初中数学竞赛精品标准教程及练习39：线段、角的相等关系

1、中考数学复习资料，细心整编吐血举荐, 如如有用请打赏支持，感谢不尽！初 中数学竞赛精品标准教程及练习（39） 线段、角的相等关系一、内容提要证明线段、角的相等，在直线形中，最常用的方法是找全等三角形或等腰三角形，如没有现成的，就要引帮助线，构造全等三角形或等腰三角形；构造全等三角形， 要充分利用已知条件中的对应相等关系，添引帮助线要有利于增加对应相等的元素，要留意总结帮助线的规律，观看两个三角形全等时的一般位置特点（如翻转、旋转、平移等）一. 证明两条线段相等常用的定理1. 在同一个三角形中，证明等角对等边；2. 在两个三角形中，证明全等；3. 在平行线图形中应用平行四边形的性质用平行线等分线

2、段定理4. 运用比例式证明相等：如xyaa就 x=y； 如 xyy 就 x=yx5. 应用等量代换、等式性质二. 证明两个角相等常用的定理1. 在同一个三角形中，证明等边对等角；2. 在两个三角形中，证明全等或相像；3. 在平行线图形中用平行四边形的对角相等行线的同位角相等，内错角相等边分别相互平行（或垂直）的两个锐角（或两个钝角）相等角（或等角）的余角（或补角）相等用等量代换、等式性质二、例题例 1. 证明等腰梯形的判定定理“同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形” 已知：梯形 abcd中， ab cd， a b求证： adbc下面供应三种基本证法：1. 把 bc、ad集中到同一个三角形，证它等

3、腰三角形；帮助线是：过点d 作 debc，我们称它为“平移”bcde是平行四边形，可证dae为等腰三角形2. 以 bc、ad为对应边，构造两个全等三角形，为增加对应相等的元素，帮助线为：作两条高cm和 dn，依据夹在平行线间的平行线段相等，可用角角边证全等；3. 由 a b，可造等腰三角形，运用比例式性质证明，帮助线是：分别延长ad和 bc交于 p； pdcdcdcaebanmbab例 2. 已知：在梯形abcd中， ab cd，ac和 bd相交于 o,ad、bc的延长线相交于p求证： po平分 ab证明：设 po延长线交 ab于 e，交 cd于 fab cdpdfc o dfpf cf cf

4、 co df ae×得pebe dfcfaeaocfdfbeaebae 2be 2ae2 be2ae0，be0ae be，即 po平分 ab例 3. 已知： abc中， ac3ab， af是 a 的平分线， 过点 c 作 cd af，d 是垂足求证： ad被 bc平分a证明：以 ad为轴作 adc的对称三角形adeb那么 de dc，aeac 3ab， be2abgf取 be的中点 g，连结 dgec就 dgbc， abbgdaffd，即 ad被 bc平分例 4. 已知：在 abc中，分别以ab、ac为斜边作等腰直角三角形abm，和 can，p 是边 bc的中点求证： pm pn证明

5、：取 ab中点 q，ac中点 ra连结 pq，pr，mq， nrqrmbpc npqac，pq1 ac nr2prab，pr mqpqm prn（两边分别垂直） pqm nrp，pmpn例 5. 已知：四边形abcd中 adbc，e，f 分别是 ab、cd的中点，延长 ad， bc和 ef 的延长线分别交于g，h求证： age bheh证明：连结 ac，取 ac的中点 p，连结 pe，pfgpe是 abc的中位线，pebc，pe1 bc，c2f同理 pfad， pf1 add2 p pef bhe， pfe agekeaadbc， pepf， pef pfebage bhe例 6. 已知： a

6、bc中， art，点 o是正方形 bcde对角线的交点求证： ao是 a 的平分线证明：过点 o作 of oa交 ac的延长线于 fa abc， fco都是 aco的补角 abc fcocb aob， foc都是 aoc的余角faob focod又 oboce abo fcoao fo，f oaf45ao是 a 的平分线（ fco是 abc绕点旋转 90 后的位置）又证： bac boc180acba，b，o，c 四点共圆，过 aboc四点作帮助圆，在这个圆中 弦 ob 弦 oc 弧 ob 弧 oc圆周角 bao oac即ao是 a 的平分线三、练习 391. 在等边 abc的边 ab， bc

7、，ca上分别截取adbecf，连结 ae，bf， cd它们两两相交于p，q， r，就 pqr也是等边三角形2. 已知：如图abac， adae求证： af平分 bac3. 如图 p，q，r是等边三角形abc三边的中点， m是 bc上的任意点， 以 pm为一边作等边三角形pmn，就 rn qm4. 如图 abd， bce都是等边三角形，adef是平行四边形，就caf也是等边三角形aaedendflprfzatbcbqmcbc5. 四边形 abcd中， acbd， e， f 分别是 ad，bc的中点，求证： ef 和 ac，bd相交所成的两个锐角相等6. 锐角三角形abc中，以 ab，ac为边作两

8、个正方形abde，acfg，高 ah的延长线交eg于 m，求证： memg， am 1 bc27. abc的 c rt， a30，以 ab，ac为边向形外作等边三角形abd，ace，求证de被 ab平分8. 等腰直角三角形abc中， art， be是中线， ad be交 bc于 d，交 be于 f，求证： aeb dec9. 等腰直角三角形abc中， art， ad bc，且 bd bc，设 bd和 ac相交于 e，求证 cd ce10. abc中， ad是高，如 abdcacbd，就 abac11. d， e 分别在等边三角形abc的边 ba，bc的延长线上， ad be求证 dc de12

9、. 正方形 abcd中， e， f 分别在 bc，cd上且 eaf45 ， ah是 aef 的高，求证ah ab13. 梯形 abcd中， abcd， mnab交 ad于 m，交 bc于 n交 ac于 e，交 bd于 f 就 me nf14. 正方形 abcd中， e， f 是 ab延长线上的两个点，bebc，bf bd，df交 bc于 g，交 ce于 h 求证： ch cb，hghf练习 39 参考答案：1.先 abe bcf cad， 2. 三次全等， 3. 证 pqm prn4. abc dbe， bac daf bde def60 1801.取 cd的中点 m，连结 me， mf6.eam abh5. 作 abd的高 df，证 bdf bac6. 作斜边上高，找全等三角