D23函数的微分课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 D23函数的微分二、微分运算法则二、微分运算法则三、高阶微分三、高阶微分第三节一、微分的概念一、微分的概念 函数的微分 第二章 四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用目录 上页 下页 返回 结束 D23函数的微分一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则,2xA0 xx面积的增量为2020)(xxxA20)(2xxxxx 020 xA xx 02)( x关于x 的线性主部高阶无穷小0 x时为故xxA02称为函数在 的微分0 x当 x 在0 x取得增量

2、x时,0 x变到,0 xx边长由其目录 上页 下页 返回 结束 D23函数的微分的微分微分,定义定义: 若函数)(xfy 在点 的增量可表示为0 x)()(00 xfxxfy( A 为不依赖于x 的常数)则称函数)(xfy 而 称为xA在)(xf0 x点记作yd,df或即xAyd定理定理: 函数)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x处可导，在点0)(xxfy , )(0 xfA且)( xoxA即xxfy)(d0在点0 x可微可微,目录 上页 下页 返回 结束 D23函数的微分定理定理 : 函数证证: “必要性必要性” 已知)(xfy 在点 可微 ,0 x则)()(00 xfxxfy)

3、(limlim00 xxoAxyxxA故Axf)(0)( xoxA)(xfy 在点 可导,0 x且)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x)(xfy 在点 处可导,0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0目录 上页 下页 返回 结束 D23函数的微分定理定理 : 函数)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x)(xfy 在点 处可导,0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0“充分性充分性”已知)(lim00 xfxyx)(xfy )(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0故)()(0 xoxxf即xxfy)(d0在点 的可导,0 x则线性主部的此项为时yxf0)(

4、0目录 上页 下页 返回 结束 D23函数的微分说明说明:0)(0 xf时 ,xxfy)(d0)()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以0 x时yyd很小时, 有近似公式xyyd与是等价无穷小,当故当目录 上页 下页 返回 结束 D23函数的微分微分的几何意义xxfy)(d0 xx0 xyO)(xfy 0 xyydxtan当 很小时,xyyd时，当xy 则有xxfyd)(d从而)(ddxfxy导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分自变量的微分,为称 x记作xdxyxd记目录 上页 下页 返回 结束 D23函数的微分例如例如,3xy

5、yd02. 0d2xx23xxd02. 0d2xx24. 0,arctanxy ydxxd112又如又如,目录 上页 下页 返回 结束 D23函数的微分二、二、 微分运算法则微分运算法则设 u(x) , v(x) 均可微 , 则)(d. 1vu )(d. 2uC(C 为常数)(d. 3vu)0()(d. 4vvu分别可微 ,)(, )(xuufy )(xfy的微分为xyyxddxxufd)()(uduufyd)(d微分形式不变微分形式不变5. 复合函数的微分则复合函数vudd uCdvuuvdd 2ddvvuuv目录 上页 下页 返回 结束 D23函数的微分例例1., )e1(ln2xy求 .

6、dy解解:2e11dxy)e1(d2x2e11x)(d2xxxxxd2ee1122xxxxde1e2222ex目录 上页 下页 返回 结束 D23函数的微分例例2. 设,0)cos(sinyxxy求 .dy解解: 利用一阶微分形式不变性 , 有0)d(cos()sin( dyxxyxxyyxdcosdsin)sin(yx0)d(d yxxyd d )sin(cosyxxyxyxsin)sin(例例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:xxd) d() 1 (ttdcos) d()2(221xtsin1说明说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.CC注意 )( 为任意常数C目录 上

7、页 下页 返回 结束 D23函数的微分 yf x dyfx dxx 2.d dyd fx dxfxdxf 222d yd ffx dx设函数 三、三、 高阶微分高阶微分可导， 则它的微分 仍是 的函数 . 因此，若该函数二阶可导，则可再求 微分 ，得此式称为函数 的二阶微分，记作： 同理可得 n阶微分的定义. 目录 上页 下页 返回 结束 D23函数的微分四、四、 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用)()(0 xoxxfy当x很小时,)()(00 xfxxfyxxf)(0 xxfxfxxf)()()(000 xxx0令使用原则使用原则:;)(, )() 100好算xfxf.)20靠近

8、与xx)()()(000 xxxfxfxf得近似等式:目录 上页 下页 返回 结束 D23函数的微分特别当xx,00很小时,xffxf)0()0()(常用近似公式常用近似公式:x1)1 () 1 (x很小)x(xxxx1xsin)2(xe)3(xtan)4( )1ln()5(x证明证明: 令)1 ()(xxf得, 1)0(f)0(f,很小时当 xxx1)1 (目录 上页 下页 返回 结束 D23函数的微分180dx29sin的近似值 .解解: 设,sin)(xxf取300 x,629x则1802918029sin6sin6cos2123)0175. 0(485. 0)180(例例4. 求29s

9、in4848. 029sin目录 上页 下页 返回 结束 D23函数的微分5245的近似值 .解解:24335524551)2243(51)24321(33)2432511(004938. 3例例5. 计算xx1)1 (004942. 32455目录 上页 下页 返回 结束 D23函数的微分例例6. 有一批半径为1cm 的球 , 为了提高球面的光洁度,解解: 已知球体体积为334RV 镀铜体积为 V 在01. 0, 1RR时体积的增量,VVVd01. 01RRRR 2401. 01RR)(cm13. 03因此每只球需用铜约为16. 113. 09 . 8( g )用铜多少克 . )cmg9 . 8: