初中数学九年级下册《圆的对称性》教案设计

1、课题： 第三章第 2 节圆的对称性（1）课型： 新授课教学目标：1.懂得圆的对称性（轴对称）及有关性质.（重点） 2懂得垂径定理及推论，并会运用其解决有关问题难点 教法与学法指导：这节课主要通过“找圆心”等问题情境激发同学探究的爱好和热忱，经受“操作实践大胆推测 - 综合证明 - 敏捷应用”的课堂模式，在探究垂径定理过程中，让同学领悟数学的严谨性，并培育同学的数学应用意识，勇于探究的精神.课前预备： 制作课件，同学预习学案.教学过程：一、情形导入明确目标组织教学 ：预备，给每一位同学发放圆形纸片（用化学滤纸） ；并提出问题， 问题 1 通过上节课 车轮为什么是圆形 的学习， 熟悉了圆的基本概念

2、 , 这是一张圆形纸片 , 你有什么方法找出它的圆心呢？同学活动：同学凭借体会很简单想到用两次折叠的方法，找到圆心. 师：同学们上一节课,我们学习了圆的基本概念，知道， 半径定圆的大小，圆心定圆的位置.下面，请一位同学到前面演示自己找圆心的过程.同学演示： 师 ：（问题 2） 在折叠的过程中，你从中仍知道圆具有什么性质. 生 1 ：老师，圆是对称图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形. 师 ：很好，同学们观看的很仔细，这节课，我们重点争论圆的轴对称性，那么，圆的对称轴是怎样的直线，有多少条对称轴？ 生 2 ：老师，圆的对称轴是直径，它有很多条对称轴. 师 ：同学们，这位同学回答的对吗？ 生 3

3、 ：不正确，对称轴应当是直线，而直径是线段，应当说，对称轴是直径所在的直线，或者是过圆心的直线.老师活动 ：进行勉励夸奖并板书，3.2圆的对称性（ 1）圆的对称性：圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线.设计意图： 问题可以激发同学学习数学的爱好，而爱好又是最好的老师 . 通过设计一连串的问题情境简单引发同学学习和探究的爱好，在动手操作中既复习圆的意义，又探究到圆的对称性.二、自主学习合作探究：探究活动一 ： 圆的基本概念（让同学留意观看动画课件）mabdocoofe学案 问题 3 ：（1）什么是弦？什么是弧？如何区分？怎么表示？（2）弧与弦分别可以分成几类？它们如何区分？ 学情预设：

4、可能显现的情形一：同学看书后能懂得弦、弧、优弧、劣弧及半圆的意义，但是难以区分异同，如：弦是线段，弧是曲线段；直径是弦，但弦不肯定是直径；半圆是弧，但弧不肯定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧情形二：同学写出的弧可能重复或遗漏，不能把握“优弧与劣弧成对显现”的规律.情形三：优弧的表示方法.以上如同学不能争论总结得出，就需要老师引导得出结论.同学活动：同学在预习的前提下边观看图形演示边独立摸索，再在四人小组间沟通争论.老师活动：参加同学的争论，留意收集信息，以便准时补充，然后提问. 生 1 ：1 连接圆上任意两点的线段叫做弦经过圆心的弦叫直径.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧 ; 直径的两个

5、端点把圆分成两个部分，每一部分叫做半圆 . 大于半圆弧叫优弧，小于半圆的弧称为劣弧. 生 2 ：弦是线段，弧是曲线段. 弧的表示方法是在两个端点上面添加“符号. 生 3 ：弦分为过圆心的和不过圆心的弦；弧分为劣弧、半圆、优弧. 师 同学们总结的很好，下面，结合图形加深熟悉，并摸索，你仍可以得出什么性质.mabdocoofe劣弧 ab ab半圆 cd优弧 abamb老师活动 ：引导同学，能不能从它们之间的相互关系来比较说明. 生 4 ：直径是弦，但弦不肯定是直径；半圆是弧，但弧不肯定是半圆；半圆既不是劣弧， 也不是优弧 . 生 5 ：直径是圆中最大的弦.同学活动 : 整理好笔记 .设计意图： 让

