初中数学《反比例函数的意义的教学尝试》

1、拉长概念形成的思维链条 17.1.1反比例函数的意义的教学尝试【教材分析】本节教材是新课标人教版第46 页至 47 页的内容，教材的主题内容特别精短. 我们知道，同学曾在学校六（下）学过“反比例”，在中学七（下）学过“平面 直角坐标系”，在八（上）学过“一次函数”；对“反比例”、“函数”等已经 有了肯定熟识， 在此基础上来争论反比例函数有了肯定的体会积存，为这里的学习奠定了较好的基础 . 学好它， 将对后继学习 （如二次函数等） 产生积极的影响 .本节内容是本章的重点之一，也是反比例函数的开端.教材第一在 “摸索” 栏目中提出三个反比例关系的实例，通过对详细情形的分析， 从中引出反比例函数并概

2、括出它的概念 .然后通过举例和例题丰富对反比例函数的熟识，懂得反比例函数的意义 .本节的重点、难点都是懂得反比例函数的概念.我们知道，八年级同学的思维品质（完备性、深刻性、实践性、批判性等）尚待提高，同学抽象概括才能也 有限，对函数的意义懂得、 数量变化规律的把握仍是有肯定难度，特殊是对抽象的表达式中的变量与常量的取值懂得不深.因此在反比例函数概念的形成过程 中，应留意利用同学已有的生活体会与背景学问，创设丰富的现实情境， 同时充分让同学自主学习与合作沟通相结合，通过举例、说理、争论等沟通形式， 巩固、内化、升华其学问，让同学揭示规律，形成数学才能；详细操作如下：1、留意“三看”，引导同学对反

3、比例函数概念的懂得.一看形式.等号左边是函数y，等号右边是一个分式，自变量x 在分母上，且 x 的指数是 1，分子是不为 0 的常数 k；二看自变量 x 的取值范畴 .由于 x 在分母上，故取 x0 的一切实数；三看函数 y 的取值范畴 .由于 k 0，且 x0，所以函数值 y 也不行能为 0.2、加强与正比例函数的对比.讲解、沟通时可对比正比例函数y kx（k0），比较二者解析式的相同点和不同点 . 以旧带新，相互对比，能加深对反比例函数概念的懂得3、留意形状的变化 .（k0）仍可以写成（k0）或 xy k（k 0）的形式 .【教学目标】学问与技能目标：1从现实情境和已有的学问、体会动身、争

4、论两个变量之间的相依关系， 加深对函数、函数概念的懂得.2使同学懂得并把握反比例函数的概念3能判定一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式过程与方法目标：1、经受对两个变量之间相依关系的争论，培育同学的辨别唯物主义观点；2、经受抽象反比例函数概念的过程，进展同学的抽象思维才能，提高数学化意识；3、经受在实际问题中探究数量关系的过程，养成用数学思维方式解决实际问题的习惯，体会函数的模型思想 情感态度与价值观目标：1经受抽象反比例函数概念的过程，体会数学学习的重要性，提高同学学习数学的爱好；2、通过分组争论，培育同学合作沟通意识和探究精神；【教学重点、难点】1重点： 懂得反比例

5、函数的概念，能依据已知条件写出函数解析式2难点： 懂得反比例函数的概念【教学方法】情形探究教学法 .教学过程一、丰富情境，领会新知（设计说明：问题1、2、3、4 是为引入反比例函数的概念而设置的，目的是 让同学从实际问题动身， 探究其中的数量关系和变化规律，通过对两个变量之间的反比例关系的争论和探究， 使同学感受彼此之间特殊的一一对应关系，从而加深对函数概念的懂得，然后，启动“互动迁移”栏目，让同学依据自己的懂得举 例，而后通过改编教材“摸索”栏目上的问题成三个填空题，为同学的发觉供应 了足够的感性材料，在此基础上，让同学通过观看、争论、归纳，最终得出反比 例函数的概念，体会函数的模型思想，并

