如何指导学生撰写数学小论文

1、一、组织学生撰写小论文的意义21 .总结经验22. 扩人知识面23. 探索规律24. 激发兴趣25. 培养精神26. 领会方法3二、怎样指导撰写小论文3（-）可供撰写小论文的一些选题31. 章节小结32. 题多解及其比较性43. 题多变64. 解题方法的总结85. 对教材结构的认识96 .对命题的推广107. 拓广内容的学习心得108. 数学思想方法的应用12（二）怎样辅导撰写小论文131 引导学生钻研教材132. 指导学生积累资料133. 要求学生勤于思考134. 要求学生善于总结135. 耍求学生多看参考书136. 介绍新知识、新方法147. 写作指导14（三）组织好小论文的交流研讨141

2、. 课内交流142. 课外活动交流143. 校内外交流15三、指导学生撰写小论文应该注意的事项151. 要了解学生，根据不同层次作不同的要求152. 要循序渐进，不急于求成153. 及时鼓励，调动积极性154. 教师自身的学习提高16如何指导学生撰写数学小论文上海格致中学李世廷一、组织学生撰写小论文的意义在抓好“双基”的前提下，指导学生特别是学有余力的学生撰写数学小论文，是一件十 分有意义的教学工作，它至少可以有以卜-功能：1 总结经验学牛在h常的学习中有许多经验教训，练习写作小论文，将在勤奋努力不断进取的过程 中积累的丰富经验教训，加以及时总结，可以使经验变得更系统、教训记得更深刻，可以促

3、使学习走上一个新台阶。2 扩大知识面写小论文若局限于课本知识是远远不够的，即使是关于已学内容的理解和应用的小论 文，也需要有所加深拓广，才会有新意；至于一些研究新问题的小论文，更要求学牛学习新 知识，掌握新方法，开阔视野，广开思路。因此，可以说学生学习撰写小论文的过程，就是 一个不断学习、不断拓广知识而的过程。3 探索规律撰写小论文的过程还是学生不断探索创新的过程，它要求学生在错综复杂的知识网络中 和千变万化的问题里，用科学的态度去观察、分析、整理，从而把握本质、掌握规律，并用 来指导解决共他的数学问题。4 激发兴趣心理学研究表明，人们付出辛劳取得成杲时的向豪感，是引发兴趣、把工作推向深入的

4、强大动力。学生写作小论文，将自己的心得体会整理出來，看到自己的成果，并得到一定的 评价，自然是十分喜悦的，它将有力地激发学习数学的兴趣。同时也是进一步发掘基础好的 一部分学牛的学习潜力，激发他们的兴趣、调动他们学习积极性的有效方法。5 培养精神在写小论文的过程中，无论是准备选题、收集资料阶段，还是整理、编写阶段，都将会 促使学生去认真看书、积极思考。这就培养了独立思考、刻苦钻研的精神。在写作中，会遇 到各种各样的困难，就要靠坚强的毅力去克服，这也是对学主艰苦奋斗精神的一个锻炼。同 时，写小论文要求有新意、有创见，又能培养学生积极进取、改革创新的精神。6 领会方法通过写小论文，学生可以进一步领会

5、数学方法，从而居高临下对平时的学习起到深化的 作用。同时也能更深刻地领会学习数学的思想方法，包括查工具书，做资料积累与分析等看 书自学的方法；观察、猜想、验证、论证、抽象概括、分析综合等发现创造的方法；以及提 炼选题、组织材料、布局谋篇等论文写作的方法；。这些对学生是一辈子受益的。综上所述，指导学生撰写小论文，有利于对学生的各种能力的培养，在教学屮应予以充 分重视。二、怎样指导撰写小论文(-)可供撰写小论文的一些选题写小论文，选题是很重要的，没有明确的课题就无法写作。选题不是凭空就能解决的。 而靠平时人量的观察思考、材料收集，从中提炼出来的。选题思路要宽，可从各个方而多种 角度去寻找。下面列举

