D1122格林公式课件

1、D1122格林公式第二节一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件等价条件机动 目录 上页 下页 返回 结束 格林公式及其应用 第十一章 D1122格林公式LD区域 D 分类单连通区域 ( 无“洞”区域 )多连通区域 ( 有“洞”区域 )域 D 边界L 的正向正向: 域的内部靠左域的内部靠左定理定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有, ),(yxP),(yxQLDyQxPyxyPxQdddd( 格林公式格林公式 )函数在 D 上具有连续一阶偏导数,LDyxyQxPyxQPdddd或一、一、 格林公式格林公式机动 目录 上

2、页 下页 返回 结束 D1122格林公式证明证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且dycyxyD)()(:21则yxxQDdddcyyyQd),(2)()(21dyyxxQdcyyyQd),(1dcyd定理1 目录 上页 下页 返回 结束 LyyxQd),(CBEyyxQd),(EACyyxQd),(dcyxoECBAbaD)(2y)(1y先证yxxQDddLyyxQd),(D1122格林公式即yxxQDdd同理可证yxyPDddLxyxPd),(、两式相加得:LDyQxPyxyPxQdddd定理1 目录 上页 下页 返回 结束 CBEyyxQd),(CAE

3、yyxQd),(dcyyyQd),(2dcyyyQd),(1dcyxoECBAbaD)(2y)(1yLyyxQd),(D1122格林公式yxoL2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割1DnD2DnkDyxyPxQk1ddyxyPxQDddnkDkyQxP1ddLyQxPdd为有限个上述形式的区域 , 如图)(的正向边界表示kkDD定理1 目录 上页 下页 返回 结束 D1122格林公式yxoL3) 若D是多连通区域, 则可通过加辅助线将其转换yxyPxQDddnkDyQxP1dd21ddLLLyQxP为单连通区域 , 如图).,(包含辅助线的来回的正向全部边界表示DD证毕定理1

4、目录 上页 下页 返回 结束 L1L2的方向取顺时针）。和其中21(LLD1122格林公式推论推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积LxyyxAdd21格林公式格林公式LDyQxPyxyPxQdddd例如例如, 椭圆20,sincos:byaxL所围面积LxyyxAdd212022d)sincos(21ababab定理1 目录 上页 下页 返回 结束 即可）（令xQyP,D1122格林公式例例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明0dd22yxxyxL证证: 令,22xQyxP则yPxQ利用格林公式 , 得yxxyxLdd22022xxDyxdd00机动 目录 上页 下页 返回 结

5、束 D1122格林公式例例2. 计算,dd2Dyyxe其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解解: 取, 则2, 0yexQPyPxQ利用格林公式 , 有Dyyxedd2Dyyexd2yexOAyd2yeyyd102)1(211exy oyx) 1 , 1 (A) 1 , 0(BD2ye机动 目录 上页 下页 返回 结束 D1122格林公式例例3. 计算,dd22Lyxxyyx其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解解: 令,022时则当 yx22222)(yxxyxQ设 L 所围区域为D,)0 , 0(时当D由格林公式知0dd22L

6、yxxyyx,22yxyP22yxxQyP机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxoLongoD1122格林公式dsincos2022222aaa2,)0 , 0(时当D在D 内作圆周,:222ayxl取逆时针方向,1D, 对区域1D应用格Lyxxyyx22ddlyxxyyx22ddlLyxxyyx22dd0dd01yxDlLyxxyyxyxxyyx2222ddddL1Dloyx记 L 和 l 所围的区域为林公式 , 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 D1122格林公式例例4. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解LxyyxAdd21ONAxyyxdd210d) 12(21axaxax

7、axxa0d4轴所围成的与计算抛物线xaaxyx)0()(2面积。, 0yONA为直线xaxyAMO由函数曲线., 0来表示ax)0 ,(aANMoxxaxd)(AMOxyyxdd21AMO210.612aD1122格林公式例例5. 计算LyyyxxyxId)sin(d)(222其中L是解解: 补入线段机动 目录 上页 下页 返回 结束 .) 1, 1 () 1, 1(2的一段到点从点 xy),11:( 1xy与L围成封闭区域. 11, 1:2xyxD则根据格林公式,得DyxyxIdd)24(Dyxydd28383dd21112xyyx.1516xy0) 1, 1() 1, 1 (D112d)

