D683高斯公式课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 D683高斯公式PPT课件一、高斯公式一、高斯公式 二、通量与散度二、通量与散度 三、散度的运算法则三、散度的运算法则高斯公式 通量与散度 第六章 目录 上页 下页 返回 结束 D683高斯公式PPT课件定理定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 上有连续的一阶偏导数 ,zyxzRyQxPdddyxRxzQzyPdddddd zyxzRdddyxRdd 下面先证:函数 P, Q, R 在面 所围成, 则有 高斯 的方向取外侧, 目录 上页 下页 返回 结束 D683高斯公式PPT课件231zyxyxDO) ,(yxRyxyxRdd) ,(, ),(:11yxzz

2、 yxDyxyxzyxzyxz),(, ),(),(),(:21,321zzRyxzyxzd),(),(21yxD),(2yxz),(1yxzyxRdd yxD2 zyxzRdddyxdd1 3yxRdd称为XY -型区域 , ),(:22yxzz 则yxyxRdd) ,(yxDyxD),(2yxzyxyxRdd) ,(),(1yxz定理1 目录 上页 下页 返回 结束 D683高斯公式PPT课件所以zyxzRdddyxRdd 若 不是 XY型区域 , 则可引进辅助面将其分割成若干个 XY型区域,故上式仍成立 .正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证 zyxyQdddyxRxzQzyPd d

3、ddddzyxzRyQxPdddxzQdd zyxxPdddzyPdd 三式相加, 即得所证 Gauss 公式：定理1 目录 上页 下页 返回 结束 D683高斯公式PPT课件x3z1yzyxzyyxyxdd)(dd)(其中 为柱面122 yx闭域 的整个边界曲面的外侧. 解解: 这里利用Gauss 公式, 得原式 =zyxzyddd)(29,)(xzyP, 0QyxR及平面 z = 0 , z = 3 所围空间思考思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算? zyxddd)230(利用质心公式, 注意23, 0zyO目录 上页 下页 返回 结束 D683高

4、斯公式PPT课件hzyxOSzyxId)coscoscos(222其中 为锥面222zyx解解: 作辅助面,:1hz ,:),(222hyxDyxyx取上侧1(I1Szyxd)coscoscos)(2220,21上在介于z = 0及 z = h 之间部分的下侧, , , 为法向量的方向角.1,记所围区域为 ,则 zyxzyxddd)(2yxhyxDdd2h1目录 上页 下页 返回 结束 D683高斯公式PPT课件yxz2yxz2OzyxzyxIddd)(2利用质心公式利用质心公式, 注意注意0 yxzyxzddd24hyxhyxDdd2421hhz022zzd4h提示提示: 作取上侧的辅助面作

5、取上侧的辅助面,dddd)(2yxzzyxz)(:2221yxz介于平面介于平面 z= 0 及及 z = 2之间部分的下侧之间部分的下侧. , 2:1z4:),(22yxDyxyx2hzyxOh1先二后一先二后一目录 上页 下页 返回 结束 D683高斯公式PPT课件Ozxy.dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxI设 为曲面21,222zyxz取上侧, 求 解解: 作取下侧的辅助面1:1z1:),(22yxDyxyxI11zyxdddyxxdd)(2xyD) 1(20d10drr221drz202dcos103drr4用柱坐标用柱坐标用极坐标用极坐标2111yxD目录 上页 下

6、页 返回 结束 D683高斯公式PPT课件引例引例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为kzyxRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),(理意义可知, 设 为场中任一有向曲面, yxRxzQzyPdddddd单位时间通过曲面 的流量为 则由对坐标的曲面积分的物 由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为SRQPdcoscoscosSnvd目录 上页 下页 返回 结束 D683高斯公式PPT课件若 为方向向外的闭曲面, yxRxzQzyPdddddd当 0 时, 说明流入 的流体质量少于 当 0 时, 说明流入 的流体质量多于流出的, 则单位时间通过 的流量为 当 = 0 时