6、8个方曲的内容，供参考。1 章节小结平时每学完一章的内容，就可要求学牛写小结，进行知识的归类和方法的整理。这是在 学写小论文的起步阶段可以选择的一种课题。刚开始时，教师可给出小结提纲，并在课堂内 进行示范，让学生体会和模仿小结的方法。一段时间后，就可不给提纲，让学生口己看书小 结。这样的小结可对全体学牛要求，有时可作为课外作业布置，教师批改讲评。小结肯定会 有差异，有的学生只能将书上的内容摘抄一遍，没有自己的见解；有的则能跳出课本的框框, 提出白己整理的知识结构，易懂易记；个别的小结质量很高，往往是有图，有表，有知识结 构，有典型问题，书写也很整洁美观。但不论学生的小结水平如何，教师都应加以肯

7、定，并 逐步提出新的耍求。这里必须重视三个问题：(1) 突出知识结构，使知识条理化、系统化。如圆这一章内容很多，综合性较强。通 过小结整理，可概括为五块内容：一是恻的概念和性质，二是与恻有关的角，三是与i员i右关 的比例线段，四是与圆有关的各种关系(点与圆、圆与圆、直线与圆、三角形与圆、四边形 与圆)，五是有关圆的计算与作图。这样结构清晰，便于把握。其中，圆的两条眩ab. cd 圆内相交t p ,有papb = pcpd ；当弦运动变成割线交于圆外时，也有 pa pb = pc pd :如将pa绕p点旋转，是它与恻相切于4 ,就有 pa? = pc pd(pa二pb);再将pc也绕p旋转到与圆

8、相切于c,便有pa2 = pc2,即pa = pc ,总乙 无论p在圆内、圆外，不仅形式上有pa pb = pc pd,而且p4pb 为定值。从而把相交弦定理，切割弦定理，切线长定理统一为恻幕定理，从运动、变化的观 点，建立了认知结构。（2）重视引导学生将有关的知识作比较、想联系、找共性，加深理解，灵活运川。如 相似三角形性质的小结，山筹积变形的各种情况得到启发，可让学生从s=-ahn&个公式2 ”出发，整理两个三如形面积比的各种情况：一是比为1,即等积，其屮乂可分为全等，等底 等高（不全等），同底等高，同高等底，底与高的乘积相等（不等底也不等高）五种情况； 二是筹底不等高，则面积比等

9、于对应高之比；三是等高不等底，则血积比等于对应底边之比; 四是高与底都不等，则面积比等于高与底的乘积之比。其中乂右两个特例，即相似三角形面 积比等丁相似比的平方;有一个角相等或互补的两个三角形的面积z比等于夹这个角的两边 乘积之比。这样小结，既复习了等积变形，乂加深了对三角形面积的整体认识，也为利用面 积方法解题开辟了道路。（3）加强思维能力培养，使更有深刻性、严密性和灵活性。如小结不等式10条基本性 质可从三方血深化认识：一是理淸线索，三条性质，七条结论，学会用简练的语言表达，而 以不等式运算为线索记住内容；二是重视各项条件，把所需要条件归纳整理，得出简要的结 论：如加法没限制，乘数有正负、

10、传递需同向，倒数要变号，同向乘法、乘方、开方都要取 正数；三是掌握基本证法，1、2、8条用的是适当变形，4、7两条用传递性，笫9条用不完 全归纳法，第10条用反证法。于是在记住内容的同时，也重视了条件，并学会了证明方法。2 题多解及其比较性由于数学问题的综合性和多样性，启发人们从多种角度探索，得到不同的解法。一题多 解，可引导学生多向联想和发散思维，加强新1口知识的联系，培养分析问题和解决问题的能 力。由一题的多种解法的比较，能帮助较差的学生打开解题的思路，让数学学得主动的学生 的创造力得到充分发挥，因此一题多解是比较容易找到的小论文的课题。课本中的定理，一般有广泛的应用，而口定理本身的证明方