8、 1(xxD1122格林公式LsyxQyxPdcos),(cos),(LyyxQxyxPd),(d),(例例6. ,的面积记为围成区域设DDL解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 的单位是Ln.取正方向其中L,sin,cos:n外法矢LsyxId)sincos(求DLncos,sin, nL垂直于外法矢的切向量sin,cosLsyxId)sincos(sdd,dyxLxyyxddD.2d2,d),(d),(sxysnyx即0sin,cosn,d),(Lsnyx, d) ,(d) , (6sabsnba的结果依据例dsin,dcosssD1122格林公式动手题动手题1. 计算,ddLyxyx

9、I其中L是取逆时针方向解一（不用格林公式）解一（不用格林公式） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 . 1 yx的正方形回路1:1 yxL1:2 xyL1:3 yxL1:4 xyLyox111141ddiLiyxyxI10d2 x10d2 x; 0解二（使用格林公式）解二（使用格林公式） LyxIddDyxGreendd0. 0【课本练习题】D1122格林公式yAxoL动手题动手题2. 计算,d)(d)3(22yxyxyxL其中L 为24xxy从 O (0, 0) 到 A (4, 0).提示提示: 为了使用格林公式, 添加辅助线段,AOD它与L 原式yxyxyxAOLd)(d)3(22Dyxd

10、d4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx上半圆周所围区域为D , 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 3648 D1122格林公式CCCDyxoaaC 补充题补充题 1. 设 C 为沿yxaxyxaxxayCd)ln(2d22222222ayx从点), 0(a依逆时针), 0(a的半圆, 计算解解: 添加辅助线如图 ,利用格林公式 .原式 =321aaayayd)ln2(D222xaya222xayyxddC到点机动 目录 上页 下页 返回 结束 D1122格林公式D2. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到Dyxdd2点B(3, 4),到原点的距离,解解:

11、由图知 故所求功为AByxxyddABBAABxxxd) 1(3122锐角,其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为AB)dd(yxxy) 1(21324xyAB的方程F求变力 F 对质点M 所作的功. ( 90考研 ) , ),(xyFF 的大小等于点 M 在此过程中受力 F 作用,sFWd),(yxMBAyxo机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 xyD1122格林公式提高题提高题证明证明 机动 目录 上页 下页 返回 结束 nu由于,的面积记为围成区域设DDL的是Ln,sin,cos:n单位外法矢.ddd)(22DLDyxuusnuuuu证明上及在函数LDyxu),(有连续的二阶偏导数

12、，公式）Green(sincosyuxusin,cos,yuxunu gradD1122格林公式提高题提高题证明证明 机动 目录 上页 下页 返回 结束 移项即得LsnuudsnyuxuuLd,Qyxyv2sxuuyuuLd,) 1 , 1 () 0 , 0(22ddyyxxxy原式Lyxuuxyuud)(d)()21d()1,1()0,0(2xy),()0,1(2)(1)d(yxxyxyDyxyxuuuudd 22xyxyxvd),(2yxyuuyudd)(222D1122格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理2. 设D 是单连通域 ,)

13、,(),(yxQyxP在D 内具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有.0ddLyQxP(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d(4) 在 D 内每一点都有.xQyPLyQxPdd与路径无关, 只与起止点有关. 函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 势函数D1122格林公式说明说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 证明证明 (1) (2)设21, LL21ddddLLyQxPyQxP1ddLyQxP2ddLyQxP21ddLLyQxP0AB1L2

14、L2ddLyQxP1ddLyQxP为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲线, 则(根据条件(1)BAyQxPddAByQxPdd定理2 目录 上页 下页 返回 结束 LyQxP0dd路径无关LyQxPdd),()(0,0ddyxyxyQxPD1122格林公式证明证明 (2) (3)在D内取定点),(00yxA因曲线积分),(),(00dd),(yxyxyQxPyxu),(),(yxuyxxuux则),(yxPxuxuxx0lim),(lim0yxxPx),(),(ddyxxyxyQxP),(),(dyxxyxxPxyxxP),(同理可证yu),(yxQ因此有yQxPuddd和任一点B(

