ch15连续函数课件

1、2008年10月22日ch15连续函数1第第1章章 函数、极限、连续函数、极限、连续第第1节节 集合、映射与函数集合、映射与函数第第2节节 数列的极限数列的极限第第3节节 函数的极限函数的极限第第4节节 无穷小量及无穷大量无穷小量及无穷大量第第5节节 连续函数连续函数2008年10月22日ch15连续函数2第第5节节 连续函数连续函数n5.1 5.1 函数的连续性概念与间断点的分类函数的连续性概念与间断点的分类 n5.2 5.2 连续函数的运算性质与初等函数的连续连续函数的运算性质与初等函数的连续n5.3 5.3 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质n5.4 5.4 函数的一致连续性函

2、数的一致连续性2008年10月22日ch15连续函数35.1 函数的连续性概念与间断点的分类函数的连续性概念与间断点的分类 连续性概念连续性概念 2 间断点及其分类间断点及其分类2008年10月22日ch15连续函数4考察函数的图形：考察函数的图形：xysin 图图1图图2几何上易见图几何上易见图1- 2 都是连续不断的曲线都是连续不断的曲线!00limxxxx 00limxxxx 000limsinsin()xxxxf xyoxxy yx xy 00limxxxx 00lim( )()xxf xaf x 1 1 连续性概念连续性概念2008年10月22日ch15连续函数5可见可见 , 函数函

3、数)(xf在点在点0 x(1) )(xf在点在点0 x即即)(0 xf(2) 极限极限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件:存在存在 ;有定义有定义 ,存在存在 ;00( )( )f xxxf x若若在在点点处处不不连连续续，则则称称点点为为的的间间断断点点. .0() )f xU x定义5.1定义5.1 设函数在内有定义，设函数在内有定义，00( )( )f xxf xx则则称称, ,此此时时在在称称为为的的处处连连续续连连续续点点. .00lim( )(),xxf xf x 若若2008年10月22日ch15连续函数6co

4、ntinue)()(lim, ),(000 xPxPxxx若若)(xf在某区间上每一点都连续在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上则称它在该区间上连续连续 , 或称它为该区间上的或称它为该区间上的连续函数连续函数 . ,baC例如例如,nnxaxaaxP10)(在在),(上连续上连续 .( 有理整函数有理整函数 )又如又如, 有理分式函数有理分式函数)()()(xQxPxR在其定义域内连续在其定义域内连续.在闭区间在闭区间,ba上的连续函数的集合记作上的连续函数的集合记作只要只要,0)(0 xQ都有都有)()(lim00 xRxRxx2008年10月22日ch15连续函数700lim(

5、)()xxf xf x 0 xxx 令令000lim ()()0 xf xxf x y 令令0lim0 xy 或或00lim ( )()0 xxf xf x xy00 xxx 0)(xfy x y 00000() ( ) lim( )(),( )( )xxf xf xf xf xxU xxxf 定定义义5 5. .1 1 设设函函数数在在内内有有定定义义，若若则则在在处处称称, ,此此时时称称为为的的连连续续连连续续点点. .2008年10月22日ch15连续函数8)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx000(0)()(0)f xf xf x 左连续左

6、连续右连续右连续,0,0当当xxx0时时, 有有yxfxf)()(0函数函数0 x)(xf在点在点连续有下列连续有下列等价命题等价命题:2008年10月22日ch15连续函数9证证000(1)xxxxxyaaaa 000limlim(1)0 xxxxyaa 02(,)0,stepx 则则01 lim1xxstepa 事实上，事实上，0, 11,xxaa 要要使使001limlim1.xyxyxyaa 令令例例1 10(0,1),sincos(,).xyaaayxyxx 证证明明， = =在在任任意意点点处处连连续续0(0,1)(,).xyaaax 在任意点在任意点处连续处连续0lim1xxa

7、只只需需证证 log1,a 取取0,x 则则时时11.xxaa 有有2008年10月22日ch15连续函数10例例2 221,0,( )01,0,.xxf xxxx 讨论函数在处的讨论函数在处的连续性连续性解解00lim( )lim(1)xxf xx 1 ),0(f 200lim( )lim(1)xxf xx1 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续 ,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf(0)1f 2008年10月22日ch15连续函数11例例3 3.00, 0,cos)(,处处连连续续在在函函数数取取何何值值时时当当 xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(l

8、im00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()0()0(fff 要要使使,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf, 1 a2008年10月22日ch15连续函数12在在在在(1) 函数函数)(xf0 x(2) 函数函数)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在不存在;(3) 函数函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在存在 , 但但)()(lim00 xfxfxx 不连续不连续 :0 x设设0 x在点在点)(xf的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义 ,则下列情形则下列情形这样的点这样的点0 x之一之一函数函数

9、f (x) 在点在点虽有定义虽有定义 , 但但虽有定义虽有定义 , 且且称为称为间断点间断点 . 在在无定义无定义 ;2 2 间断点及其分类间断点及其分类2008年10月22日ch15连续函数13oxy112xy 1xy2 oxy112xy 1xy2 oxyoxyyx 1yx 1/yx yx 图图3图图41lim( )(1)xf xf (1)f 不不图图500lim( )lim( )xxf xf x 图图60lim( )xf x 观察函数的图形2008年10月22日ch15连续函数14xytan 图图72lim( )xf x 2lim( )xf x oyx1sinyx 图图80lim( )xf

10、 x 不不图图3- 图图8曲线在某点断开了曲线在某点断开了!2008年10月22日ch15连续函数15间断点分类间断点分类: :第一类间断点第一类间断点:及及均存在均存在 ,若若称称0 x若若称称0 x第二类间断点第二类间断点:中至少一个不存在中至少一个不存在 ,称称0 x若其中有一个为振荡若其中有一个为振荡 ,称称0 x若其中有一个为若其中有一个为,为为可去间断点可去间断点 .为为跳跃间断点跳跃间断点 .为为无穷间断点无穷间断点 .为为振荡间断点振荡间断点 .0(0)f x 0(0)f x 00(0)(0) ,f xf x00(0 )(0 ) ,f xf x 及及0(0)f x 0(0)f

11、x 2008年10月22日ch15连续函数16例例4 4 确定函数确定函数间断点的类型间断点的类型.11( )1xxf xe 解解 间断点间断点0 ,1xx 0lim( )xf x, 0 x为无穷间断点为无穷间断点;1,x 当时当时1xx ,( )0f x1,x 当时当时1xx ,( )1f x故故1x为跳跃间断点为跳跃间断点. 0 , 1,x 在在处处( ).f x连续连续2008年10月22日ch15连续函数17小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别:2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:

12、跳跃型跳跃型,可去型可去型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点2008年10月22日ch15连续函数18Z 思考题思考题2008年10月22日ch15连续函数19思考题解答思考题解答)(xf在在0 x连连续续，)()(lim00 xfxfxx )()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf 故故| )(|xf、)(2xf在在0 x都都连连续续.1、2008年10月22日ch15连续函数20但反之不成立但反之不成立.例例 0, 10, 1)(xxxf在在00

13、 x不不连连续续但但| )(|xf、)(2xf在在00 x连连续续2008年10月22日ch15连续函数215.2 5.2 连续函数的运算性质连续函数的运算性质 与初等函数的连续与初等函数的连续1 连续函数的运算法则连续函数的运算法则2 2 初等函数的连续性初等函数的连续性2008年10月22日ch15连续函数221 连续函数的运算法则连续函数的运算法则n和、差、积、商的连续性和、差、积、商的连续性n复合函数的连续性复合函数的连续性n反函数的连续性反函数的连续性n初等函数的连续性初等函数的连续性n幂指函数的连续性幂指函数的连续性（一类特殊的初等函数）（一类特殊的初等函数）2008年10月22日

14、ch15连续函数23和、差、积、商的连续性和、差、积、商的连续性tancotseccscxxxx在定义域内都连续在定义域内都连续0( ),( ),f xg xx若若函函数数在在点点 处处连连续续定理定理5.1 5.1 设设0,()fgU xRR：sin, cos(- ,)xx 在内在内连续连续例如例如,00( )( )( ),( )( ),( ()0)( ).f xf xg xf xg xg xg xx 则则在在点点 处处也也连连续续2008年10月22日ch15连续函数24复合函数的连续性复合函数的连续性000lim( )(),xxg xg xu 若若00lim( )(),uuf uf u

15、0lim ( )xxf g x0()f u 0 ()f g x ,), 0()0,(1内内连连续续在在 xu,),(sin内内连连续续在在 uy.), 0()0,(1sin内内连连续续在在 xy2008年10月22日ch15连续函数25 000lim( )()limxxxxf xf xfx 连续性定义连续性定义复合函数连续性复合函数连续性 000lim( )()lim( )xxxxfg xfg xfg x 意义意义 函数运算和极限运算可函数运算和极限运算可交换次序！交换次序！2008年10月22日ch15连续函数26反函数的连续性反函数的连续性p18的的反函数存在定理反函数存在定理1( )(

16、) ,( )yf xAxfyf A 若若是是 上上的的严严格格单单调调增增( (减减) )函函数数，则则且且在在上上也也是是严严格格单单调调增增( (减减) )函函数数. .1( )ff I 则则其其反反函函数数存存在在，并并且且也也是是上上严严格格单单调调增增（减减) )的的连连续续函函数数. .RfI 若若 ：是是严严格格单单调调增增（减减）的的 定定理理5 5. .3 3 连连续续函函数数，例如例如,(0)xyaa (,) 在在内内单单调调且且连连续续log(0)ayxa(0,) 在在内内单单调调且且连连续续yx logaxa 在其定义域内连续在其定义域内连续,), 0(内内连连续续在在

17、 ,不不同同值值讨讨论论 2008年10月22日ch15连续函数27例如例如,2,2sin上单调增加且连续上单调增加且连续在在 xy. 1 , 1arcsin上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故 xy;1 , 1arccos上上单单调调减减少少且且连连续续在在同同理理 xyarctan ,arccot,).yx yx 在在( (上上单单调调且且连连续续反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.常数函数在常数函数在(-,+ )内内是连续的是连续的.2008年10月22日ch15连续函数282 2 初等函数的连续性初等函数的连续性结论结论1 1 基本初等函数在定义域内是

18、连续的基本初等函数在定义域内是连续的. .结论结论2 2 一切初等函数在其一切初等函数在其定义定义域域内任何区间内任何区间上上 都是连续的都是连续的. .称为称为定义区间定义区间2008年10月22日ch15连续函数29注意注意2 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.000lim( )() ()xxf xf xx定义域定义域例例1 1. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例2 2.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原原式式11lim20 xxx20 . 0 2008年10月22日ch15连续

19、函数30例例3 3.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原原式式)1(limln10 xxx eln 解解0log (1)1lim.lnaxxxa 例例4 4.1lim0 xexx 求求. 1 )1ln(lim0yyy 原原式式解解,1yex 令令),1ln(yx 则则yyy10)1ln(1lim .ln1lim0axaxx ln(1), 1(0)xxxexx 2008年10月22日ch15连续函数31幂指函数的连续性幂指函数的连续性( )( )g xf x幂幂指指函函数数 ( )ln( )g xf xe 一类特殊的初等函数一类特殊的初等函数lim ( )ln(

20、)lim( )g xg xf xf xe ( )0f x ( ) ln( )limlimg xf xe lim ( )lim( )g xf x 2008年10月22日ch15连续函数32例例7.7. 求求3sin0lim(12 ).xxx 解解原式原式ex0lim)21ln(sin3xxex0limx36ex22008年10月22日ch15连续函数335.3 5.3 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质1 有界性定理有界性定理2 最值定理最值定理3 零点存在定理零点存在定理（二分法）（二分法）4 介值定理介值定理2008年10月22日ch15连续函数341 1 有界性定理有界性定理(

21、) , f xC a b 设设在在 a, , b 上有界上有界. .( )f x反证法反证法+Weiestrass 定理定理即，在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界即，在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.定理定理5.45.42008年10月22日ch15连续函数352 2 最大值和最小值定理最大值和最小值定理1212 , , , , , , ,()max ( ),()min( ).xa bxa bx xa bxa bf xf xf xf x 有有定理定理5.55.5( ) , ,f xC a b 设设1()( )()f xf x 2()( )()f xf x 在闭区间上连续的在闭区间上连

