初二奥数题及答案

1、.初二数学奥数1、如图，梯形abcd中， adbc， deec， efab 交 bc于点 f， ef ec，连结 df；(1) 试说明梯形abcd是等腰梯形；(2) 如 ad1， bc 3， dc2 ，试判定 dcf的外形；(3) 在条件 2 下，射线 bc上是否存在一点p，使 pcd是等腰三角形，如存在，请直接写出pb的长；如不存在，请说明理由；adebfc.2、在边长为6 的菱形 abcd 中，动点 m 从点 a 动身，沿a b c 向终点c 运动，连接dm 交 ac 于 点 n.（1）如图 251，当点 m 在 ab 边上时，连接bn.求证： abn adn ；如 abc = 60 &#

2、176;， am = 4 ，求点 m 到 ad 的距离；（2）如图 252，如 abc = 90°，记点 m 运动所经过的路程为x（ 6x 12）试问： x 为何值时， adn 为等腰三角形 .3、对于点o、m，点 m沿 mo的方向运动到o左转弯连续运动到n，使 omon，且 om on，这一过程称为m点关于 o点完成一次“左转弯运动”正方形 abcd和点 p，p 点关于 a 左转弯运动到p1，p1 关于 b 左转弯运动到p2，p2 关于 c 左转弯运动到p3，p3 关于 d 左转弯运动到p4， p4 关于 a 左转弯运动到p5，（1）请你在图中用直尺和圆规在图中确定点p1 的位置；

3、（2）连接 p1a、p1b，判定 abp1 与 adp之间有怎样的关系？并说明理由；3 以 d为原点、直线ad为 y 轴建立直角坐标系，并且已知点b 在其次象限，a、p 两点的坐标为（ 0， 4）、（ 1， 1），请你推断： p4、p2021、p2021 三点的坐标baonpm图 1cd图 2.4、如图 1 和 2，在 20× 20 的等距网格（每格的宽和高均是1 个单位长）中， rtabc从点 a 与点 m重合的位置开头，以每秒 1 个单位长的速度先向下平移，当bc边与网的底部重合时，连续同样的速度向右平移，当点 c 与点 p 重合时， rt abc停止移动 . 设运动时间为 x

4、秒， qac的面积为 y.（1）如图 1，当 rt abc向下平移到rt a1b1c1 的位置时，请你在网格中画出rt a1b1c1 关于直线 qn成轴对称的图形；（2）如图 2，在 rt abc向下平移的过程中，请你求出y 与 x 的函数关系式，并说明当x分别取何值时，y 取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？（3）在 rt abc向右平移的过程中，请你说明当x 取何值时， y 取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？.5、如图， abc 中， ab=ac ， b、 c 的平分线交于o 点， 过 o 点作 ef bc 交 ab 、ac 于 e、f1图中有几个等腰三角形.猜

5、想：ef 与 be、 cf 之间有怎样的关系，并说明理由2如图，如ab ac，其他条件不变，图中仍有等腰三角形吗.假如有，分别指出它们在第 1问中 ef 与 be、cf 间的关系仍存在吗.3如图，如 abc 中 b 的平分线 bo 与三角形外角平分线 co 交于 o，过 o 点作oebc 交 ab 于 e，交 ac 于 f这时图中仍有等腰三角形吗 .ef 与 be 、cf 关系又如何 . 说明你的理由；.6、已知， 如图， abc 中， bac=90°，ab=ac,d 为 ac 上一点， 且 bdc=124°，延长 ba 到点 e，使 ae=ad,bd 的延长线交 ce 于

6、点 f，求 e 的度数；.7、如图，正方形abcd的对角线ac,bd 交于点 o，将一三角尺的直角顶点放在点o处，让其绕点 o旋转，三角尺的直角边与正方形abcd的两边交于点e 和 f；通过观看或测量oe,of 的长度，你发觉了什么？试说明理由；.1、解：（ 1）证明： ef=ec ， efc= ecf， ef ab ， b= efc， b= ecf，梯形abcd是等腰梯形；（2） dcf 是等腰直角三角形，证明： de=ec ， ef=ec ， ef=1cd ，2 cdf是直角三角形（假如一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形） ，梯形 abcd是等腰梯形，cf=

7、 df=1 ， dcf 是等腰直角三角形；1 （ bc-ad ）=1， dc=2 ， 由勾股定理得：2（3）共四种情形：pb=1 ， pb=2， pb=3-2 ，pb=3+22、证明：（1）四边形abcd 是菱形， ab=ad ， 1=2又 an=an ， abn adn 解：作mh da 交 da 的延长线于点h 由 ad bc ，得 mah= abc=60 ° 在 rt amh中， mh=am.sin60° =4× sin60° =23 点 m 到 ad 的距离为 23 ah=2 dh=6+2=8 （2）解： abc=90 °，菱形 abc