11、法也往往十分典型。弓i导学 牛用多种方法对定理进行证明，即可使他们掌握重要的证法，乂可加深对定理的条件与结论 的理解。这方面可以设计许多小论文课题。例如四边形内接于恻的判定定理：如果四边形有 一对对顶角互补，则这个四边形必定有外接圆。这个定理的证明，课本用的是反证法。而对 于数学能力强的学生还口j从定理条件与结论的唯一，启发他们用同一法证明如下：过不共线 的三个顶点a、b、d可作一个恻o,设与圆o相交与c',则za + zbcfd = 180°,已矢ii za + zc = 180° , /. zc = zbc'd ,而 zbc'd = zbcd +

12、zc'dc .-.zc,dc = o°,即dc与dc'重合，c与c重合，从而c与a、b、d在同一圆上。 若bc延长线为圆o相交，同理可证。同一法是另一种间接证明方法，初中课本上没有出现 过，作个介绍，对学生会有所启示，以后可讣他们尝试着使用。这个定理的直接证法更难，然而知难而进还是能够成功的。可以这样启发学牛：前两种 方法都是先过三个顶点作圆，证第四个顶点在这个圆上。现在换个角度思考，若能找到一点 与四个顶点等距，只要证三条边的中垂线交于一点，根据圆的定义就对解决问题，这里已经 用了一次转化。再从大角内可作小角的基本事实出发，巧妙地构造出三个筹腰三角形，将证 明四边形

13、的三边中垂线交于一点的问题转化为同一个三角形的三条角平分线交于一点的问 题。思维深刻而灵活的学牛一般会作这样的思考：若zb = zc，则必有= 四边形abcd是等腰梯形，容易证明有外接圆。再 若乙b壬乙c,不妨设z5 < zc ,则必有zd > za ,可作zecd = zb ,交ab于e , 作 zfda = za 交 ab 于 f , ce、df 交于 g ,. z4 + zc = z3 + zd ,zecd = zfdc,这样得到三个等腰三介形，它们是abce、adf . acgdo由等腰三角形三线合 一的性质得，bc、cd、d4三边的中垂线分别是zceb ,乙cgd , z

14、dfa的平分线, 即afeg的三条内角平分线交于一点，昭然四边形有外接圆。当然三边中垂线的交点可能 是afeg的内心，也可能是旁心。这一点学牛不容易想到，应作证明。这样对这个定理就 作出了三种有特色的证法。这样的尝试写成小论文对提高学生的思维能力是大有帮助的。有些题口，对一般学牛来说感到比较困难，但对程度较好的学牛却乂用武z地，这就可 引导他们作为小论文的课题，研究出多种解法进行比较分析。然后将小论文公布在班级、年 级等范围，供大家阅读，激发广大学牛的学习上进心。2 1 1例如，已知在aabc中，zb-zc = 90°,求证：=+7/(/十)2()2此题条件简单，结论复杂，没有巧妙的

15、联想难以建立联系。将此题作为小论文的研究对 象，可以引导学生作如下的思考：(1)根据条件作出图形，llizb-zc = 90°,想到构造 一个直角三如形；(2)根据结论涉及三边代数式的，外形特征出现平方，可想到勾股定理。 这样数形结合，就可得到多种儿何证法。证一：做bd丄bc交ac于q,则abdaacb,由对应边成比例，并对d?cd 中勾股定理即可得证。证二：作 cd 丄 ab 于 d,作 be 丄 ac t e ,则 zacb = zbcd o对aacd用角平分线性质，在rt mcp> rt bcd > rt abe中川勾股定理即可 得证。证三：以a为圆心，以c为半径作

16、圆，交c4及延长线于e、f ,贝uce = b- c , cf = b + c ,延长cb交圆于d,连结ad.对用勾股定理，再用割线定理可以得证。此题还可引导学生作进一步的考察：这是个边角互化的问题，可联想到解三角形，得到 三角形证法：证四：作ad丄bc交cb延长线于d,则bc = csincf对aabc用止弦定理，并在aadc中得cosc = m" + ",b将两个结论代入sin2 c + cos2 c = 1即得证。证五：由已知得 sin b = cosc , cos 3 =-sin c,在mbc中，由正弦定理得：sinb = -sinc,c再川余弦定理将cosb、co

