南京市高三期初模拟考试数学卷

1、南京市2017届高三期初模拟考试数学 2016.09一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的.1 .已知集合 A 0,1,2 , B x|x2 x 0,则 AI B .2 .设复数z满足（z i）i 3 4i （i为虚数单位）,则z的模为 .3 .为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间40,80中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间40,60）内的汽车有 辆.A孜率 '机即时速a 040. 03d C20, 010）的最小正周期为

2、，则f （百）的值是k的值是4 .若函数 f （x） sin（ x ）（5 .下图是一个算法的流程图，则输出rrrr r r r6 .设向量a(1,4), b( 1,x), ca3b,若a / /c ,则实数x的值是 7 .某单位要在四名员工(含甲乙两人)中随机选两名到某地出差，则甲乙两人中，至少有21(a 0)的一条渐近线与直线 42 0与圆心为C的圆ABC为直角三角形，则实数 a的值一人被选中的概率是2X8 .在平面直角坐标系 xOy中，双曲线C : -2- ay 2x 1平行，则实数a的值是 9 .在平面直角坐标系xOy中，若直线ax y22(x 1) (y a) 16相交于A,B两点，

3、且是 .10 .已知圆柱M的底面半径为2,高为2,圆锥N的底面直径和母线长相等，若圆柱 M和圆锥N的体积相同，则圆锥 N的高为 .11 .各项均为正数的等比数列 an,其前n项和为Sn,若a2 a578 , S3 13,则数列an的通项公式an .12x x3x 012 .已知函数f(x), ，当x (,m时，f(x)的取值范围为16,),2x,x 0则实数m的取值范围是 uur 1 uuu uuur uuur13 .在 ABC 中，已知 AB 3, BC 2, D 在 AB 上，AD AB,若 DB?DC 3, 3则AC的长是 .1 v14.已知f(x), g(x)分别是定义在 R上的奇函数

4、和偶函数，且 f(x) g(x) (,)x,若存在xo ,1,使得等式af(xo) g(2xo) 0成立，则实数a的取值范围是2 '二、解答题 (本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15 .(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系 xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角和钝角 的终边分别与单位圆交于点A, B ,若点A的横坐标是 £10，点b的纵坐标是 走 .105(1)求cos( )的值;(2)求 的值.(第15卷)16 .(本小题满分14分)如图，在直三棱柱 ABC AB1C1中，点M , N分别为线段AiB,ACi的中点.(1)求证：MN

5、/平面 BB1c1c ；(2)若 D 在边 BC 上，AD DC1,求证：MN AD .i 第 i«a)17 .(本小题满分14分)如图，某城市有一块半径为 40m的半圆形(以。为圆心，AB为直径)绿化区域，现计划对其进行改建，在 AB的延长线上取点 D ,使OD 80m,在半圆上选定一点 C ,改建后 的绿化区域由扇形区域 AOC和三角形区域COD组成，其面积为Sm2,设 AOC xrad .(1)写出S关于x的函数关系式S(x),并指出x的取值范围;(2)试问 AOC多大时，改建后的绿化区域面积S最大.18 .(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆2Ca2与

6、1(a b 0)的左、右焦点分别为b2uurFQ .uurF1,F2, P为椭圆上一点(在x轴上方)，连结PF1并延长交椭圆于另一点 Q ,设PF13、 一 一(1)若点P的坐标为(IQ),且 PQF2的周长为8,求椭圆C的方程;12(2)若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e -,求实数 的取值范围.2 2(重1*题)19 .(本小题满分12分)已知数列an是公差为正数的等差数列，其前 n项和为Sn,且a2a3 15, S4 16.(1)求数列an的通项公式；1数列bn满足 bl ai , bn 1 bn .an an 1求数列bn的通项公式；是否存在正整数 m,n(m n),使得b2,bm

7、,bn成等差数列？若存在， 求出m,n的值；若不 存在，请说明理由.20 .(本小题满分16分)已知函数 f(x) ax2 bx lnx,(a,b R).(1)当a b 1时，求曲线y f (x)在x 1处的切线方程；(2)当b 2a 1时，讨论函数f(x)的单调性；(3)当a 1,b 3时，记函数f(x)的导函数f (x)的两个零点是xmx2 cxi x2)，求证: 3f(X) f(x2) 3 ln2.4南京市2017届高三年级学情调研数学参考答案及评分标准说明：1,本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则.2,对计算题，当

