初等数论教案第六节Mersenne数、Fermat数

1、第六节mersenne 数、 fermat 数第七节完全数教学目的：明白mersenne、fermat 、完全数的定义及简洁性质；教学重点： mersenne、fermat、完全数的简洁性质教学课时： 4 课时教学过程一、mersenne 数、fermat 数1、定义 1梅森数 mersenne number：形如 2 p1 的正整数，其中 p 是素数，常记为m p .如 mp 是素数，就称为梅森素数.p 2，3，5，7 时， mp 都是素数，但m 11 204723×89 不是素数.已发觉的最大梅森素数是p24036583 的情形， 此时 m p 是一个7235733 位 数 .是

2、否有无穷多个梅森素数是数论中未解决的难题之一.2、引理设 a0, b0, s1，就 sa1, sb1sa ,b 1.证明：不妨设ab ，由辗转相除法得a = bq1r1，0 < r1 < |b|，b = r1q2r2，0 < r2 < r1 ，rn2 = rn1qnrn，0 < rn < rn-1 ，rn1 = rnqn + 1 ，其中 rn a, b .因此sa1sr1sbq1sb1 sb1，1sr1 1sb1sr2sr1q2，sr11 sr111sr2 1srn 2 1srnsrn1qn1 srn 11srn 1srn 11，rs n 11srnqn 1

3、srn1 s nr1r1 .3、引理2设r 是素数，就r |，其中 1iir1 .证明：略 .r4、引理3设r 是素数，就r | 22 .证明：略 .5、定理1设 p 是一个奇素数，q 是 m p 的一个素因子，就q 形如q2kp1 .证明：由引理3 知 q | 2q 11，又由q | 2 p1，从而有引理1 知 q | 2 p,q 11 ，从而 p, q11 ，故p | q1 .又q1 为偶数，进而得证定理1.n6、定义2 fermat 数fermat number我们把n称为 fermat 数.f221, n0n0,1,2,3,4 时，fn 都是素数 .7、定理2mn ，就 fm , fn

4、 1 .证明：不是一般性， 设 mn0 ，mnk , k0 ，设 l fn , fnk .又fn | f n k2 ，故 l| 2 ，因fn 为奇数，故l1 .二、完全数（ perfect number）1、定义设 n 是一个正整数， 假如 n 的全部因子和等于2n ，那么称 n 为p完全数（ perfect number）.p12、定理 1设 n1k 是 n 的标准分解式， nd |nd 表 示 n的诸因子和，就k1 1k1p1p1n1k.p11pk1证 明 ： 略 . 3、定理2n是一个偶完全数的充要条件是n 具有外形p1p221 ，其中p 与 2 p1均为素数 .证明： n 具有外形2

5、p 1 2 p1 ， 其中p 与 2p1 均为素数， 就 n 的全部因子和为122 p 12 p1122 p 1 故 n为完全数 .= 2 p 12= 2n .2p 1反之，设 n2e q是一个完全数， 这里 q 是一个奇数， e0 ，于是，由定理1， n 的诸因子和为2e11q2e1 q,因此qqd ,dq这里2e11 是一个整数，因此d , q是 q 的因子，又q 为 q 全部因子和，故q 事素数，从而q2e11，因为 q 是素数，从而e1 是素数，令e1p 得证.4、定理3设 n 是一个奇的完全数，就n 具有分解式21npq12tqt，1p其中p,q1, qt是不同的素数，p 和都 是 4h1形的数 .p1证明：设n1k 是 n 的标准分解式，就kp11 1 n1p1k1p1k1pkp12 p1k，不妨设11p1kp4f112 ，2以及1pjj2