17、sc代换为边的关系即可得证。证六：作d4丄ac交cb延长线于d,则ad = ab = c, dc = lb2+c2 ,将sinc cosc表示出来，代入射影定理a = ccosb + /?cosc即可得证。以上6种证法如能紧扣题目条件为结论的特征进行分析、比较，写成小论文，对打开学 牛思路，启发广大学牛学会广泛利用儿何、三角、代数知识证题，是很有意义的。山题多解”出发，可选小论文课题的具体内容是很多的，但应选那些解法典型、知 识面广的内容，同时，文章还应注意作比鮫分析，切不可勉强凑合一些解法。3 题多变数学学得好的同学，一般都不满足把一个题日解出来，还常常思考“一题多变”。有的 变条件，有的变

18、结论，有的变形式，有的变内容，有的变图形的位置等，这些变化都会带来 题目的变化。从屮研究知识、能力上的规律写成小论文，是人有作为的。例如，将/+戾+芒一3°加因式分解,可得到等式a3 + /?3 + c3- 3abc = (a+b + c)(/ +b2 +c2-ab-bc-ac。粗看这个式子两边都较复朵，仔细观察有特征町利用:a2 +b2 +c2 -ab-be-ac = + (b_c) +(c-6f)2 ,联想到“非负数的仍为非负数”，“若非负数的和为零，则每个数都为零”，可变化得到 以下6个结论：(1) 若 a + b + c = 0 ,则 a3 4-c3 = 3abc ；(2)

19、若a + b + c > 0 ,贝ij a3 +by 4-c3 > 3ahc ；(3) 若 d>0, b > 0, c>(),则 a 十 b 十 c、耳曲。(令 a = u3, h = v3 f c = w3,3由(2)得)；(4) 若 a3 4-/?3 +c3 -3abc = 0,且 a, b , c 不全等,贝ua + b + c = 0；(5) 若 a' + lr +c3 - 3abc = 0 ,且 a + b + c h 0 ,则 ci = b = c ；(6)若 q + /? + c0, abc > 0,则 er' + b'

20、 + c3 > 0。有了这个有用的结论，再用心考察，发现有许多具有这类特征的题1=1,可应用上述结论 去解决，由此变化得到以下各题：023(1) 若a + b + c = 0,求+ + 的值；he ca cb(2) 求证：(y_z) +(z_x) +(x->?)3 =3(y_z)(z_x)(x_y)；(3) 求证：(/?-+(c-a)6+(d-b)6-9(b-c (c-a)2 (a-/?)2=2(a -b)' (a -c)" + 2(z?-c) (b-a)' + 2(c-a) (c-b) ；(4) 若无+y + z = 3,(兀一 +(y 1)+(z-l=

21、0 ,证明：兀、y、z中至少有一个等于1；(5)解方程奴二t+vm_疝 =0； (6)计算ig32 + lg35 + 31g21g5；(7)求整数解x3 + y3 + z3=-18x + y + z = 0(8)若aabc的三边满足关系式a3+b3+c3 =3abc,则mbc为等边三和形;(9)己知四边形abcd内接于圆，求证:ab3 cd3 -ad3 bc3 +3ab bc cd da ac bd = acbd3 o若在6个结论中再增加项数于字母，又可得推广的结论：(1) (d+/? + c) - a3 -b3 -c3 = 3(d+ /?)(/? +c)(c + q)；(2) 若a3 +b3

22、 +c3 =(a + b + c)3,则a2n+l + b2n+l + c2n+l = (tz + z? + c)2w+1 ；(3) 若a + b + c + d= o,贝！ja3 +h3 +c3 +d3 =3(abc + bcd + cdd + dab) = 3(d + d)(b + d)(c + d)。这样将一个因式分解的题目变化得到了许多其他的题目，联想丰富，涉及知识面广。将 这种变化过程写成小论文，细细道来，是很有意思的。选这类“一题多变”写小论文，平时应注意收集同类型的习题，分析整理，比较共同点 和不同点，揭示变化的规律，到时方能对学生有较好的引导。4 解题方法的总结学好数学离不开解