8、考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4,只给整数分数，填空题不给中间分数.一、填空题（本大题共 14小题，每小题5分，计70分.）1 . 0, 12. 2亚3. 804. 25. 56. 47. 58. 19. -110. 611. 3n 112. -2, 8613,屈 14. 2 72,5-722二、解答题（本大题共 6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案

9、写在答题纸的指定区域内）15.（本小题满分14分）*=因为锐角0的终边与单位圆圻小且融的横坐标是噜，所以门由任意角的三角1醐的定义可知，衿二噜sin a1 cos2,1010因为钝角3的终边与单位圆交于点B,且点B的纵坐标是R5 ,5sin 32,5从 而 cos 3,1 sin2”4分5(1) cos( a = cosacos 3+ sin asin 3_ 3M _ 岳、, Vio2 屈105105也.8分10(2) sin( a+ 9 = sin acos 3+ cos asin 3叵x ( 41)+3同X2>/51051053因为a为锐角，3为钝角，故 叶敢（一，）,223所以a+

10、 3=414分16 .（本小题满分14分）证明：（1）如图，连结AiC.在直三棱柱 ABCABiG中，侧面AACC为平行四边形.又因为N为线段AG的中点， 所以AQ与AG相交于点N,即A©经过点N,且N为线段 AC的中点. 2分因为M为线段AiB的中点，所以MN / BC. 4分又 MN 平面 BBiOC, BC 平面 BBiOC, 所以 MN / 平面 BBiCiC. 6(2)在直三棱柱 ABCAiBi。中，CG，平面ABC.又AD平面ABC,所以CGLAD. 8分因为 ADLDG, DG 平面 BBiCiC, CQ 平面 BBiOC, CG ADG = Ci,所以AD,平面BBi

11、d C. 10分又 BC 平面 BBiCiC,所以 AD± BC. 12分又由（1）知，MN/ BC，所以 MN LAD. 14分17 .（本小题满分14分）解：(1)因为扇形 AOC的半径为40 m, Z AOC= x rad,x?OA2所以 扇形 AOC的面积 S扇用aoc= = 800x, 0< x<兀.22分在aCOD中，OD=80, OC= 40, Z COD= %-x,1所以 aCOD 的面积 Sacod= - - OC - OD - sinZ CO4 1600sin( %-x)=1600sinx.24分从而 S= Sacod+S w aoc= 1600sin

12、x + 800x, 0< x< u. 6分(2)由(1)知，S(x)= 1600sinx+ 800x, 0<x< 兀S(x) = 1600cosx+ 800 = 1600(cosx+ ；).8分由 S'x)=0,解得 x= .3从而当 0vxv2_ 时，S'x)>0;当2_ vxv 兀时，S'x)v0 .33因此S(x)在区间(0, 2)上单调递增；在区间(2 , T)上单调递减. 3311分所以当x= 2 , S(x)取得最大值.3答：当/AOC为2时，改建后的绿化区域面积S最大.314分18.(本小题满分16分)解：(1)因为F1, F

13、2为椭圆C的两焦点，且P, Q为椭圆上的点，所以 PF1 + PF2=QF1+QF2=2a,从而 PQF2 的周长为 4a.由题意，得4a=8,解得a=2.分 319因为点P的坐标为(1,),所以二 一弓1, 2a2 4b2解得b2=3. 22所以椭圆C的方程为1 .435分(2)方法一：因为PF2，x轴，且P在x轴上方，故设P(c,yo),yo>0.设Q(x，y1).y。b2因为P在椭圆上，所b21 ,解得 yo =,即 P(c ,b2一)b2 uuur一),FQ =(x1+c, y1). aa因为 R(c, 0),所以 PFr =(-2c,umr由PF1uuirb2=入FQ ,得2c

