直径的半圆弧©C组成，其中AC为2百米，ACL BC/ A为M若在半圆弧IBC,线段AC线段AB上各建一个观赏亭D, E, F,再修两条栈道DE DF,使DE/AB3DFAC 记/ CBD

6、=e(nn-We<-2).试用e表示BD的长；(2) 试确定点E的位置，使两条栈道长度之和最大.18 .体小题满分16分)y2 y28 3乜2如图,在平面直角坐标系xOy中，椭圆C1(ab0)经过点氏，匚)，离心率为%.已知过点M;, 0)a b5 525的直线I与椭圆C交于A, B两点.(1)求椭圆C的方程；(第18题图)(2)试问x轴上是否存在定点N,使得“NA.“NB为定值.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由19 .体小题满分16分)32已知函数 f ( X)= 2x - 3ax + 3a 2 (a0)，记 f (x)为 f (x)的导函数.(1 )若£仪)的极

7、大值为0,求实数a的值; 若函数g (x)= f ( x) + 6x，求g ( x)在0,1 上取到最大值时x的值;a a+2(3)J上有解，求满足条件的正整数若关于X的不等式f(X)> f(X)在 a的集合.20.(本小题满分16分)若数列an满足：对于任意ne M , an+1 a向一金+ -|均为数列小中的项，则称数列去为“ T数列”.(1)若数列an的前n项和S=2n2, n N*，求证：数列an为“ T数列”；(2)若公差为d的等差数列an)为“ T数列”，求d的取值范围；(3)若数列an为“ T数列” , ai= 1,且对于任意M，均有ava 22 2m,求数歹13的通项公式

8、.南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题B.选修42 :矩阵与变换1220已知矩阵A二o i,B=oi，若直线以丫+2二。在矩阵AB对应的变换作用下得到直线的方程.C.选修44 :坐标系与参数方程C的极坐在极坐标系中，已知圆 C经过点P(2, M),圆心C为直线sin(0一专)二一Q3与极轴的交点，求圆标方程.22.体小题满分10分)在平面直角坐标系 xOy中，抛物线C： y=2px(p> 0)的焦点为F,点A(1, a) ( a0)是抛物线C上一点，且AF=2.(1)求P的值；(2)若M N为抛物线C上异于A的两点，且AML AN记点M N到直线y二一2的距离分别为g dz,

9、求的值.(第22题图)23.体小题满分10分)n_ 1 n_i已知 fn(x) = E AnX(x+ 1)(x+ i 1) , gn(x) = A+x(x+1)(x+ n 1) , 其中 x R n N*且 n) 2.(1 )若=7gn，求n的值;(2 )对于每一个给定的正整数n求关于X的方程fn(x) + gn(x)=0所有解的集合.、填空题（本大题共1. -3-2, 228.59. 4、解答题（本大题共南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学参考答案14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）.,5 3. 1504. 75. 3 6右，2 7.10.

10、 211. x+ 2y 4= 0 12 . 313 ,甘 14.4e6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内)15.(本小题满分14分)解：)因为点P的横坐标为乎，P在单位圆上一为锐角所以cos2,7:所以 cos2 a = 2cos2 a_1 J7 4分 (2)因为点Q的纵坐标为鲁3，所以sin3二甘又因为P为锐角,所以cos P =1314因为cos a=27，且a为锐角,所以sin二21因小匕sin2a = 2sin a cos4,310分所以 sin(2 a- 3)二组生1x瘀卫12分714 714因为a为锐角，所以0V 2 a V

11、ru又 cos2 a0,所以 OV 2a又P为锐角，所以一V2a- 3 V ，所以2a -3 二亍14分16 (本小题满分14分)(1)证明：如图1,连结PE因为 PBO的边长为所以PEL BC,且 PE= ； 3 , 同理 AE= 3因为 PA=6，所以 PE+ AE = PA,所以 PELAE因为PE! BC PEI AE B6 AE= E, AE BC 平面 ABC所以PE _L 平面 ABC因为PE平面PBC所以平面PBCL平面ABC2的正三角形,(图1)(2)解法如图1，连接CD交AE于。，连接0M因为PD/平面AEM PD平面PDC 平面AEMP平面PD二OM所以PD/ OM 9分