6、同学带着问题探究，加强自主探究的针对性，激发摸索与沟通，从而真正把握它们的本质与异同，学会辨证统一、 分类争论地解决问题， 提高课堂效率.探究活动二 ： 垂径定理（问题 4）（1）刚才折出的两条直径是怎样的位置关系？图中能得出哪些等量关系？（2）如把 ab向上平移到任意位置，成了不是直径的弦，折叠后猜想： 仍有与刚才类似的结论吗？有哪些方法证明你的猜想正确与否？（3）摸索：上述探究过程利用了圆的什么性质？仍运用了哪些学问？如只证明am =bm ，仍有什么方法？（4）把上述发觉归纳成文字语言和几何语言.同学活动： 拿出圆形纸片, 将其对折，得到一条折痕cd,在 cd 上取一点m，作 cd的垂线

7、ab,然后再将圆沿cd对折，观看，得出结论. 生 1 ：垂直关系；相等的量有，am =bm ,ac =bc,ad =bd因 为 圆 沿 直 线cd 对折后，点a 与 b 重合 . 生 2 ： 如只证明am =bm ，仍可以用等腰三角形“三线合一”.证明：连接oa, ob 就 oa=ob又 cd ab am =bm , cd 是线段 ab 的垂直平分线点 a 和点 b 关于直线 cd 对称cambodac =bc,ad =bd教 师活动 : 引导同学总结并板书文字语言和几何语言：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的（两条）弧c如图，在 o中，即amb cd 是 直径 am =bm

8、 ，o cd ab 于 mad=bdac=bcd设计意图： 用运动变化的观点体会从特别到一般争论问题的方法，在折叠中领悟定理的证明思路，突出重点、突破难点，培育同学的规律思维才能，提高同学的概括、总结的语言表达才能.探究活动三 ： 垂径定理的推论议一议： 问题 5 同学们，假如把“垂径定理”中的条件“垂直于弦”与结论“平分于弦”互换，即：，结论是否仍成立？假如成立，请你说明理由；不成立，请举反例.学情预设：大多数同学会仿照定理画图、折叠、推理后认为是成立的，可能有个别同学会持反对看法，引起一番有意义的争论，老师可以适时地引导. 当 ab 与 cd 是 o的直径时，相互平分，但不肯定垂直！只有当

9、弦ab 不是直径时，结论才会成立. 生 1 ： 成立 .camb od oa=ob, am =bm , cd ab 三线合一 cbac =bc,ad =bdm o生2 ：不肯定成立，如图，当ab 是直a径时，dcd 平分 ab，但不垂直ab. 只有 ab 不是直径时，才成立. 师 ： 同学们争论的特别好，做数学就是要求我们思维要严谨，留意，条件与图形的统一及多样性，多画图，多分析，多总结. 那么这个推论我们应当怎么说？在同学的归纳中，板书.垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.（问题 6）假如我们连续交换条件是否能够、？同学活动：实行折叠- 重合 - 得出结

10、论成立 .师生共同归纳总结：由“直径、垂直于弦、平分弦、平分优弧、平分劣弧”，其中两个作条件推出另三个结论.设计意图： 对教材学问进行适当的变式和拓展，让同学能举一反三，发散同学的思维，让不同层次的同学得到不同的进展，并体验数学的严谨性和探究的乐趣，感受合作沟通的重要性 .（问题 7）例题分析例 1：如右图所示，一条大路的转弯处是一段圆弧 即图中弧cd ，点 o 是弧 cd 的圆心 ，其中cd =600m， e 为弧 cd 上一点，且 oecd ，垂足为 f ， ef =90 m求这段弯路的半径同学活动：观看示意图，分析题目的已知和要求的结果，寻求相互关系，然后尝试独立解答，在与小组其他同学沟