14、= 2(x1 + c), = W1,aXib2yiQ(一11分b2一)a因为点Q在椭圆上，所以)2e2 +b22 2a=1,即(入+ 2)2e2+(1-e2)=匕因为入+ 1W0,所以(入+ 3)e2=卜1,从而3e2+143r =匚y314因为eC 1 ,所以22-<e2< -所以入的取值范围为73，5.16分方法二:因为PF2±X轴，且P在x轴上方,故设 P(c, yo), yo>0.b2，即 P(c ,因为P在椭圆上，2空=1 ,解得yob2b2一) a因为E(c, 0),故直线PF1的方程为b2y= (x+ c).2acy由2X2ab2丁(x c)2ac ，

15、得(4c2 + b2)x2 + 2b2cx+ c2(b2-4a2)=o.L 1b2因为直线一b2PF1与椭圆有一个交点为P(c, 一 ).设Q(X1, y1),则 X12b2c4c2 b2Xi2b2c4c2 b211分因为ULUTPF1uur=入FQ2ccX14c2 b2 bT3c2-2a2a2c3e2 1 1 e214分因为eC叵,所以2所以入的取值范围为73，5.16分19.(本小题满分16分)解:(1)设数列an的公差为d,由 a2 a3= 15,解得a1 1或d 2S4=16,得所以 an= 2n 1.则 d>0.(Q d)(a14al 6d:72 (舍去)(2)因为 b1=a1

16、, bn+1 bn=1anan 1所以 b= a= 1,1bn+1 bn =anan 12d) 1516一 (2n 1)(2n 1) 2 2n 112n 1)rr1 一 1即b2 b1= 一 (1 一),231 1 1b3 b2=(-),2 3 5bn bn 1 =1),(n>2)2n 1bnbi1(1-n,2 2n 1 2n 1n 1所以 bn= b+ = 1 +2n 13n 2bi = 1也符合上式.故bn=3n，2n 1N*.11分假设存在正整数m、则 b2+bn=2bm.又 b2= , bn =3所以F ( 化简得:14分20.解:0.3n2n2nn(m 丰 n),2n 112

17、4n 2使得bn成等差数列,I 2 4n 2) = 2(-12 4m 22m = 7n 2=7-n 1当n+1 = 3,即当n+1 = 9,即所以存在正整数n = 2 时,n = 8 时,h 3bm= 2一 1),即m = 2,(舍去)；m=3,符合题意.4m 22m 1_ 1 + '6 4nm = 3, n = 8,使得b2, bm, bn成等差数列.(本小题满分16分)(1)因为 a=b=1,所以 f(x)= x 2-x+ lnx,从而 f (x) = 2x 1+ .x因为f(1) = 0, f'(1) = 2,故曲线y = f(x)在x=1处的切线方程为2x16(2)因为

18、b=2a + 1,所以 f(x)= ax2(2a+1)x+ lnx,从而1f (x) = 2ax (2a + 1) + =xy-0=2(x-1),一 2 一一2ax (2 a 1)x 1 = (2ax 1)(x 1) x>0.当aw。时,xC(0, 1)时,f'(x)>0, xC (1, +8)时,f(x)V0,所以，f(x)在区间(0, 1)上单调递增，在区间(1, +8)上单调递减.，1 一，当0av 时，2由 f (x) > 0 得 0 V x V 1 或 x > ,由 f (x) V 0 得 1 v xv ,2a2a所以f(x)在区间(0, 1)和区间(

19、工，+oo)上单调递增，在区间(1,工)上单调递减.2a2a1当a=1时，2因为f'(x)>0 (当且仅当x=1时取等号)，所以f(x)在区间(0, +8 )上单调递增.1当a>1时，2由 f (x)> 0 得 0V xv 或 x> 1,由 f (x)v 0 得v xv 1 ,2a2a所以f(x)在区间(0, 工)和区间(1, 十丐上单调递增，在区间(工，1)上单调递减.2a2a10分、. 一一一,. .2x2 bx 1(3)方法一： 因为 a=1,所以 f(x)=x2- bx+ lnx,从而 f (x)= (x>0).1由题思知，x1，x2是方程2x2b

