高考全国2卷数学理科试题及答案详解

1、2019 全国新课标卷2 理科数学第1页2019 年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国新课标卷 ii) 第卷一、选择题：本大题共12 小题， 每小题 5 分， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2019 课标全国，理 3) 等比数列 an的前n项和为sn. 已知s3a210a1，a59， 则a1( ) a13 b13 c19 d192(2019 课标全国，理 2) 设复数z满足 (1 i)z 2i ， 则z( ) a 1i b 1i c1i d1 i 3 (2019 课标全国，理 1) 已知集合mx|(x1)24，xr ，n1,0,1,2,3， 则mn( ) a0,1,

2、2 b 1,0,1,2 c 1,0,2,3 d0,1,2,3 4(2019 课标全国，理 4) 已知m，n为异面直线，m平面，n平面.直线l满足lm，ln，l，l， 则( ) a且 l b且 l c 与 相交，且交线垂直于l d 与 相交，且交线平行于l 5(2019 课标全国，理 5) 已知 (1 ax)(1 x)5的展开式中x2的系数为5， 则a( ) a 4 b 3 c 2 d 1 6(2019 课标全国，理 6) 执行下面的程序框图，如果输入的n10， 那么输出的s( ) a1111+2310lb1111+2!3!10!lc1111+2311l d1111+2!3!11!l7(2019

3、课标全国，理 7) 一个四面体的顶点在空间直角坐标系oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)， (0,1,1)， (0,0,0)， 画该四面体三视图中的正视图时，以zox平面为投影面，则得到的正视图可以为 ( ) 2019 全国新课标卷2 理科数学第2页8(2019 课标全国，理 8) 设alog36，blog510，clog714， 则( ) acba bbca cacb dabc 9(2019 课标全国，理 9) 已知a0，x，y满足约束条件1,3,3 .xxyya x若z2xy的最小值为1，则a( ) a14 b12 c1 d2 10(2019 课标全国，理 10) 已知函数

4、f(x) x3ax2bxc， 下列结论中错误的是( ) ax0r， f(x0)0 b函数 y f(x)的图像是中心对称图形c若 x0 是 f(x)的极小值点，则 f(x) 在区间 (， x0) 单调递减d若 x0 是 f(x)的极值点，则 f (x0) 0 11(2019 课标全国，理 11) 设抛物线c：y22px(p0) 的焦点为f， 点m在c上， |mf| 5， 若以mf为直径的圆过点(0,2) ， 则c的方程为 ( ) ay2 4x 或 y28x by22x 或 y28x cy2 4x 或 y216x dy22x 或 y216x 12(2019 课标全国，理 12) 已知点a( 1,0

5、) ，b(1,0)，c(0,1) ， 直线yaxb(a0)将abc分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( ) a(0,1) b211,22 c2 11,23 d1 1,3 2第卷本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分13 (2019 课标全国， 理 13) 已知正方形abcd的边长为 2，e为cd的中点， 则ae bduuu r uuu r_. 14(2019 课标全国，理 14) 从n个正整数1,2 ， ，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数

6、之和等于5 的概率为114， 则n_. 2019 全国新课标卷2 理科数学第3页15(2019 课标全国，理 15) 设为第二象限角，若1tan42， 则 sin cos _. 16(2019 课标全国，理 16) 等差数列 an的前n项和为sn， 已知s100，s1525， 则nsn的最小值为 _三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(2019 课标全国，理 17)( 本小题满分12 分) abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c， 已知abcos ccsin b. (1) 求b；(2) 若b 2， 求abc面积的最大值2019 全国新课标卷2 理科数学第4页18(201

7、9 课标全国，理 18)( 本小题满分12 分) 如图， 直三棱柱abca1b1c1中，d，e分别是ab，bb1的中点，aa1accb22ab. (1) 证明：bc1平面a1cd；(2) 求二面角da1ce的正弦值19(2019 课标全国，理 19)( 本小题满分12 分) 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1 t该产品获利润500 元， 未售出的产品，每 1 t亏损 300 元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品以x( 单位：t,100 x150)表示下一个销售季度内的市场需求量，t( 单位：元 ) 表示

8、下一个销售季度内经销该农产品的利润(1) 将t表示为x的函数；(2) 根据直方图估计利润t不少于 57 000 元的概率；(3) 在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率( 例如：若需求量x 100,110)， 则取x105， 且x 105 的概率等于需求量落入100,110)的频率 ) ， 求t的数学期望2019 全国新课标卷2 理科数学第5页20(2019 课标全国，理 20)( 本小题满分12 分) 平面直角坐标系xoy中，过椭圆m：2222=1xyab(ab0) 右焦点的直线30 xy交m于a，b两点，p为ab

9、的中点，且op的斜率为12. (1) 求m的方程；(2)c，d为m上两点，若四边形acbd的对角线cdab， 求四边形acbd面积的最大值21(2019 课标全国，理 21)( 本小题满分12 分) 已知函数f(x) exln(xm) (1) 设x 0是f(x)的极值点，求m， 并讨论f(x) 的单调性；(2) 当m2时，证明f(x) 0. 2019 全国新课标卷2 理科数学第6页请考生在第22、23、24 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号22(2019 课标全国，理 22)( 本小题满分10 分) 选修 41：几何证明选讲如图，cd为abc外接圆的切线，a