22、续的函数一定有最大值函数一定有最大值和最小值和最小值.ab2x1xxyo)(xfy 1 , ()sup ():sup( )xa bf xR ff xM 验证验证由上确界定理由上确界定理, , ,1()nnnNxa bMf xMn +Weiestrass 定理定理+夹逼性。夹逼性。2008年10月22日ch15连续函数36注意注意: :1.若区间是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立.xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 2008年10月22日ch15连续函数37定理定理5.65.6( ), ,f x

23、Cab (,) ,ab 且且( )0 .f ( ) ( )0f a f b 3 3 零点存在定理（二分法）零点存在定理（二分法）几何解释几何解释ab3 2 1 ( ), .yf xxx 连连续续曲曲线线弧弧的的两两个个端端点点位位于于 轴轴的的不不同同侧侧 则则曲曲线线弧弧与与 轴轴至至少少有有一一个个交交点点xyo)(xfy .),(0)(内内至至少少存存在在一一个个实实根根在在即即方方程程baxf 2008年10月22日ch15连续函数38零点定理的证明零点定理的证明不妨设不妨设f (a) 0 f (b) . , a b把把区区间间二二等等分分，f c若（ ）=0，若（ ）=0，2abc

24、取取, c 取取即即为为所所求求点点；11( ) ( )0( , ),;f a f ca caa bc 若若，取取11( ) ( )0( , ),.f b f cc bac bb 若，内，取若，内，取11,a b 满满足足：11111 , ,0(),2a ba bbaba 11()0()f af b如此等分区间进行下去，如此等分区间进行下去， 得到一列不断缩小的闭区间得到一列不断缩小的闭区间,kka b其满足：其满足：11,kkkka bab ()0()kkf af b 10(),2kkkbaba2008年10月22日ch15连续函数39若对某个若对某个k有，有，()0,2kkabf 定理得证

25、！定理得证！不然等分区间无限进行下去不然等分区间无限进行下去.由闭区间套定理，由闭区间套定理，,()limlimkkkkkka bkNab ()0()kkf af b 由函数的连续性，及夹逼性，对由函数的连续性，及夹逼性，对( )0( )ff两边取极限得两边取极限得( )0f 即即2008年10月22日ch15连续函数40例例1 1 证明方程证明方程01423 xx一个根一个根 .证证 显然显然, 1 ,014)(23Cxxxf又又,01)0(f02) 1 (f故据零点定理故据零点定理, 至少存在一点至少存在一点, ) 1 ,0(使使,0)(f即即01423说明说明:,21x,0)(8121f

26、内必有方程的根内必有方程的根 ;) 1 ,(21取取 1 ,21的中点的中点,43x,0)(43f内必有方程的根内必有方程的根 ;),(4321可用此法求近似根可用此法求近似根.二分法二分法4321x01在区间在区间)1 ,0(的中点取1 ,0内至少有内至少有则则则则2008年10月22日ch15连续函数41例例2 2.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使使得得证证明明且且上上连连续续在在区区间间设设函函数数证证,)()(xxfxF 令令,)(上连续上连续在在则则baxFaafaF )()(而而, 0 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF

27、)()(, 0 .)( f即即2008年10月22日ch15连续函数42定理定理5.75.7设设 ( ), ,f xCab 且且( ),f aA ( ),f bBAB则对则对 A 与与 B 之间的任一数之间的任一数 ,一点一点(,) ,ab 证证 作辅助函数作辅助函数( )( )xf x 则则( ), ,xCab 且且( )( )ab()()AB 0 故由零点定理知故由零点定理知, 至少有一点至少有一点(,) ,ab 使使( )0 , 即即( ).f Abxoya)(xfy B 使使( ).f 至少有至少有4 4 介值定理介值定理2008年10月22日ch15连续函数43推论推论 在闭区间上连

28、续的函数必取得介于最大在闭区间上连续的函数必取得介于最大值值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值. .Mm推论推论 闭区间上非常数的连续函数的值域为闭闭区间上非常数的连续函数的值域为闭区间区间. .2008年10月22日ch15连续函数44000,0,( )().xxf xf x使使当当时时 恒恒有有连续的连续的定义定义0 x与与有有关关是一个局部概念是一个局部概念一致连续一致连续在某个区间上在某个区间上“一起一起”连续连续整体化整体化5.4 5.4 函数的一致连续性函数的一致连续性., 强调有公共的强调有公共的的性质的性质一致连续是区间上整体一致连续是区间上整体).,( , 0 :0