20、x+ 1 = 0的两个根，故 x1x2=一.2记 g(x) =2x2bx+1,因为 b>3,所以 g(1)=3b < 0, g(1) = 3b<0,2 21 一2所以 xe (0, -), x2C (1, +oo) 且 bxi = 2 xi +1 (i=1, 2).212分f(x1) f(x2)= (x2x|) (bx1 bx2) + In = (x2x|)+ ln .2x2 ), x2 (1 , +8).121因为 x1x2=一,所以 f(x1)一 f(x2)= x2 2ln(224x214分2 L t 1令 t= 2x2 e (2, +8 ) (Xt)=f(x1)f(x2

21、)=-lnt.2 2t因为（t 1）2。二（LJL>0,所以想）在区间（2, +8）单调递增,2t2所以3 一3彬)>(f)(2) = ln2,即 f(x1)-f(x2)> ln2.4416分方法二:2. 一一一,. . 2x bx 1因为 a=1,所以 f(x)=x2bx+lnx,从而 f (x)= (x>0).由题意知，x1,X2是方程2x2 bx+ 1 = 0的两个根.1记 g(x) =2x2bx+1,因为 b>3,所以 g(-) =23-b<0, g(1) = 3-b<0,所以 x1C(0, 2 ), x2C(1, +8 ),且 f(x)在x1

22、 ,X2上为减函数.12分所以 f(x1)-f(x2)>f(2)-f(1) = (41- ln ) (1 b)=223+b-ln2.因为 b > 3 , 故 f(x1)一f(x2)> 一ln216分南京市2017届高三年级学情调研数学附加参考答案及评分标准21 .【选做题】在 A、B、C、D四小题中只能选做 2题，每小题10分，共计20分.请在答卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1:几何证明选讲证明：因为点A、D、E、B在圆O上，即四边形 ADEB是圆内接四边形，所以/B=EDC 3 分因为 AB= AC,所以/ B=Z C.5分所以/

23、C=Z EDC,从而 ED= EC. 7分又因为EFL DC于点F,所以F为线段DC中点. 10分B.选修42:矩阵与变换解：(1) M=AB= 221 0=2 2 . 51 -30-11 3分(2)矩阵M的特征多项式为入一 2 一 2f(M 彳、Q =(入-2)( X- 3)-2 一 1 八一 3令 f(?)=0,解得入 1=1, K=4,所以矩阵M的特征值为1或4.10分C.选修44:坐标系与参数方程解：曲线C的极坐标方程为=2cos 0,化为直角坐标方程为 x2+ y2= 2x.即(x1)2+y2=1,表示以(1, 0)为圆心，1为半径的圆.3分直线l的极坐标方程是sin( 0+6) =

24、m,即2 cos0+ 乎 sin 0= m,化为 直 角 坐 标方 程 为2m0.因为直线l与曲线C有且只有一个公共点,“1|1 2m| sr/口13所以2= 1，解得m = 2或m = 2.13所以，所求实数m的值为2或，10分D.选修45:不等式选讲解：原不等式等价于x< 0, 1 x- 2x< 4x0< x< 1, 1 -x+ 2x< 4xx> 1 , x- 1 + 2x< 4x.x< 0,1 -x- 2x<4x,xC ；0<x< 1,1 -x+ 2x<4x,13W"1；x> 1, x- 1 + 2x

25、<4x.所以原不等式的解集为3+ °0 ).10分【必做题】第22题、第23题,每题10分，共计20分.22.（本小题满分10分）解：（1）在四棱锥P ABCD中,底面ABCD为正方形，侧棱 PDXB面ABCD,所以DA、DC DP两两垂直，故以. 、 . DA, DC, DP为正交基底，建立空间直角坐标系一xyz.因为PD= DC,所以DA= DC= DP,不妨设 则 D(0, 0, 0), A(2, 0, 0), C(0, 2, 0), 因为E是PC的中点，所以E(0, 1, 1).DA= DC= DP= 2,P(0, 0, 2), B(2, 2, 0).（第22题）所以 AP=( 2, 0, 2), ?E=(-2, 1,一 一 Ap 百E3/3所以 cos<AP , BE>=-= 2-,| AP| | BE|从而 <Ap, Be>=2-因此异面直线 AP与BE所成角的大小为兀6,(2)由(1)可知，DE= (0, 1, 1), DB=(2, 2, 0),宿B= (2, 2, 2).设 Hf=