11、通，确定解题思路 .老师活动 : 与个别同学沟通解题思想方法，让其上黑板板演过程，并说明为什么这样解答. 生 ：解：连接oc，设弯路的半径是r，就 of = r-90m oe cd cf =cd /2=300m（垂径定理） 由勾股定理得oc2=cf 2+of2即 r2=3002+ r-90 2解得 r=545所以，弯路的半径是545m.设计意图 : 让同学在实践中懂得垂径定理应用，在四个量半径 r、弦 cd 的长、弦心距 of 长、弓形高 ef 的长中， 任已知两个量可以求出另两个量 . 一题多变， 多题归一，探寻规律，构造直角三角形后通过勾股定理求解，从题海中解脱出来，并培育同学的数学应用意

12、识，体会数学与生活的联系.三、归纳总结，拓展提高 师 ：同学们，我们本节课学习了垂径定理及推论，懂得了与圆有关的应用，你有收成，或者是疑虑问题，沟通一下.同学活动：有独立摸索，落笔组织语言的，也有相互争论，沟通总结的观点的，气氛相当热烈，各抒己见 . 生：老师，如图，oc ab，可不行以使用垂径定理. 师 ：可以，这条线（或线段）过圆心，就可以作为直径使用， 同时，过圆心作弦的垂线是今后解答圆的问题的常用帮助线，在以后的学习中，留意体会和总结.camb o设计意图 :用问题形式引导同学回忆总结学习过程，使学问系统化，学会提炼其 中包蕴的数学思想方法， 且能够敏捷应用； 学会自我反思， 养成良好

13、的数学学习习惯.课堂检测 :1.已知 o 的半径为5，弦 ab 的长为 6 ，就这条弦的中点到弦所对劣弧中点的距离为 .考察学问点：懂得垂径定理的意义，会构造符合定理的基本图形，来解决问题.答案提示：解：过 o 点作 ab 的垂线，垂足是d，且与弧 ab 交于点 c, 连接 oa,oc abd 是 ab 的中点， c 是弧 ab 的中点，22 od=5 - 3 =4dc =5-4=1所以，这条弦的中点到弦所对劣弧中点的距离为1cadb o2.两个同心圆中，大圆的弦ab 交小圆于c、d，如 ab=4 ， cd=2 ，圆心到ab 的距离为l ，就大圆的与小圆的半径之比为 .考察学问点：懂得垂径定理

14、的使用，加深熟悉帮助线“弦心距和半径”常常是成对构造的，以便构造直角三角形，解决问题.答案提示：解： oaoc2212512122acedbo就大圆的与小圆的半径之比为510223. 储油罐的截面如下列图，装入一些油后，如油面宽ab=600mm ，求油的最大深度考察学问点： 主要是检测垂径定理在生活中的应用，解决此类问题的关键是画出示意图 ， 转化为数学问题解答 .答案提示： 由垂径定理知， oc32523002125mmc油最大深度 =325-125=200 （ mm）adb4已知：如图，o 中，ab 为 弦， c 为 ab 的中点， oc 交 ab 于d， ab = 6cm，cd = 1c

15、m.求 o 的半径 oa.o考察学问点： 数学方法的综合应用， 主要是方程学问与图形解答的结合 .c答案提示：ab解：设 o的半径为 rd在直角三角形 aod中，o222adodoa所以， 32r1 2r 2 r =5cm oa=5cm学情预设： 部分同学可以当堂完成，老师，当堂批改，准时知道同学的解答情形；部分同学需要老师的引导，才能完成解答.老师活动： 通过检查， 关键看同学的图形构造，是否能够利用半径和弦心距构造出直角三角形，运用勾股定懂得决问题.设计意图： 通过例题的分析学习，让同学体会数学学习要善于构造图形，解决问题; 进一步懂得， 为了应用条件和已有的性质定理，需要添加帮助线来完善图形，从而培育同学良好的学习习惯.板书设计：3.2 圆的对称性（ 1）一、圆的对称性二、垂径定理三、垂径定理的推论及应用圆是轴对称图形，垂直于弦的直径平分这条弦例题解答对称轴是任意一条过并且平分弦所对的（两条）弧圆心的直线，教学反思：圆的对称性是一节操作性较强的课，所以，我在教学中第一创设“找圆心”情境，让同学感到新奇、好玩同时又留意了垂径定理及推论的发生、进展和应用过程的教学；再以连贯的