23、题，有的学生基础很扎实，因为他们在课外做了不少的习题，从中获 得了许多宝贵的经验，也感受到了解题的乐趣。解题的过程能培养观察、归纳、类比以及严 格表达等一系列能力。解题的基本思路，解题的常用技能技巧，值得认真总结写成小论文。例如，因式分解内容丰富，有许多类型和方法可以总结。像分解“四个一次式的乘积加 上某个数或式”这种类型的题，就有很多解法可以总结写成小论文。一般有以下几种情况:(1) 因式分解(兀+ 1)(兀+ 3)(兀+ 5)(兀+ 7) + 15此题不去括号无法解，全部去括号变成四次式，学生也不会解。怎么办？适当地两两相 乘。关键是保证两两乘积的二次项、一次项相同，仅常数项不同，然后把两

24、个括号内相同部 分看成一个整体相乘、去折号，最后川十字相乘法完成分解。(2) 因式分解(x2+4x + 3)(x2 + 12x + 35)+ 15题中两个二次式无法找出某个整体，但有上题的经验，可将这两个二次式分解为谟四个 一次式相乘的形式，再用上题的方法重新组合，完成分解。(3) 因式分解(x + l)(兀一2)(兀一3)(x + 6)+ 3 x2此题后面加的是二次项，一次式两两相乘应使二次项、常数项相同，仅一次项不同，然 后按某一整体去括号，达到分解目的。(4) 因式分解(x +1)(2% +1)(3%-1)(4%-1) + 6/此题后面加的是四次项，一次式两两相乘应使一次项、常数项相同，

25、仅二次项不同，然 后可再分解下去。以上四题都是直接可得两项相同的情况。下面二题是间接得两项相同的情 况。（5）因式分解（兀一2）（兀+ 3）（2兀+厅+36两两相乘后其中一个括号内提取公因数后可得二项相同，再按前而方法分解。（6）凶式分解（1 x21）（6x-l）（4x-l）（3x-l）-5此题两两相乘后同时在两个括号内分别捉取不同的公因数再分解。掌握了规律，还可进 一步解更复杂的题目，如：（1）解方程（兀+ 2）（兀+ 3）（兀一4）（兀一5）= 4 o（2）求证四个连续偶数的积再加上16后是一个完全平方数。（3）求证（7兀）（3兀）（2兀）（2 +兀）必不大于100o此外，川分组分解方法分

26、解因式，有按乘法公式、按系数比、按某个字母为标准的降次 排列等常用的方法，以及待定系数法、轮换对称法等，均可启发学生写成小论文。5 对教材结构的认识让学牛认识教材结构，可以使他们学习更主动。学有余力的学主若能在这方面下点功夫, 也能写出好的小论文。认识教材结构，主要是明确哪些是最基本的知识，其它知识为它有什么联系，从而形成 整体性的认识。例如初中阶段的方程和方程组，其最基本的知识是一元一次方程。其他各类 方程与它的联系是可设法转化为一元一次方程求解。方法是多元方程（组）一元化，高次方 程低次化，分式方程整数化，无理方程有理化，这样就把握了教材结构。写成论文在同学中 交流也是很有价值的。现在有不

27、少新的实验教材，它们都具有一定的特色，也可以让学牛探讨研究。例如国家 教委组织编写的中学数学实验教材，是一套有特色、有新意的教材。有很多内容的处理 值得总结写成小论文。如这套教材对乘方、指数的知识的出现与发展有三个变化：一是指数 与底数的变化。指数范围逐步扩大（由正整数指数到零指数、负指数、分数指数、实数指数）, 而底数的范围反而缩小（从没有限制到不等于零、大于零）。二是意义的变化。山若干个相 同的数相乘、到规定非零数的零次幕等于1,负指数幕是对应的正指数幕的倒数，而分数指 数慕则是根式。三是作用的变化。作用变得更人了，正幣数指数把连乘法化成乘法，负指数 把除法转化为乘法，分数指数把根式化为幕