29、 x 续续连连).( , 0 : 一一致致连连续续2008年10月22日ch15连续函数45( )f x则称则称在在 I 上一致连续上一致连续 .显然显然:( )If x 在在区区间间上上一一致致连连续续( )If x 在区间 上连续在区间 上连续定义定义5.25.2 cos,x 在在上上一一致致连连续续；例如例如,1( )xf x ( 0 , 1 ,C 但不一致连续但不一致连续 .:,| , 0, 02121总有总有 xxIxx,| )()(|21 xfxf2008年10月22日ch15连续函数46 cos,x 在在上上一一致致连连续续；例例1 1证明：证明：121212coscos2sin

30、sin22xxxxxx 0 , 12121212coscos2sinsin22xxxxxxxx 取取都有都有12,xx 当当时时12coscosxx coscos2sinsin.22xyxyxy 2008年10月22日ch15连续函数47例例2 21( )xf x ( 0 , 1 ,C 但不一致连续但不一致连续 .因为因为01, 取点取点11112,(N ) ,nnxxn 则则 12xx 111nn 1(1)n n 可以任意小可以任意小但但12()()f xf x (1)nn 01 这说明这说明xxf1)(在在 ( 0 , 1 上不一致连续上不一致连续 .证明证明120()().f xf x

31、1212,x xxx 00,0, fI假假设设 在在 上上不不一一致致连连续续2008年10月22日ch15连续函数48但但 )0.(,1)( 上上一一致致连连续续在在xxf证明证明： 12,.x x 21122121212111()()xxf xf xxxxxx x 221xx 当当时时，12()().f xf x 2008年10月22日ch15连续函数49定理定理5.8( ), ,f xC ab 设设( ) , .f xa b则则在在上上一一致致连连续续闭区间上的连续函数都是一致连续的闭区间上的连续函数都是一致连续的反证法反证法+Weiestrass 定理定理0()().nnf xf y

32、1,nnnnxyxyn0+0,N ,n , fa b假假设设 在在上上不不一一致致连连续续 ,knnxa bx 由由于于必必有有收收敛敛子子列列 0lim,.knnxxa b 2008年10月22日ch15连续函数50证明证明：利用利用weierstrass证明证明0()().nnf xf y 1,nnnnxyxyn0+0,N ,n , fa b假假设设 在在上上不不一一致致连连续续 ,knnxa bx 由由于于必必有有收收敛敛子子列列 0lim,.knnxxa b 2008年10月22日ch15连续函数5100010.kkkkknnnnnkyxyxxxxxn0lim.knnyx 连连续续：由

33、由f但但由由题题设设：00()()0,f xf x lim()()kknnnf xfy 0()(),kknnf xfy .矛盾矛盾2008年10月22日ch15连续函数52( ), ,f xCab 设设则则1.( )f x在在 a, ,b 上有界上有界; ;2.( )f x在在 a, ,b 上达到最大值与最小值上达到最大值与最小值; ;3.( )f x在在 a, ,b 上可取最大与最小值之间的任何值上可取最大与最小值之间的任何值; ;( ) ( )0f a f b 4.4.当当时时, ,使使必存在必存在(,),ab ( )0;f 5.( )f x在在 a, ,b 上一致连续上一致连续; ;小结

34、小结2008年10月22日ch15连续函数53bxaxxf sin)(证：证： , 0)sin(1)sin()( baabbaababaf, 0)0( bf 上上连连续续，在在ba 0., 0)(babaf 取取若若. 0)(, 0 fba使使（否否则则至至少少2008年10月22日ch15连续函数54证证例例1 证明证明: 若若 令令,)(limAxfx则给定则给定,0,0X当当Xx 时时, 有有AxfA)(又又, ,)(XXCxf根据有界性定理根据有界性定理,01M, 使使,)(1XXxMxf取取1,maxMAAM则则),(,)(xMxf)(xf在在),(内连续内连续,)(limxfx存在存在, 则则)(xf必在必在),(内有界内有界.)(xfXXA1Myox(P80(B). 2题题)2008年10月22日ch15连续函数55例例2 2. .实实根根证证明明任