8、d 是正方形 cad=45 °下面分三种情形：（）如 nd=na ，就 adn= nad=45 °此时，点m 恰好与点b 重合，得x=6 ；（）如 dn=da ，就 dna= dan=45 °此时，点m 恰好与点c 重合，得x=12 ；（）如 an=ad=6 ，就 1= 2ad bc， 1= 4，又 2=3， 3= 4 cm=cn ac=6 2 cm=cn=ac-an=6 2-6故 x=12-cm=12- （ 6 2-6） =18-6 2 综上所述：当x=6 或 12 或 18-6 2 时， adn是等腰三角形；3、解：（ 1）用直尺和圆规作图，作图痕迹清楚；（2

9、） abp1 adp ，且 abp 1 可看成是由adp 绕点 a 顺时针旋转90°而得理由如下：在abp1 和 adp 中，由题意： ab=ad ， ap=ap 1， pad= p1ab ， abp1 adp ，又 abp 1 和 adp 有公共顶点a ，且 pap1=90 °，. abp 1 可看成是由 adp 绕点 a 顺时针旋转90°而得；（3）点 p（ 1， 1）关于点a（ 0，4）左转弯运动到p1（ -3， 3），点 p1（ -3， 3）关于点 b（ -4， 4）左转弯运动到点p2（ -5，3），点 p2（ -5， 3）关于点 c（ -4， 0）左转弯

10、运动到点p3（ -1，1），点 p3（ -1， 1）关于点 d（ 0， 0）左转弯运动到点p4（ 1， 1）， 点 p4（ 1， 1）关于点 a （ 0， 4）左转弯运动到点p5（ -3， 3），点 p5 与点 p1 重合，点p6 与点 p2 重合，点 p2021 的坐标为（ -3，3）点 p2021 的坐标为（ -5，3）4、解：（ 1）如图 1， a 2b2c2 是 a 1b1c1 关于直线qn 成轴对称的图形；（2）当 abc 以每秒 1 个单位长的速度向下平移x 秒时（如图2），就有： ma=x ， mb=x+4 ，mq=20 ，y=s 梯形 qmbc -s amq -sabc1=4+

11、20 ）（ x+4 ） -21 × 20x-21 ×4× 42=2x+40 （ 0 x 16）由一次函数的性质可知：当 x=0 时， y 取得最小值，且y 最小 =40，当 x=16 时， y 取得最大值，且y 最大 =2× 16+40=72 ；（3）解法一：当 abc 连续以每秒1 个单位长的速度向右平移时，此时 16 x 32， pb=20- （ x-16） =36-x ， pc=pb-4=32-x ，y=s 梯形 baqp -s cpq-s abc =-2x+104 （ 16 x 32）由一次函数的性质可知：1（4+20 ）（ 36-x） -21&

12、#215; 20×（ 32-x） -21× 4× 42当 x=32 时， y 取得最小值，且y 最小 =-2 ×32+104=40 ；.当 x=16 时， y 取得最大值，且y 最大 =-2 ×16+104=72 解法二：在 abc 自左向右平移的过程中，qac 在每一时刻的位置都对应着（2）中 qac 某一时刻的位置，使得这样的两个三角形关于直线qn 成轴对称因此，依据轴对称的性质，只需考查 abc 在自上至下平移过程中qac 面积的变化情形， 便可以知道 abc 在自左向右平移过程中qac 面积的变化情形当 x=16 时， y 取得最大值，

13、且y 最大 =72，当 x=32 时， y 取得最小值，且y 最小 =405、解：（ 1）图中有5 个等腰三角形，ef=be+cf ， beo cfo，且这两个三角形均为等腰三角形， 可 得 ef=eo+fo=be+cf ；（2）仍有两个等腰三角形，为beo、 cfo ，如下图所示：ef bc， 2= 3，又 1=2， 1= 3， beo 为等腰三角形，在cfo 中，同理可证ef=be+cf 存在（3）有等腰三角形：beo 、 cfo ，此时 ef=be-cf ，如下图所示：oe bc ， 5=6，又 4= 5， 4=6， beo 是等腰三角形， 在 cfo 中，同理可证cfo 是等腰三角形，此时 ef=be-cf ，.6、解：在 abd 和 ace 中，ab=ac ， dab= cae=90 °ad=ae ， abd ace （ sas）， e=adb adb=180 ° - bdc=180