6、在沟通中领会概念. ）（一）、情境引入依据下面情境，探究有关问题.问题 1： （课件展现）请同学们想一想：把一张面值 100 元的人民币换成面值 50 元的人民币， 可得几张？假如换成面值 20 元的人民币， 可得几张？假如换成 10 元、5 元的人民币呢？设所换成的面值为x 元，相应的张数为y 元:x （元）502010521x y（张） 你会用含 x 的代数式表示 y 吗？ 当换成的面值 x 变化时，相应的张数y 会怎样变化？ 变量 y 是 x 的函数吗？为什么？问题 2：（课件展现） 我们知道：矩形的面积（s）与长（ a）、宽（ b）之间2的关系式为： s=ab，当 s=24cm你能用含

7、有 b 的代数式表示利用写出的关系式完成下表a 吗？bcm24acm681012,规律：当 b 越来越大时， a当 b 越来越小时， a变量 a 是 b 的 ，理由：问题 3： （课件展现） 我们知道，电流i、电阻 r、电压 u 之间满意关系式u=ir ，当 u=220v 时你能用含有 r 的代数式表示利用写出的关系式完成下表i 吗？r（ ）2040i（a ）6080100,规律：当 r 越来越大时， i当 r 越来越小时， i变量 i 是 r 的 ，理由：课件定性展现舞台灯光明暗：当i 较小时，灯光较暗，当i 较大时，灯光较亮.问题 4：（课件展现） 京沪高速大路全长约为1262km，汽车沿

8、京沪高速大路 从上海驶往北京，汽车行完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v （km/h）之间有怎样的关系？变量t 是 v 的函数吗？为什么？在同学完成四个问题的沟通后得到四个关系式：， ， , .至此，老师不要忙于揭示、导引，让反比例函数现身，而应进入新的互动环节，使反比例函数的概 念“瓜熟蒂落” .（二）、互动迁移你能举出类似以上的实例吗？并与同伴沟通.有了前面 4 个问题的铺垫，以及学校学过的反比例关系的熟识，估量同学能顺当地举例 . 如：百米赛跑中时间与平均速度的关系；三角形的面积肯定，底与高的关系等 .诸如此类，都赐予确定，特殊要关注学困生的发言，如显现偏差， 也要善于发觉闪光点而

9、予以夸奖，并做好适当补充、引领. 然后老师在展现几个备好的填空，进一步强化反比例函数模型.1、某住宅小区要种植一个面积为1000 平方米的矩形草坪，草坪长为y 米，宽为 x 米，就 y 关于 x 的关系式为；2、已知北京市的总面积为1.68 ×104 平方千米，全市总人口为n 人，人均占有土地面积为s 平方千米，就 s 关于 n 的关系式为；、京沪线铁路全程为463km，某列车平均速度为v（kmh），全程运行 时间为 t（h），就 v 关于 t 的关系式为 .答案依次为：， ， .（教学说明： 情形引入与互动迁移两个环节的教学，可先让同学进行小组合作沟通 , 再进行全班性的问答或沟通

10、. 同学用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看成函数 , 明白所争论的函数的表达形式. 通过一波三折，反比例函数的概念已是呼之欲出 . 一折是问题 1-4 的沟通， 二折是同学的自主举例，三折是三个填空，以构建互动、和谐的课堂教学氛围为依靠，帮忙同学完成了对反比例函数概念从感性体验到理性认知的过渡. ）（三）、明晰概念师：前面我们已猎取了不少的关系式：， ， ， ， ， ， ,请同学们认真观看，摸索以下问题（按次序完成一个再出示下一个）：（1）这些关系式都表达了函数关系，那它们是我们已学过的一次函数、正比例函数吗？（2）这些函数关系式与我们以前学习的一次函数、正比例函数关系式有什么不同？

11、（3）它们有一些什么样的共同特点？（4）从问题 1-3 的表格可以发觉两个变量成什么关系吗？（5）你能归纳出反比例函数的概念吗？ 形成如下熟识：一般地，假如两个变量x、y 之间的关系可表示成（ k 为常数， k0）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数 .师：这就是我们今日学习的反比例函数概念，他是继一次函数后的又一种新函数，从今日起，函数家族又多了一个新成员，随着学习的深化，今后我们仍要争论其它函数 .（教学说明：引导同学在体验探究的过程中，感受学问的发觉、形成和构建 过程，使同学从获得的关系式中，抽象出反比例函数的一般形式，并借此提出反比例函数的概念， 通过让同学感受从特殊到一般的摸索方

