高二数学选修第一册2020(A版)_《用空间向量研究距离、夹角问题_》高考通关练

1、1 / 12用空间向量研究距离、夹角问题高考通关练一、选择题1.（2020 湖南娄底双峰一中高二期中）已知正三棱柱111abca bc 的侧棱长与底面边长相等，则11ab 与侧面11acc a 所成角的正弦值为（） 。a.64b.104c.22d.17182.(2020 河南焦作高二期末 )如图，在四棱锥pabcd中，pd底面 abcd，四边形 abcd 为正方形，且1pdab，g 为abc 的重心，则 pg 与底面 abcd所成的角满足（）a.4b.2 34cos17c.2 2tan3d.3sin33.(2020 福建泉州高二期末 )在正方体1111abcdabc d 中，动点 m 在线段1

2、ac 上（包括1a ，c 两端点） ，e，f 分别为1,ddad 的中点。若异面直线ef 与 bm 所成的角为，则的取值范围为（）2 / 12a.,6 3b.,43c.,62d.,4 24.(2020 江宁沈阳二中离二（上）期末)已知直三棱柱111abcab c 的各棱长均为1，棱1bb 所在的直线上的动点m 满足1bmbb ，am 与侧面11bbc c 所成的角为，若2,22，则的范围是（）a.,12 6b.,64c.,43d.5,3 125.(2020 湖北八校第一次联考 )在三棱锥pabc中，pa底面 abc，acbc，若2ac，二面角pbca的大小为 60 ，三棱锥pabc的体积为4

3、63，则直线 pb 与平面 pac 所成角的正弦值为（）a.22b.323 / 12c.33d.63二、填空题6.(2020 湖 北 襄 阳 四 中 月 考 ) 如 图 ， 在 正 三 棱 柱111abcabc 中 ，12abacaa，e，f 分别是 bc，11ac 的中点。设 d 是线段11bc （包括两个端点）上的动点，若直线bd 与 ef 所成的角的余弦值为104，则线段 bd 的长为_ 。7.（2020 湖北仙桃中学月考） 如图，正三角形 abc 与正三角形 bcd 所在的平面互相垂直，则直线cd 与平面 abd 所成角的正弦值为 _。8.(2020 四川成都龙泉一中月考 )已知点 e

4、， f 分别在正方体1111abcdabc d 的棱11,bb cc 上，且112,2b eeb cffc ，则平面 aef 与平面 abc 所成的二面角的正切值等于 _。三、解答题9.（2020 湖北武汉调研）如图，在三棱柱111abcabc 中，h 是正方形11aab b的中心，112 2,aac h平面11aab b，且15c h，则二面角111aacb 的余弦值是_。4 / 1210.(2020 广东五校协作体诊断考试)如图，在四面体abcd 中，平面abc平面acd，,30abbc adcdcad。若二面角cabd为 60 ，求异面直线 ad 与 bc 所成角的余弦值。5 / 12参

5、考答案一、选择题1.答案： a解析：建立如图所示的空间直角坐标系（o 为 ac 的中点） ，设正三棱柱的侧棱长为 2，则(0,0,0),( 3,0,0),(0, 1,0)oba，1( 3,0,2)b，则1( 3,1,2),(3,0,0)abbo。又 bo 为侧面11acc a的一个法向量，所以1116sincos,4|ab boab boabbo。2.答案： b解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,1),(1,0,0),(1,1,0), (0,1,0)pabc，所以2 22 2,0 , 13 33 3gpg。易知平面 abcd 的一个法向量为(0,0,1)n，则22213 17cos

6、,1722( 1)33pg n，所 以pg与 平 面abcd所 成 角 的 余 弦 值 为23 172 3411717。6 / 123.答案： a解析：以 d 为原点，1,da dc dd 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系（图略） ，设2da，则1(1,0,0),(0,0,1),(2,2,0),(0,2,0),(2,0,2),febca所以1(1,0, 1),( 2,0,0),(2, 2,2)efbcca，设1(01)cmca， 则(2 , 2 ,2 ),(22, 2 ,2 )cmbmbccm，则 cos|cos,|bm ef，即222cos2(22)822111