12、PM DO所以PC二DC "分B因为D, E分别为AB BC的中点，CM AE= O,所以O为ABC重心，所以 黑3,又因为PD平面AEM DN平面PDN PD平面PDN DNn PD= D,所以平面PD/平面AEM又因为平面AEMD平面PBC=ME平面PDN平面PBC= PN所以 ME/PN 所以 PM=NC1 1 7JNE 112因为E, N分别为BC BE的中点，所以NC=3,所以PM= 3PC=3.14分17.(本小题满分14分)解：(1)连结DC在乙、ABC中，AC为2百米，ACLBC, / A为瓦， 71所以/ CBA="6，AB= 4, BC= 2 ;'

13、;3.n1因为 BC 为直径，所以/ BDC= 2，所以 BD= BCcos 0=2、： 3cos 0 .(2)在乙' BDF 中，/ DBF= 0 + 卡，/ BFD=nn, BD= 2 ,3cos 0 ,所以二八二吕 D sin( 0 + ) sin( - - 0)n所以 DF= 4cos 0 sin( + 0 ),且 BF= 4cos2B , 所以 DE= AF=4- 4cos20 ,n所以 DE+ DF= 4 4cos20 + 4cosOsin(存0)=：n3sin2 0 cos2 0+3=2 sin(2 。石计312因为亍° V于，所以产纱，所以当213分答：当E与

14、C重合时，两条栈道长度之和最大.18.（本小题满分16分）n nn二，即3 0=T时，DH DF有最大值5,此时E与C重合.6 234 4八解（1）离心率e=c二3 ,所以c二J3aa2222x y 5所以椭圆C的方程为-2+ 2二1 . II8 3169因为椭圆,经过点15, 5）,所以25b2+25F',22'X 2所以b二1，所以椭圆C的方程为；+ y=1.（2）解法设Nn, 0） ,当I斜率不存在时, A：y),222 '则 丫2= 1一券 b(2 , - y)则 _Na_Nb5242 425= n-当 I 经过左？右顶点时，NA NB 二（一2 n）（2 -

15、n） = n 6,2,1 6,2k 4k252 2、52 4.2 (n + _ k) 2 +n+k 4k + 15 4k + 125- 4.2 442令 n&n-5= n4,得 n 二4.F面证明当N为(4 .°)时对斜率为k的直线I : y=k(x-3恒有"NANB= 12.52X设 A(x.,力 B(X2,：消去 y 得"+ 1)x2 R2X + 驾- 4二。,、4丫2)，由5k 45所以Xi+X熊+阡2510分X1X2 =2,4k2+ 1所以“Na NB = (X1- 4)( X2- 4) + yy=(Xi -* 4)( X2* 4) + k (X1

16、 Xz2)55=(k2+ 1 )X1X2- (4 + 2k2)( X1+ x2)+ 16+ k212 分525162162k2- 4k222522542=(k2+ 1)2- (4 + k2) 2+ 16+ k24k花,L 八 16.2, 5 4k 4 25(k + 1)( k 4) yk (4 + 5k ) + -k (4 k + 1)164k2 + 12-16k-4k2+ 1所以在x轴上存在定点N4 , 0），使得NA NB为定值.16分解法2设N（n °），当直线1斜率存在时，设1 :尸k（x- 5）,设 A(Xi, y“，B(X2, y2), 2X2J + y= 1,4得(4k

17、2+ 1) x2 16k2x+ -Ak2 4= 0,525由2消去y= k(x-：),516分16 2k 所以 Xi + X2= 24k + 1/216/ k 425XlX2= 2.22所以 NA NB= (Xi- n)(X2- n)+ 9(Xi- n)(x2- n) + k(X12）（ X2(k2+ 1 )X1X2- (n +2k2)( Xi + X2)+ n2+ 令 22=(k+ 1)525216 216 22 24 22(k+ 1)( 25k 4)k(n + 5k) + 西 k(4k+1)22+ n2A Iz 1 i/16 16.21(n ) k 45516 16(一丁 n-丁)若NA