28、，从而简便了运算，统一了法则。另外就数的分类和运算，式的分类和运算，函数的图像与性质，三幷形的全等与相似等 内容都可以通过对教材的研究，写成小论文。6 对命题的推广学习数学要做大量的习题,在解题过程中把握命题2间的联系，将类似的命题相互比较， 弄清条件、结论及解题方法上的关系，学握命题从简到繁的演化过程，积极地推广一些命题, 都是值得提侶的学习方法，也是写小论文的课题。例如："正三介形一边的屮点p到另外两 边的距离之和等于高的长”，这个命题是极为简单的，但山此出发可引伸得到一系列有用的 命题。首先将点的位置一般化，可得“正三角形一边上任一点到另外两边的距离z和为定值”;“正三角形内部

29、任一点到各边的距离z和为定值”'若p为正三角形abc外部一点，且在 za 的内部，pd、pe、pf 分别垂直 bc、ac、ab 于 d、e、f,则 pe + pf-fd 为定值”；“若p为正三角形abc外部一点，且在z4之对顶角的内部，pd、pe、pf分 别垂直 bc、ac . abd. e、f,则 pe-pf-fd 为定值”。其次，将边数一般化，可得“正n边形中任一点到各边的距离z和为定值。”再将这些命题从二维平而推广到三维空间，可得“正多面体内任一点到各而的距离之和 为定值。”再将“止三角形”概念一般化，口j得：“等腰三角形底边任一点到两腰距离之和为定值”;“三角形内部任一点到各边

30、距离与对应边的乘积之和为定值”;“三角形内部任一 点到各边原 离与这些边上对应高的比值z和为定值”。最后将“垂直”这个概念一般化，可得“从三角形内任一点分别向三边作斜线，使三斜 线少三边相交成等角，则三斜线长度z和为定值。”以上对命题张开适当的联想，得出许多相关的推广命题，其基本想法是将命题的条件和 结论进行一般化处理。因此教师可引导学牛在解题时，经常想想为什么要有这些条件，条件 能否减少些，条件能否放宽为一燉的情况，还可以得到哪些结论，结论改变后条件如何变化, 等等，为写推广命题方血的小论文作准备。7 拓广内容的学习心得対学有余力的学生,仅仅依靠课堂教学和课本的知识是不够的，需要按学生的实际

31、能力， 进行知识的拓广。这些学生对拓广的知识往往非常感兴趣，有许多心得体会。这很自然地可 以找到写小论文的课题。如学习二次函数，由数形结合可得到关于函数值的符号与二次项系数的关系:设 / (x) = ax?+bx + c(d h 0)(1)b2 -4ac < 0 ,则妙(尢)>0 ( /(兀)与d同号);(2)/b)qf(x)>02ci丿(b 妙=0x =加丿b2 -4ac - 0 ,则(3)h2 -4ac > 0 ,/() = /u2)= 0> 且石< 兀2，则qf (x) > 0(x < x|或x > x2)af (x) < 0(

32、xj < x < x2)这个拓广的结论有广泛的应川。例如：“已知a、b为实数，证明方程x-a)(x-a-b) = 有两个实根，其中一个人于。，另一个小于。”。对于此题，当然可 直接求出两根，然后与q比大小，但用上述结论更方便。可设/(尢)=(兀-q)(兀-d-方)-1,则二次项系数为1,开口向上，乂 /(tz) = -l<0, /./(x) = 0有两根，且西>q, x2 < a o又例如：“求卩的范围使方程(/?-3)?-2/;x + 6p = 0有两符号相反的实根，且最小实根大于-3”。本题中，有异号两实根，.0在两根之间，即/(0)/(/9-3)<0,