7、, 说明流入与流出 的流体质量相等 . 流出的, 表明 内有泉; 表明 内有洞 ;根据高斯公式, 流量也可表为zyxzRyQxPdddnn目录 上页 下页 返回 结束 D683高斯公式PPT课件zyxzRyQxPddd方向向外的任一闭曲面 , 记 所围域为 , 设 是包含点 M 且为了揭示场内任意点M 处的特性, M在式两边同除以 的体积 V, 并令 以任意方式缩小至点 M 则有),(M记作VMlimzyxzRyQxPVMddd1lim),(limzRyQxPMMzRyQxP此式反应了流速场在点M 的特点: 其值为正,负或 0, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化. ),(目录

8、 上页 下页 返回 结束 D683高斯公式PPT课件设有向量场设有向量场kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),(其中其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数具有连续一阶偏导数, 是是场内的一片有向场内的一片有向 则称则称 曲面曲面, 其单位法向量其单位法向量 n, SnAd为向量场为向量场 A 通过通过有向曲面有向曲面 的的通量通量(流量流量) .在场中点在场中点 M(x, y, z) 处处 称为向量场称为向量场 A 在点在点 M 的的散度散度. 记作记作AdivzRyQxPAdiv显然显然A目录 上页 下页 返回 结束 D683高斯公式PPT课件0divA表明该点处有正源

9、, 0divA表明该点处有负源, 0divA表明该点处无源, 散度绝对值的大小反映了源的强度.0divA若向量场 A 处处有 , 则称 A 为无源场. 例如例如, 匀速场 ),(),(为常数其中zyxzyxvvvvvvv 0div v故它是无源场.说明说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且散度意义 ddivAdSvASv高斯公式 目录 上页 下页 返回 结束 D683高斯公式PPT课件12div ,AMM求并求它在给定点和的值 设33312(1),(0,0,0),(1,0, 1).AxyzMM12(2) , , ,(0,0,0),(2,1, 2).Axyz x y zMM解：解：

10、divXYZAxyz222(1)div333Axyz1222(0,0,0)(div )(333)0MAxyz2222(1,0, 1)(div )(333)6MAxyz(2)div222Axyzxyzxyz6xyz1(0,0,0)(div )(6)0MAxyz2(2,1, 2)(div )(6)24MAxyz 目录 上页 下页 返回 结束 D683高斯公式PPT课件(1)div( A)CdivAC(2)div(AB)divAdivB(3)div( A)divAgradAuuu例例5,.qD在点电荷 产生的静电场中 求电位移向量 的散度解解34qDrr3311divgraddiv4qDrrrr43

11、33grad4qrrrr02220rxyz目录 上页 下页 返回 结束 D683高斯公式PPT课件,( ),:.SD在点电荷所产生的静电场中 设为场域中任一闭合曲面证明穿过曲面的通量0,( )d,( )SSqDSqSq 不包围包围解34qDrr3divdiv4qDrr3311graddiv4qrrrr4331graddiv4qr rrrr 00r( ):dSqSDS 如 在外div d0vD v( ):dSqSDS 如 在内3d4SqrSr03d4Sqr nSR 2344qRRqR目录 上页 下页 返回 结束 D683高斯公式PPT课件1. 高斯公式及其应用公式:yxRxzQzyPdddddd

12、zyxzRyQxPddd应用:(1) 计算曲面积分 (非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2) 推出闭曲面积分为零的充要条件: 0ddddddyxRxzQzyP0zRyQxP目录 上页 下页 返回 结束 D683高斯公式PPT课件2. 通量与散度 设向量场P, Q, R, 在域G 内有一阶 连续 偏导数, 则 向量场通过有向曲面 的通量为 G 内任意点处的散度为 ),(RQPASnAdzRyQxPAAdiv( n 为 的单位法向量） 目录 上页 下页 返回 结束 D683高斯公式PPT课件,:2222取外侧设Rzyx所围立体,222zyxr判断下列演算是否正确?(1)yxrzxzryzyrxdd

13、dddd333333vRd324 R(2)yxrzxzryzyrxddddd333333dvrzzryyrxxd33333331Ryxzxzyzyxddddd333d31Rvzyxd)(3222 为2R目录 上页 下页 返回 结束 D683高斯公式PPT课件rncosrn所围立体 的体 是 外法线向量与点 ( x , y , z ) 的向径,222zyxr试证.dcos31VSr证证: 设 的单位外法向量为 则coscoscosrzryrxSrdcos31Szyxdcoscoscos31vd331V的夹角,积为V, )cosr,cos,(cosn, ),(zyxr 目录 上页 下页 返回 结束 D683高斯公式