18、NB为常数，则212分k 4为常数，设2, 16 16 2(n554k + 1)k- 4二X , X为常数,则（八罟）k2 -4= 4入k2+入对任意的实数k恒成立,一-艺二 4X,所以554=X,所以 4, X二一4,此时“ NA”NB = 12.14分>=24 l4=2 5当直线I斜率不存在时,2 22_，y), b<5, y)，则 V =所以“NA_NB 二(2 4)22y2=2(5 2 4)2q 24= 125 57525所以在X轴上存在定点中，0），使得“Na “Nb为定值.19.（本小?»y联瓣询2鸡+£处续aa- 2（a>o）,解：（1）因为

19、 f（X）= 6x 6ax = 6x（ X a）.当 x (a, 0)时，f (x) >0, f ( x)单调递增；当 x (0 , a)时，f (x) v 0, f ( x)单调递减;当 x (a,+a)时 U (x) >0, f ( x)单调递增.2故 f ( x)极大值=f (0)= 3a 2=0,解得3.332(2)g (x) = f (x) + 6x= 2x 3ax + 6x+ 3a 2(a>0),22贝I g'(x)= 6x 6ax+6 = 6(x ax+ 1) , x 0 , 1.2当 0v aw2 时，= 36( a 4) < 0,所以g'

20、; (x)o恒成立，g (x)在0 , 1 上单调递增，则g ( x)取得最大值时x的值为1.a当 a>2 时，g，(X)的对称轴 X= 2> 1 ,且. 36(*-4) >0, g'=6(2 a) v o, g' (0) = 6>o,a一寸 a2 4所以g' (x)在(0,1)上存在唯一零点X。二2 当 x (0 , X。)时，g，(x) >0, g ( x)单调递增，当 xe(x： , 1)0 » g,(x) vo, g(x)单调递减，a- va- 4则g ( x)取得最大值时x的值为Xh 2 .综上，当0v aw 2时，g

21、( x)取得最大值时x的值为1 ;a - y/ a2 4232(3)设 h ( x) = f ( x) f '(x)= 2x 3( a+ 2) x + 6ax+ 3,a 2,乡各26，g ( x)成彳尊最大值时4的值为1 - aa+ 2则h(x)。在冷，丁有解.10分22 a+ 2 2a+ 4 h*(x) = 6x(a+ 2)x + a = 6( x 丁)一 r,a a+ 2a 3 2因为h，(x)在(2 , 一厂)上单调递减,所以h，(x)vhz(2)二一护vO,所以h ( x)在(I，色孑)上单调递减，a32所以 hq0，即 a 3a 6a+ 4< 0. 12 分3 22设

22、t ( a) = a 3a 6a+ 4 (a0)，贝1|1'()= 3a 6a 6,当 a (0,1+ 八 2)时，( a) v 0, t( a)单调递减；当 a (1 + ,2,+s)时，f ( a) >0, t(a)单调递增.因为 t (0) = 4>0, t(1)=- 4v0，所以 t ( a)存在一个零点 mA (0 , 1),14 分因为t二一4 V 0, t=24> 0,所以t ( a)存在一个零点n (4 , 5),所以t(a)wO的解集为m,川，故满足条件的正整数a的集合为1 , 2, 3, 4 . 16分20.(本小题满分16分)22解：当 n2 时

23、，an= S1 $二 2n 2( n 1)= 4n 2,又 二 S=2= 4x 1 2,所以 an= 4n 2. 2 分所以 an+ I an+i - an-2| = 4n- 2+ 4 = 4( n+ 1) 2 为数列aQ 的第 n + 1 项，因此数列&为“ T数列”.4分(2)因为数列&是公差为d的等差数列，所以 3n+ | Hn+1 an+2| = 3l+ ( H 1) d + | d| .因为数列&为叮数列”，所以任意 n N*，存在 mN*，使得 a+ (n - 1)d+ |d|= am,即有(mn)d 二 | d|6分若 d0,则存在 m= n+1 N*，使

24、得(m n) d 二 | d| ,若 dv 0,贝 U m二 n 1.此时，当n=1时，m= 0不为正整数，所以dv 0不符合题意.综上，d>0. 8分(3 ) 因为 3nV 3n+ 1，所以 an + I 3n+ 1 3n+ 二 3n+ 3n+ 2 3n+ 1 .又因为 3nV 3n+ 3n+ 2 3n+ 1= 3n+ 2 ( 3n+ 1 3n) V Hn-2.且数列 Hn为"T 列"，所以 3n+ 3n+ 2 3n+ 1 =3n+ 1 ,即 P 3n+ 3n+ 2= 23n+ 1 ,所以数列 an)为等差数列.1 0分设数列(an)的公差为t(tO)，则有an=1