33、又-3小于最9小实根，即-3在二根之外，./(0)/(p-3)>0,两式联立解得0此题如设两根 西、兀2,由西花<0,(召+3)(勺+3)>0,根据韦达定理也可得解,但较繁。若直接求 出两根，山小根大于-3得解更繁。乂例如：“求加的范围，使方程mx2-x-i-m = 0的一个根在区间(0,1)内；并求这时 另一根在什么范围内。”木题可这样分析：*. 根在(0, 1)内，另一根可能大于1,也可能小于0,w(0)>0_fn/(o) <0一、1即(i ) q丿或(i【)q丿,(ii)不成立，由(i )解得0<加<一。i吋 v()i吋(1)>02x/ m

34、fv0,另一根大于10 此题用韦达定理解就更困难了。通过拓广结论的应用，可使学牛体会到新方法的优越性，进一步激发学习的兴趣，写出 有一定深度和广度的论文。8 数学思想方法的应用数学教学中,教师不仅要重视学生掌握基本知识的情况,更耍有意识地培养学生分析问 题和解决问题的能力，并尽早渗透介绍-些数学思想方法。对学有余力的学生，更应该以此 来提高他们的数学水平。将学到的数学思想方法加以应用，可以得到很多写小论文的课题。 例如轨迹是初中数学中难度较高的内容，用直觉思维解轨迹题能收到较明显的成效。例如'求底边为定线段bc、顶介为定和&的三角形的内心的轨迹。”对这题可先取若 干个满足的点观

35、察，冇观地估计轨迹是圆或弓形弧，然后进行知识的检索，进入深层的逻辑 思考：设内心为/, /是三角形内角平分线的交点，它到各边的距离相等，但这个距离不是 定值。再由三角形内角和为180°,可得在由两条底角的平分线与底边围成的三角形中，两 na底旳和为90。-一,从而得zb/c = 90° + 一是定值。因此所求轨迹为以bc为弦、所含恻 22ol周和为90' + 的双弓形弧（除b、c）o可见，直觉思维是在知识组块的基础上进行加工,2不需要从头到尾的一步步推理，从而缩短思维的过程。上题如果改为求外心的的轨迹。设外心为o,市上题容易得zboc = 2a ,从而认为轨 迹是以

36、为弦、所含圜周角为2a的双弓形弧（除b、c）o若发挥直觉思维的选择作用， 在己得出的弓形弧上取儿个点观察，就会看到这个结论有问题。细部考察不得要领，而整体 考察则豁然开朗。从总体上看，这样的三角形底边确定，顶点在确定的双弓形弧上，i大1而三 角形的外接圆已确定，即为弓形弧所在的圆，所以外心也就是两个确定的点，即为所求的轨 迹。上题如果改为求重心的的轨迹。此题口然地想到三角形的重心定理，重心到中点的距离 等于重心到对应顶点距离的二分之一、若是则斜边上的中线等于斜边的一边，现在是 一-般三角形中线长不确定，重心到bc中点的距离不一定。于是乂想到zbgc的大小也不 定。怎么办？将两种想法联系起来进行

37、检索，就自然地想到位似形知识，把bc中点看成位 似中心，就能直观得到轨迹是弓弧形。然后再讨论是怎么样的弓弧形，在bc1.取三等分点 e、f ,则 egiiab , fgiibc,从而得 zegf = zbac = a, 为定长，所求的 轨迹是以连结bc的三等分ef的线段为弦，所含【员i周角为&的双弓形弧（除e、f外。这个课题可选的具体内容还有：用分析和综合的思想方法解应用题;用特殊化方法解题; 换元法的应用；旋转法的应用等。以上介绍了八方面供选择的课题，其实还有许多内容可选取，如在钻研教材或阅读巧刊 文章时，敢于思考问题，提出问题，进行质疑、驳斥与补充，这也是一种层次较高的小论文。 总