7、(01),32 321122 333当时，cos取到最大值32，当1时，cos取到最小值12，又0,2，所以的取值范围为,6 3，故选 a。4.答案： b解析：取 bc 的中点 o，建立如图所示的空间直角坐标系,oxyz 则31130,0,0,2222amam，。平面11bbc c 的一个法向量为(0,1,0)n，232sin| cos,|1am n。7 / 12212,2 ,sin,22264。5.答案： c解析：以点 c 为坐标原点，,ca cb方向为 x 轴、y 轴正方向， z 轴平面 acb，建立空间直角坐标系，如图所示，由已知2,(0,0,0),(2,0,0)acca。pa底面 ab

8、c，bc平面 abc，pabc。又,acbc paaca，bc平面 pac，bcpc，acp即二面角pbca的平面角。又二面角pbca的大小为 60 ，60pca。在 rtpac 中，2,90 ,60 ,acpacpca2 3,pa即(2,0,23)p，122 32 32pacs。三棱锥pabc的体积为4 63，114 6|2 3 |333pabcpacvsbcbc，| 2 2,bc，即(0,22,0)b。bc平面 pac，平面 pac 的一个法向量(0,1,0)n，又( 2,22, 2 3),| 2 6pbpb，2 23cos,3| |2 6n pbn pbnpb，直线 pb 与平面 pac

9、 所成的角,2n pb。3sinsin,cos,23n pbn pb。8 / 12二、填空题6.答案： 2 2解析：以 e 为坐标原点， ea，ec 所在直线分别为 x，y 轴，平面11bccb 内垂直于bc的 直 线 为z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 。 如 图 。 则3 1(0,0,0),2 ,(0, 1,0)22efb，设(0, ,2)( 11)dtt，则3 1,2 ,(0,1,2)22efbdt。设直线 bd 与 ef 所成的角为，则214|102cos4|5 (1)4tef bdefbdt，解得1t，所以22|222 2bd。7.答案：155解析：取 bc 的中点 o，连接

10、 ao，do，建立如图所示的空间直角坐标系oxyz。9 / 12设1bc，则310,0,0,022ab，130,0,0,022cd，所以133 1310,0,0222222babdcd。设平面 abd 的一个法向量为( , , )nx y z ，则0,0,n ban bd所以130,22310,22yzxy取1,3,1xyz则，所以(1,3,1)n，所以15cos,5n cd，因此直线 cd 与平面 abd 所成角的正弦值为155。8.答案：23解析：如图，建立空间直角坐标系。设平面abc 的法向量为1(0,0,1)n，平面aef的 法 向 量 为2( , , )nx y z 。 设 正 方

11、体 的 棱 长 为1 ， 则(1,0,0)a，121,1,0,1,33ef，所以110,1,1,0,33aeef，则10,310,3yzxz取1x，则1,3yz。故2(1 , 1,3)n所以1212123 11cos,11nnnnn n，10 / 12所以平面 aef 与平面 abc 所成的二面角的平面角满足3 11cos11，所以22sin,11所以2tan3。9.答案：27解析：如图，建立空间直角坐标系bxyz，则(0,0,0)b，111(2 2,0,0),(2,2,5),(2 2,22,0),(0,22,0),( 2,2,5)acabc。所以11111(2,2,5),(0,22,0),(

12、 2 2,0,0)acaaab。设平面11aac 的法向量111,mx y z ，则1110,0,m acm aa即11112250,2 20 xyzy。取15x，可得平面11aac 的一个法向量为(5,0,2)m。设平面111ab c 的法向量为222,nxyz则11110,0,n acn a b即22222250,2 20 xyzx。取25y，可得平面111a bc 的一个法向量为(0,5,2)n。于是22cos,|777m nm nm n。观 察 图 形 可 知 要 求 的 二 面 角111aacb 的 平 面 角 为 钝 角 ， 所 以 二 面 角111aacb 的余弦值为27。11

13、/ 12三、解答题10.答案：见解析解析：如图，过线段ac 的中点 f 作fmac，交 ab 于 m。已知adcd，平面 abc平面 acd 易知 fc，fd，fm 两两垂直，以 f 为原点，射线 fm，fc，fd 分别为 x 轴、y 轴、z轴的非负半轴，建立空间直角坐标系。不妨设2ad， 由,30cdadcad， 易知(0,3,0),(0,3,0),(0,0,1)acd，则(0, 3,1)ad。显然向量(0,0,1)k是平面 abc 的一个法向量。已知二面角cabd为 60 ，故可取平面 abd 的一个单位法向量( , )nl m n ，使得,60n k，从而12n。由 nad ，有30mn，从而36m。由2221lmn，得63l。设点