ch112偏导数课件

1、2021-11-20ch112偏导数PPT课件1一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法11.2 偏导数偏导数，设设Dyxyxfz ),(),(的的内内点点，是是点点DyxP),(视视作作常常数数，将将 y，一一个个改改变变量量给给xx ，使使DyxxP ),(则则zx ),(),(yxfyxxf 的的点点关关于于称称为为函函数数在在xP偏偏增增量量类似地，类似地，的偏增量的偏增量点关于点关于函数在函数在yPzy ),(),(yxfyyxf 2021-11-20ch112偏导数PPT课件2处处，在在点点如如果果函函数数),(),(00yxPyxfz 极限极限xzxx 0limxyx

2、fyxxfx ),(),(lim00000存存在在，的的偏偏导导数数，处处关关于于在在则则称称此此极极限限值值是是xyxPyxfz),(),(000 记为：记为：，也可以记为也可以记为),(),(0000yxfyxzxx 定定义义),(00yxxz ),(00yxxf 或者或者),(00yxzx),(00yxfx2021-11-20ch112偏导数PPT课件3同同理理可可定定义义函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx处处对对 y的的偏偏导导数数， 为为 yyxfyyxfy ),(),(lim00000 记为记为，也也可可以以记记为为),(),(0000yxfyxzyy ),(00yxy

3、z ),(00yxyf 或者或者),(00yxzy),(00yxfy2021-11-20ch112偏导数PPT课件4如如果果函函数数),(yxfz 在在区区域域D内内任任一一点点),(yx处处对对x的的偏偏导导数数都都存存在在，那那么么这这个个偏偏导导数数就就是是x、y的的函函数数，它它就就称称为为函函数数),(yxfz 对对自自变变量量x的的偏偏导导数数， 同同理理可可以以定定义义函函数数),(yxfz 对对自自变变量量 y的的偏偏导导数数， 记为：记为：，或或),(),(yxfyxzxx xz xf 或者或者),(yxzx),(yxfx记为：记为：，或或者者),(),(yxfyxzyy),

4、(yxzy ),(yxfy yz yf 2021-11-20ch112偏导数PPT课件5关于偏导数的几点说明：关于偏导数的几点说明：;)1(看看作作分分子子与与分分母母之之商商是是一一个个整整体体记记号号，不不能能xz 的的二二元元函函数数；仍仍然然是是yxyzxz,)2( 点点的的函函数数值值。在在处处的的偏偏导导数数，是是函函数数在在点点),(),(),(),()3(0000yxyxfyxfyxyx（4）偏导数的概念可以推广到二元以上函数）偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 ),(zyxfu ),(zyx2021-11-20ch112偏导数PPT课件6,),(),(lim)

5、,(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 偏偏导导数数仍仍然然适适用用；数数的的则则和和求求导导公公式式对对多多元元函函所所以以一一元元函函数数的的求求导导法法于于求求一一元元函函数数的的导导数数，多多元元函函数数求求偏偏导导数数相相当当)5(（6）求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求。求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求。2021-11-20ch112偏导数PPT课件7例例 1 1 求求 223yxyxz 在点在点)2 , 1(处的偏导数处的偏导数解解 xz;32y

6、x yz.23yx )2, 1(xz,82312 )2, 1(yz.72213 2021-11-20ch112偏导数PPT课件8例例 2 2 设设yxz )1, 0( xx， 求证求证 zyzxxzyx2ln1 .证明证明 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成立原结论成立2021-11-20ch112偏导数PPT课件9二二元元函函数数，所所确确定定的的是是由由方方程程设设例例1lnsin3 xzzyxz及及求求yzxz 解解求偏导：求偏导：方程两端同时对方程两端同时对 xxcosxzzy 1z xzx 0 得到得到

7、zyxxzxz cos求求偏偏导导：方方程程两两端端同同时时对对 yzln yzzy 1yzx 0 得得到到zyxzyz ln2021-11-20ch112偏导数PPT课件10例例 4 4 已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程RTpV （R为常数） ，求证：为常数） ，求证：1 pTTVVp.证证 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT 2021-11-20ch112偏导数PPT课件11.),()0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(22的的偏偏导导数数求求设设yxfyxyxyxxyyxf 例例 5 5