12、法，进展同学的抽象思维才能，同时也为学问的内化和正迁移制造了条件，培育了同学建模的意识. ）（四）、领会概念请同学们通过下面的问题串，领会概念（1）反比例函数关系式中有几个变量？（2）变量之间存在什么关系？（3）仍有其它形式吗？如有，并指出来（4）对 x、y、k 有什么详细要求？为什么？（5）它与正比例函数有哪些区分与联系？通过问题（ 5）的回答回应以上4 个问题 . 明确如下：联系：1°它们都有两个变量；2°都含比例系数“ k”；区分：1°反比例函数中两个变量的积是一个非零定值；正比例函数中两个变量的商是一个非零定值 .2°反比例函数中自变量x 位于分

13、母，表达式呈分式；正比例函数中的自变量 x 处于整式中 .3°自变量 x 的次数不同： 反比例函数中自变量x 的次数为 -1 ，故可写成 （k 0）或 xy k（ k 0）的形式；正比例函数中自变量x 的次数为 1.4°自变量 x 的取值范畴不同： 反比例函数中自变量x 取除零外的任何实数；正比例函数中自变量x 可取任何实数 .5°函数 y 的取值范畴不同：反比例函数中y 取除零外的任何实数；正比例函数中 y 可取任何实数 .（教学说明：引导同学认真注视列出的各函数关系式以及反比例函数的定义式，使之与我们以前所学的一次函数、正比例函数的关系式进行类比， 找出异同，

14、进而发觉其本质特点 . 教学时要紧抓概念中的关键词，以确保同学对概念认知的 1系统性、完整性，并在概念揭示后强调反比例函数也可表示为ykx k 为常数，k0 的形式，并结合旧知验证其正确性. ）二、自主演练，内化新知.（设计说明：通过练习1，使同学进一步熟识从实际问题中抽象出反比例函 数，体验反比例函数在生活中的应用价值及模型作用；通过练习2，巩固反比例函数的概念；通过补充练习 3，进一步突出反比例函数的本质特点，懂得其意义 . ）1、请同学们独立完成p47，练习的 1 题.2、请同学们独立完成p47，练习的 2 题.3、以下等式中的y 是 x 的反比例函数吗？如是，指出k 的值.（1） （2

15、） （3）xy 0 （4） 1（5） （6） （7）y4x（8） 答案1、（ 1） ；（ 2） ；（ 3） .2、xy123.3、解析：依据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成（k 为常数，k0）的形式，这里（ 1）是整式，（3）中的 k=0，（4）的分母不是只单独含x，（ 6）改写后是，分子不是常数，只有（ 2）、（ 5）、（ 7）能写成定义的形式，它们的 k 依次为：， ， 4.（教学说明：利用同学对反比例函数概念的初步熟识，引导同学借助自主练习，进一步加高校生对该概念的正迁移力度，初步把握其内涵与外延. ）三、拓展应用，升华新知（设计说明：例 1 是一道用待定系数法求反比例函数解析

16、式的题，此题的目的一是要加深同学对反比例函数概念的懂得，把握求函数解析式的方法； 二是让同学进一步体会函数所包蕴的“变化与对应” 的思想， 特殊是函数与自变量之间 1的单值对应关系 . 例 2 是对反比例函数概念的逆向熟识，是另一种形式y kx的应用，以图深化懂得概念. 而例 3 是一道综合题，此题是用待定系数法确定由 两个函数组合而成的新的函数关系式， 有肯定难度，但处理得当能提高同学分析、解决问题的才能 . 紧随其后，设置了4 个练习，一是巩固例题的成果，二是进行 了适当延长， 特殊是 5 题以表格的形式显现， 既回应了课始问题的对应形式，实现了表格与函数关系式的相互转化，同时又为下一节画

17、反比例函数的图像做了孕 伏. ）例 1、已知 y 是 x 的反比例函数，当x=2 时 y=6.（1）写出 y 与 x 的函数关系式；（2）求当 x=4 时， y 的值.分析：由于 y 是 x 的反比例函数，所以先设，再把 x2 和 y6 代入上式求出常数 k，即利用了待定系数法确定函数解析式.解：（ 1）设 ，由 x=2 时 y=6 得 .就 k 12，故 .（2）把 x=4 代入 ，得 .例 2（补充）当 m 取什么值时，函数是反比例函数？分析：反比例函数（k0）的另一种表达式是（k0），后一种写法中x的次数是 1，因此 m 的取值必需满意两个条件，即m 2 0 且 3m2 1，特殊留意不要