15、x, y ),与路径无关,),(yxxC),(yxB),(00yxA有函数 定理2 目录 上页 下页 返回 结束 yQxPuddd路径无关LyQxPddD1122格林公式证明证明 (3) (4)设存在函数 u ( x , y ) 使得yQxPuddd则),(),(yxQyuyxPxuP, Q 在 D 内具有连续的偏导数,xyuyxu22所以从而在D内每一点都有xQyPxyuxQyxuyP22,定理2 目录 上页 下页 返回 结束 yQxPudddxQyPD1122格林公式证明证明 (4) (1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,DD (如图) ,上因此在DxQyP利用格林公式格林公式 , 得yxx

16、QxQyQxPLDdd)(ddDDL0所围区域为证毕定理2 目录 上页 下页 返回 结束 0ddyQxPxQyPD1122格林公式yx说明说明: 根据定理2 , 若在某区域D内,xQyP则2) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:Dyx),(00及动点,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或yyyyxQyxu0d),(),(00y0 x则原函数为yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(取定点1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;定理2 目录 上页 下页 返回 结束 3) 不定积分法

17、和凑微分法亦可求d u = P dx + Q dy在 区域D 内的原函数，有时会很简单哟。D1122格林公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解,2)(2xyxyyyP),()(xyxyxxQ,),(2xyyxP显然),(),(xyyxQ. 21例例6. 与路径无关，设曲线积分Lyxyxxyd)(d2, 0)0(具有连续导数，且.d)(d)1 , 1()0, 0(2yxyxxy计算xyxy2)(由Cxx2)(，时又00)0(C;)(2xx 即.ddd)(22DLDyxuusnuuuu证明其中)1, 1()0, 0(2221yxPyxxv2则D1122格林公式例例7. 验证yyxxyxdd2

18、2是某个函数的全微分, 并求出这个函数. 解一解一: 设,22yxQyxP则xQyxyP2由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使yyxxyxuddd22),()0 , 0(22dd),(yxyyxxyxyxu。)0 , 0(。),(yx)0 ,(xxxx0d0yyxyd02yyxyd022221yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 D1122格林公式例例7. 验证yyxxyxdd22是某个函数的全微分, 并求出这个函数. 解二解二: 设对式对x 积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,ddyQxPdcos, dsinssDxuuxu222)()(2122yCyxyyxxyxvd

19、dd22)(2yCyxyv对上式对y 求导，再与式对等yx20)( yC0)(yC2221),(yxyxvNoImage不定积分法不定积分法D1122格林公式例例8. 验证22ddyxxyyx在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函数 , 并求出它. 证证: 令2222,yxxQyxyP则)0()(22222xxQyxxyyP由定理定理 2 可知存在原函数),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuxx1d0)0(arctanxxyoxyyyxyx022d)0 ,(x)0 , 1(),(yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 D1122格林公式oxy)0 ,(x)0 , 1(),(

20、yx),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuyyy021dyxyyarctan1arctanarctanyxarctan2xyxxy122d或), 1 (y)0(arctanxxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),()0, 1(arctanyxxy全微分法：),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxu.arctanxy) , () 0 , 1 (arctandyxxyDyxyxyuuxuudd )()(D1122格林公式例例9. 设质点在力场作用下沿曲线 L :xycos2由)2, 0(A移动到, )0,2(B求力场所作的功W解解: :)dd(2Lyxxy

21、rk令,22rxkQrykP则有)0()(22422yxryxkyPxQ可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关;. )(22yxr其中),(2xyrkFsFWLd机动 目录 上页 下页 返回 结束 LBAyoxD1122格林公式:AB)dd(2yxxyrkWABd)cos(sin2022k)02:(sin2,cos2yxk2思考思考: 积分路径是否可以取?OBAO取圆弧机动 目录 上页 下页 返回 结束 LBAyox注：注：)dd(2LyxxyrkLyxyxxyk22dd)0,2()2, 0(22ddyxyxxyk)0,2()2, 0(arctanxykxykyxarctanlim20k2D1122格林公式内容小结内容小结1. 格林公式LyQxPdd2. 等价条件在 D 内与路径无关.yPxQ在 D 内有yQ