8、解解,)0 , 0(),(时时当当 yx22222)(2)(),(yxxyxyxyyxfx ,)()(22222yxxyy 22222)(2)(),(yxxyyyxxyxfy ,)()(22222yxyxx 并讨论函数的连续性。并讨论函数的连续性。2021-11-20ch112偏导数PPT课件12,)0 , 0(),(时时当当 yx按定义可知：按定义可知：xfxffxx )0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0, 00lim0 xxyfyffyy )0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0, 00lim0 yy,)0 , 0(),(0)0 , 0(),()()(),(22222 yx

9、yxyxxyyyxfx.)0 , 0(),(0)0 , 0(),()()(),(22222 yxyxyxyxxyxfy2021-11-20ch112偏导数PPT课件13时时连连续续在在显显然然，)0 , 0(),(),( yxyxf时时，当当)0 , 0(),( yx时时，趋趋近近于于沿沿着着直直线线当当)0 ,0(),(kxyyxP 222220001lim),(limkkxkxkxyxfxkxx 二二重重极极限限不不存存在在，结结论论：续续。偏偏导导数数存存在在，不不一一定定连连数数也也不不一一定定存存在在。反反之之，函函数数连连续续，偏偏导导）处处连连续续，在在点点（例例如如：00),(

10、22yxyxf 2021-11-20ch112偏导数PPT课件14xxfxx 00)(lim)0 , 0(20 xxx 0lim不存在不存在也也不不存存在在。同同理理，)0 , 0(yf）处处偏偏导导数数不不存存在在，在在（ 00),(22yxyxf 2021-11-20ch112偏导数PPT课件15偏偏导导数数的的几几何何意意义义表表示示一一个个曲曲面面，),(yxfz xyz0y0M),(0yxfz 0 x),(0yxfz 取曲面上一点取曲面上一点) ),(,(00000yxfyxM，作平面作平面过过00yyM 则交线则交线 0),(yyyxfz上上的的曲曲线线是是平平面面),(00yxf

11、zyy 于是，于是，0),(dd0 xxyxfx ),(00yxfx即即轴的斜率轴的斜率处的切线对处的切线对就是曲线在就是曲线在 tan0 xM2021-11-20ch112偏导数PPT课件16。轴轴夹夹角角处处切切线线与与在在点点求求曲曲线线例例 yxyxzC)21,1,2(24212:622 解解)1 , 2(yz )1 , 2(y , 1 , 1tan 即即。夹角夹角4 00000),(),(Mxxyxfzyxfy在在的的几几何何意意义义是是曲曲线线 .轴轴的的斜斜率率处处的的切切线线对对 y2021-11-20ch112偏导数PPT课件17),(),(yxfyxxf xyxfx ),(

12、),(),(yxfyyxf yyxfy ),( 二二元元函函数数对对x和和对对y的的偏偏微微分分 二二元元函函数数对对x和和对对y的的偏偏增增量量由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得二、全微分的概念二、全微分的概念1、定义、定义2021-11-20ch112偏导数PPT课件18全增量的概念全增量的概念时时，量量在在两两个个自自变变量量同同时时有有增增yxyxfz ,),(函函数数值值的的增增量量),(),(yxfyyxxfz 处的处的在点在点称为称为),(),(yxyxf全全增增量量2021-11-20ch112偏导数PPT课件19全微分的定义全微分的定义的

13、的全全增增量量在在点点若若函函数数),(),(yxyxfz ),(),(yxfyyxxfz 可表示为可表示为)( oyBxAz ，不依赖于不依赖于其中其中yxBA ,有关，有关，仅与仅与yx,，22)()(yx 可可微微分分，在在则则称称),(),(yxyxfz 称称为为而而yBxA 的的全全微微分分，在在),(),(yxyxfz ，或或记记作作),(ddyxfz即即yBxAz d2021-11-20ch112偏导数PPT课件202、可微的条件、可微的条件1定理定理处可微，处可微，在点在点若函数若函数),(),(yxyxfz 则则函函数数处处连连续续；在在点点),()1(yx必必存存在在，且且

14、的的偏偏导导数数在在点点yzxzyx ,),()2(yyzxxzzddd 可可微微的的必必要要条条件件）( 若若函函数数在在某某区区域域 D 内内各各点点处处处处可可微微分分，则则称称函函数数在在 D 内内可可微微分分. 2021-11-20ch112偏导数PPT课件21证明证明)1(可可微微，在在点点若若),(),(yxyxfz 则则有有)( oyBxAz 无关，无关，与与其中其中yxBA ,，22)()(yx 因因而而有有zyx 00lim)(lim00 oyx )(lim0 o 0 从从而而),(),(lim00yxfyyxxfyx 0 即即),(),(lim00yxfyyxxfyx 处