18、遗漏k0 这一条件，也要防止显现3 m2 1 的错误.估量这是问题的多发区 .解：依据题意，得，即 ，可知 m 只能取 2.所以， m= 2 时，函数是反比例函数 .例 3（补充）已知函数y y1y2， y1 与 x 成正比例， y2 与 x 成反比例，且当 x1 时， y4；当 x2 时， y 5（1）求 y 与 x 的函数关系式（2）当 x 2 时，求函数 y 的值分析：此题函数y 是由 y1 和 y2 两个函数组成的，要用待定系数法来解答，先依据题意分别设出 y1、y2 与 x 的函数关系式， 再代入数值， 通过解方程或方程组求出比例系数的值 .这里要留意 y1 与 x 和 y2 与 x

19、 的函数关系中的比例系数不肯定相同，故不能都设为 k，要用不同的字母表示，这也是“问题区” .解：（ 1）设 y1k1x（ k10）， （k2 0），就，代入数值求得 k1 2， k2 2，就 y 与 x 的函数关系式为.（2）把 x 2 代入 得 y 5.小试身手：1、如 y+1 与 x 成反比例，当 y=1 时，x=4，就 y 与 x 的函数解析式为 .2、如函数是反比例函数，就m 的取值是3、已知 y 与 x 2 成反比例，并且当x=3 时， y=4.(1) 写出 y 和 x 之间的函数关系式(2) 当 x=1.5 时 y 的值.4、修建一条铁路，如80 人参与，就需要25 天完成；（1

20、）试写出参与人数y 和所需天数 x 之间的函数关系式；（2）如需在 20 天内修完，就从一开头就必需增加多少人参与修建？5、y 是 x 的反比例函数，下表给出了x 与 y 的一些值：x-2-113y2-1（1）写出这个反比例函数的表达式；（2）依据函数表达式完成上表.（教学说明： 三个例题可用尝试练习的方式，在同学沟通后， 老师再规范解答，突出关键点；小试身手环节，可让同学独立练习，而后再与同桌沟通，上讲台板演，老师要重点关注“学困生”. ）四、反思小结，观点提炼.（设计说明： 通过让同学 畅谈自己的收成、 困惑以及感受， 反馈自己的教学，并做好归纳总结，尽可能地解惑释疑，帮忙同学提高熟识 .

21、 ）1、学问归纳：（1）反比例函数的定义：形如（k 为常数， k0）的函数 . 也可写成（ k 0）或 xy k（ k 0）的形式 .（2）反比例函数与正比例函数的区分.解 析 式 自变量取值范围正比例函数反比例函数任意实数x 0函数取值范畴任意实数y 0自变量的次数1 次-1 次定量关系商为定值（x 0）积为定值2、思想方法归纳：待定系数法；数学建模思想，变化与对应的思想.五、分层作业，各有所获.必做题： p53-54 习题 17.1 的 1、2、4选做题： 1、p54 习题 17.1 的 5、6.2、已知函数 y y1 y2 ，y1 与 x 1 成正比例， y2 与 x 成反比例，且当x

22、1时， y0；当 x4 时， y9，求当 x 1 时 y 的值选做题 2 的答案： y4.六、练习拓展，前贯后连.（设计说明：选取 4 道中考题、 1 道同学生活题，意图之一是巩固提高，之二是把本节所学延长到下一节的学习中去，起到预习探究的作用， 明确学问学习的永无止境 . ）1（ 20xx 年日照市）已知反比例函数y=，就以下点中在这个反比例函数图象的上的是（）a （ 2，1） b.（1，-2） c.（-2，-2） d.（ 1， 2）2（ 20xx 年丹东市）某服装厂承揽一项生产夏凉小衫1600 件的任务，计划用 t 天完成（1）写出每天生产夏凉小衫w（件）与生产时间t（天）（ t4）之间的函数关系式 ;（2）由于气温提前上升，商家与服装厂商量调整方案，打算提前4 天交货，那么服装厂每天要多做多少件夏凉小衫才能完成任务？3.（20xx 年兰州市） 已知： y y1 y2，y1 与 x2 成正比例， y2 与 x 成反比例， 且 x1 时， y3；x -1 时， y1. 求 x - 时，