38、之，小论文题材很广，不宜将学生的思路框得太死了。（二）怎样辅导撰写小论文写小论文是有一定难度的，需要学生付诸艰苦的努力，也需要教师给予满腔热情的辅导。1. 引导学生钻研教材要求学生思考某个或某些知识点在己学数学内容中的地位、作用，它与其他知识的联系、 区别，与后续内容的关系，有什么特点，学习的重点和难点是什么等等。从而进一步认识课 本的知识结构，把体会或值得研究的问题作为小论文内容写出来。如知识至点的深刻理解, 知识难点的突破解决等都可作为课题进行写作。要求学生对每一个概念加以透彻理解，这是 提高解题能力、融会贯通地掌握知识的关键，是把知识学活的必由之路，也是写小论文的皐 础。要求学生重视课木

39、的组织和表达，模仿学习与写作。有时还可发现课本中的不足和问题, “怎样纠止”便是小论文的题材。2 指导学生积累资料写作的灵感与素材来口平时的积累，这项工作一定要有心去做，坚持地做。要指导学牛 把平时看书解题的点滴收获及时记下来，注意收集好的习题和好的解法，收集有研究价值的 问题，收集可参考的资料，并经常加以整理、分类、汇编，以便需耍。材料町用扎记或卡片 的形式保存。3 要求学生勤于思考平吋学习中，无论是看书还是解题，都不能停留于一知半解，而应深究道理，追根到底, 不轻易放过疑问，力争自l1解决，也可向同学和老师请教。经常思考碰到的疑问，把解决疑 问的体会写卜來就是小论文的材料。在解完题日后，不

40、满足于己经会解，还要想想有没有其 他解法，想想题中的条件与结论可否改动，想想这类题有何规律可循，把新的发现记下來。 养成思考的习惯，努力提高思考的质量，小论文的内容就将是丰富而有质量的。4 要求学生善于总结写小论文要在积累材料、勤于思考的基础上善于总结，使认识有不同程度的提高。总结 是整理认识的过程，也是锻炼写作的过程，经过多次的练习，才能顺利地开展写作。5 要求学生多看参考书各类参考书，有关的数学朵，忐和报纸上的文章都是作者们辛勤劳动的成果，其中有许多 借鉴学习的地方。写小论文不能局限于本人的所见所得，应多看多学，开阔视野，从学习模 仿，到引进创新，使小论文内容更加充实，质量进一步提高。6介

41、绍新知识、新方法在课本知识掌握得比较扎实的慕础上，教师町利用兴趣小组等阵地进行课外辅导，拓宽 学生知识面。通过渎书指导或专题讲座，把一些学生能够接受而课本上没有的新知识新方法 介绍给他们。如儿何作图还可以介绍三角形奠基法、交轨法、代数法、位似法作图等，使学 生掌握多种方法，使他们感到实川，能解决问题；还可介绍海涅劳斯和西瓦定理、平移反射、 旋转等几何变换；对选学的内容如位似形耳探求轨迹等，也可详细讲解。此外，还可就几个 棊本的数学思想方法、基木原理作介绍，如化归、数学模型、一般化与特姝化、公理化、归 纳为演绎、类比与联想、分析与综合、猜想为反驳等方法，以及容斥原理、鸽笼原理、等角 原理、对称原

42、理、加法原理、乘法原理等。使学牛学会发现问题、提出问题、解决问题。7 写作指导在学生刚开始写小论文时，应介绍一些小论文的写作知识，如基木格式，写作技巧等。 可以就已经写出的小论文进行评比，开展讨论，更具体地认识小论文该怎么写。当学生写出 小论文后，教师要帮助学生修改。修改可主要从三方而考虑：一是观点是否正确，立意是否 高；二是内容是否充实，例子是否典型有说服力；三是表达是否清晰，条理是否分明。经过 师生共同推敲，使论文更加成熟。（三）组织好小论文的交流研讨小论文写出后应在各种范围内采用多种形式进行交流研讨，即可扩大影响，进一步激励 学习的积极性，乂可进一步修改、提高学生的写作水平。1. 课内交流对于结合教学内容与要求的小论文，可让学生在