15、连续处连续在点在点所以所以),(),(yxyxfz 2021-11-20ch112偏导数PPT课件22)2(可可微微，在在点点若若),(),(yxyxfz 则有则有)(),(),( oyBxAyxfyyxxf 无关，无关，与与其中其中yxBA ,，22)()(yx |)(|),(),(xoxAyxfyxxf 因因而而有有xxoxAxyxfyxxfxx |)(|lim),(),(lim00A 即即Axz 同理可得：同理可得：Byz yyzxxzzddd 当当0 y时时，上上式式仍仍成成立立，此时此时|x ,2021-11-20ch112偏导数PPT课件23一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的

16、导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在例如，例如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf在在点点)0 , 0(处处有有 0)0 , 0()0 , 0( yxff 点点的的可可微微性性：在在以以下下讨讨论论)0 , 0(),(yxf)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx 2021-11-20ch112偏导数PPT课件24,)()(22yxyx 如如果果考考虑虑点点),(yxP 沿沿着着直直线线xy 趋趋近近于于)0 , 0(，则则 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 说说明明它它不不能能随随着着0 而而趋趋于于

17、 0,0 当当 时，时，),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 函函数数在在点点)0 , 0(处处不不可可微微.2021-11-20ch112偏导数PPT课件25说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，微分存在，定定理理（充充分分条条件件）如如果果函函数数),(yxfz 的的偏偏导导数数xz 、yz 在在点点),(yx连连续续，则则该该函函数数在在点点),(yx可可微微分分注意：注意：的的充充分分条条件件，偏偏导导连连续续仅仅是是函函数数可可微微而而非非必必要要条条件件全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三

18、元及三元以上函数.dzzudyyudxxudu 有：有：对于对于),(zyxfu 2021-11-20ch112偏导数PPT课件26多元函数连续、偏导数存在、可微之间的关系多元函数连续、偏导数存在、可微之间的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续偏导数存在偏导数存在2021-11-20ch112偏导数PPT课件27例例 7 7 计算函数计算函数xyez 在点在点)1 , 2(处的全微分处的全微分. 解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分2021-11-20ch112偏导数PPT课件2

19、8例例 8 8 求函数求函数)2cos(yxyz ，当，当4 x， y，4 dx， dy时的全微分时的全微分. 解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).74(82 2021-11-20ch112偏导数PPT课件29例例 9 9 计计算算函函数数yzeyxu 2sin的的全全微微分分. 解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 2021-11-20ch112偏导数PPT课件30例例 1010 试证函数试证函数 )0 ,

20、0(),(, 0)0 , 0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf在在点点)0 , 0(连续且偏导数存在，但偏导数在点连续且偏导数存在，但偏导数在点)0 , 0(不连续，而不连续，而f在点在点)0 , 0(可微可微. 证证令令,cos x,sin y则则22)0,0(),(1sinlimyxxyyx 1sincossinlim20 0 ),0 , 0(f 2021-11-20ch112偏导数PPT课件31 )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx同理同理. 0)0 , 0( yf故故函函数数在在点点)0 , 0(连连续续,当当)0 ,

21、0(),( yx时时， ),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy 当当点点),(yxP沿沿直直线线xy 趋趋于于)0 , 0(时时,),(lim)0,0(),(yxfxxx,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.2021-11-20ch112偏导数PPT课件32所所以以),(yxfx在在)0 , 0(不不连连续续.同理可证同理可证),(yxfy在在)0 , 0(不连续不连续.)0 , 0(),(fyxff 22)()(1sinyxyx )0 , 0()0 , 0(yfxffyx 1sinyx x 0 02021-11-20ch112

22、偏导数PPT课件33故故),(yxf在点在点)0 , 0(可微可微. 0)0,0( df)()(22yxo )0 , 0()0 , 0(yfxffyx 说明说明: 此题表明此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件偏导数连续只是可微的充分条件.2021-11-20ch112偏导数PPT课件34可知当可知当三、全微分在数值计算中的应用三、全微分在数值计算中的应用1. 近似计算近似计算由全微分定义由全微分定义xy)(),(),(oyyxfxyxfzyx),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(较小时较小时,yyxfxyxfzzyx),(),(dzd及及有近似等式有近似等式:),(yxf(可用于近似计算可用于近似计算; 误差分析误差分析) (可用于近似计算可用于近似计算) 2021-11-20ch112偏导数PPT课件35的的近近似似值值计计算算例例02. 2)96. 0(10解解，