D72数量积向量积课件

1、 第七章第七章第二节第二节 数量积数量积 一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 行列式：一、二阶行列式11222211122122,babaxaaaa1112121222,a xa yba xa yb解方程组112221 12122221(),a aa axbab a记1112112221 122122,aaa aa aaa112122221222,babab aba则类似地11121211122122.ababyaaaaabcdadbc消 得y 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 二、三阶行列式130

2、6568072123123133aaaaa3( -1)1 ( 35) 2223113233aaaaa2( -1)111213212223313233aaaaaaaaa按第一行展开如2122133132aaaaa4(-1)3 (4248) 019. 222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa= 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 1M一、两向量的数量积一、两向量的数量积沿与力的夹角为的直线移动,W1 定义定义设向量的夹角为 ,称 记作数量积 (点积) .引例引例F位移为 s , 则力F 所做的功为cossFsFW2Mbacosba的与为b

3、aba,s设一物体在常力 F 作用下, 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 记作故2 性质性质baj rPcosbbaPrjaab baaa) 1 (2a(2)0baba ba0ba则2),(ba0,0ba,0 时当a上的投影为在 ab,0,时当同理bbacosbaPrjaa bba Prjba bab 1ii jjkk 0jikjik 注：注：Prjbba 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 3 运算律运算律(1) 交换律(3) 结合律),(为实数abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(2) 分配律cbcacba证明： 当0c时, 显然成立 ;时当

4、0ccbabacj rPc cbaccj rPj rPacj rP cbcj rPccacb 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例1 利用向量证明三角形余弦定理cos2222abbac证明证明:则cos2222abbac,aBC,bACcBAABCabcbac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,设cc如图, 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 4 数量积的坐标表示数量积的坐标表示设则, 10zzyyxxbababa当为非零向量时,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bacosba,kajaiaazyx

5、,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjik baba baba,两向量的夹角公式 , 得 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 )(MB, )(MA BM例例2 已知三点, )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB . A解解:, 1, 1 0, 1,0 1则AMBcos10022213AMB求MBMAMA MB故 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 为 ) .求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度例例3 设均匀流速为的流体流过一个面积为 A 的平面域 ,与该平面域的单位垂直

6、向量,解解:单位时间内流过的流体体积:APAA的夹角为且vvncosvcosvnv nn为单位向量Av 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 二、两向量的向量积二、两向量的向量积引例引例有一个与杠杆夹角为OQOLPQ符合右手规则OQFFsinOPsinOPMFOPOPM M矩是一个向量 M :的力 F 作用在杠杆的 P点上 ,则力 F 作用在杠杆上的力FoPFMFM 设O 为杠杆L 的支点, 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 1 定义定义定义向量方向 :(叉积)记作且符合右手规则大小 :向量积 ,，的夹角为设ba,c,acbccsinabbac称c的与为向量babacba引

7、例中的力矩FOPM几何意义几何意义: 右图平行四边形面积a bSab 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 2 性质性质，0sin0或即,jik a a 00ba/ab,0,0时当baba0basinab0证明证明:sinabbaijk结论显然成立（3）,ijk ,kij ,jki,kji ,ikj 0,i ijjkk （2）（1）若或0a0,b 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 4 向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式xyzxyzijkaaabbb设则(,),xyzaaaa(,).xyzbb bba b()yzzya ba b i()zxxza ba bjkbabaxyy

8、x)(按第一行展开3 运算律运算律(2) 分配律(3) 结合律b acba )(cbcaba )()( ba)(baba) 1 (bacsinabba 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例4 已知三点, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC 的面积 . 解解: 如图所示,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 内容小结内容小结设1. 向量运算加减:数乘:点积:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxba

9、bababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉积:kjixayazaxbybzbba 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 2 向量关系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0ba0ba 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 思考与练习思考与练习1 设计算并求夹角 的正弦与余弦 .)3, 1, 1 (,321cos1211sin答案答案:2. 用向量方法证明正弦定理:CcBbAasinsinsinba,1baba,2jibkjia,baba及BabcAC 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 证明证明:1sin2b cA 1sin2c aB BbAasinsin所以Ccsin1sin2a bC ABACSABC21BCBA21CACB21BabcAC由三角形面积公式 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 22343cos322)2(17备用题备用题1 已知向量的夹角且解：解：,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 22200)2(21