25、 + (n- 1)t, 22|l| 3n< 3n+1 3n< 3n-l ,彳导 1+( fl 1 ) t V t 2 + (2PI 1 ) t V 1 + fit, 12 分整理得 n(2t2 - t) >t2- 3t + 1,n(t- 2t2) >2t - t2- 1 .2若 2t2- t v 0,取正整数not % + 1则当n> N。时，n (2t2- t) v (2t2- t) Nov t2- 3t + 1，与式对于任意n N*恒成立相矛盾，因此2t2-t>0.同样根据式可得t 2t20,2 1所以 2t2t = 0 又 t0，所以 t = 2.经检

26、验当t二2时，两式对于任意n N*恒成立，1n +1所以数列&的通项公式为an=1 + 2(n- 1)二丁.16分B.选修42 :矩阵与变换解：因为心122022,B二，所以 AB=0 10 10 14分设点Fo(Xo, y：)是I上任意一点，P,在矩阵AB对应的变换作用下得到F(x, y).因为 R (Xo, yo)在直线 I : x y + 2= 0,Xo X ”2 2 Xo X由AB二，即y。 y o 1 y。 y所以 Xo-yo+ 2= o.得 2 x0+ 2 y。= X,得 y。二 y,1 6 分即 XO=2X-y,y 0= y.10分将代人得x 4y+ 4 = 0，所以直线

27、11的方程为x- 4y+ 4=0.C.选修44 :坐标系与参数方程解：解法一在直线 sin( 0 - n3)二一.,3 中，令 0= 0,得=2.所以圆C的圆心坐标为C(2 , 0) . 4分nJ 22n亩为圆C经过点R2 )，所以圆C的半径PC=.2 +2 - 2 X 2X 2X cosy=2,所以圆C的极坐标方程二4cos 0 .10分解法以极点为坐标原点，极轴为X釉建立平面直角坐标系，则直线方程为y=/3x- 2 .'3, P的直角坐标为(1 ,'3),令 y= 0，得 X= 2，所以 Q2 , 0), 4 分所以圆C的半径PC=；(2 1)2+(0- ,3产=2, 6分

28、所以圆C的方程为(X - 2产+ (y- 0)2= 4，即x2+ y2- 4X=0, 8分所以圆C的极坐标方程二4cos 0.10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22.(本小题满分10分)解：因为点A(1 , a)( a0)是抛物线C上一点，且AF=2,所以2+ 1=2,所以p=2.(2)解法一由得抛物线方程为2= 4X.因为点A(1 , a)( a0)是抛物线C上一点，所以a=2.设直线 AM 方程为 x 1 二 m( y 2) (0) , M(m, yj , N(x2, y .由：2一/二叫"？，消去 x，得y2- 4m y+ 8m-4= 0,y = 4X

29、,即(y 2)( y 4m+ 2)= 0,所以力二 4m 2.14因为AML AN所以一 m代m得y2=-m-2所以 dch二 |(yi+ 2)(丫2+ 2)|=|4mx(一 * 二 16.分解法由得抛物线方程为y2= 4x.因为点A(1 , a)( a0)是抛物线C上一点，所以a=2.设 Mx1， y。，N(X2, y2)，贝 uAM,AN = (Xi - 1)(X2-1)+ (y 1- 2) (y2- 2)二 0.又因为 MXi, y”，N(X2, y2)在 y= 4x 上，所以(y2i - 4)俨2 4)+ 16( yi- 2) (y2- 2)= 0,即(y i+ 2) (y2+ 2)+ 16(yi - 2)(y2- 2)= 0.因为(yi - 2) (y2- 2)10,所以(yi + 2) (y2+ 2)=- 16, 8 分所以 did2= |( yi+ 2) ( y2+ 2)| = 16 . 10 分(本小题满分10分)(1)因为 fn(X)=彘义(X+1)(X + i 1),i = 1n-1 l i.n 1n所