10、b的延长线交直线cd于点d，e，f分别为弦ab与弦ac上的点，且bcaedcaf，b，e，f，c四点共圆(1) 证明：ca是abc外接圆的直径；(2) 若dbbeea， 求过b，e，f，c四点的圆的面积与abc外接圆面积的比值23(2019 课标全国，理 23)( 本小题满分10 分) 选修 44：坐标系与参数方程已知动点p，q都在曲线c：2cos ,2sinxtyt(t为参数 ) 上， 对应参数分别为t与t2(0 2) ，m为pq的中点(1) 求m的轨迹的参数方程；(2) 将m到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断m的轨迹是否过坐标原点2019 全国新课标卷2 理科数学第7页24(2019

11、课标全国，理 24)( 本小题满分10 分) 选修 45：不等式选讲设a，b，c均为正数，且abc1， 证明：(1)abbcac13；(2)2221abcbca. 2019 全国新课标卷2 理科数学第8页2019 年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国新课标卷 ii) 第卷一、选择题：本大题共12 小题， 每小题 5 分， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1答案： c 解析： 设数列 an 的公比为q， 若q1， 则由a59， 得a19， 此时s327， 而a210a199， 不满足题意，因此q1.q1 时，s331(1)1aqqa1q 10a1，311qqq10， 整理得

12、q29. a5a1q49， 即 81a19， a119. 2答案： a 解析：2i2i 1i=1i1i1iz22i2 1i. 3答案： a 解析： 解不等式 (x1)2 4， 得 1x 3， 即mx| 1x 3 而n 1,0,1,2,3， 所以mn0,1,2， 故选 a. 4答案： d 解析： 因为m，lm，l， 所以l. 同理可得l. 又因为m，n为异面直线，所以与相交，且l平行于它们的交线故选d. 5答案： d 解析： 因为 (1 x)5的二项展开式的通项为5crrx(0 r 5，rz) ， 则含x2的项为225c xax15c x (105a)x2， 所以 105a5，a 1. 6答案：

13、 b 解析： 由程序框图知，当k1，s0，t1 时，t1，s1；当k2 时，12t，1=1+2s；当k3 时，123t，111+223s；当k4 时，123 4t，1111+22 323 4s；当k10 时，123410tl，1111+2!3!10!sl，k增加 1 变为 11， 满足kn， 输出s， 所以 b正确7答案： a 解析： 如图所示，该四面体在空间直角坐标系oxyz的图像为下图：2019 全国新课标卷2 理科数学第9页则它在平面zox上的投影即正视图为， 故选 a. 8答案： d 解析： 根据公式变形，lg 6lg 21lg 3lg 3a，lg10lg 21lg 5lg 5b，lg

14、14lg 21lg 7lg 7c， 因为lg 7 lg 5 lg 3 ， 所以lg 2lg 2lg 2lg 7lg 5lg 3， 即cba. 故选 d. 9答案： b 解析： 由题意作出1,3xxy所表示的区域如图阴影部分所示，作直线 2xy1，因为直线2xy1 与直线x1 的交点坐标为(1 ， 1)， 结合题意知直线ya(x3) 过点 (1 ， 1) ， 代入得12a， 所以12a. 10答案： c 解析： x0是f(x) 的极小值点，则yf(x) 的图像大致如下图所示，则在( ，x0) 上不单调，故 c不正确2019 全国新课标卷2 理科数学第10页11答案： c 解析： 设点m的坐标为

15、(x0，y0) ， 由抛物线的定义，得|mf| x02p5， 则x052p. 又点f的坐标为,02p， 所以以mf为直径的圆的方程为(xx0)2px(yy0)y0. 将x0，y2 代入得px084y00， 即202y4y08 0， 所以y04. 由20y2px0， 得16252pp， 解之得p 2， 或p8. 所以c的方程为y24x或y216x. 故选 c. 12答案： b 第卷本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分13答案： 2 解析： 以ab所在

16、直线为x轴，ad所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点a的坐标为 (0,0) ， 点b的坐标为 (2,0)， 点d的坐标为(0,2)， 点e的坐标为 (1,2)， 则aeuu u r(1,2) ，bduuu r( 2,2) ， 所以2ae bduuu r uuu r. 14答案： 8 解析： 从 1,2 ， ，n中任取两个不同的数共有2cn种取法，两数之和为 5 的有 (1,4) ， (2,3)2种， 所以221c14n， 即24111142n nn n， 解得n8. 15答案：105解析： 由1tan1tan41tan2， 得 tan 13， 即 sin 13cos . 将其代入s

17、in2cos21， 得210cos19. 因为为第二象限角，所以 cos 3 1010， sin 1010， sin cos 105. 16答案： 49 解析： 设数列 an 的首项为a1， 公差为d， 则s101109102ad 10a145d0， s15115 14152ad15a1 105d25. 联立，得a1 3，23d，所以sn2(1)211032333n nnnn. 2019 全国新课标卷2 理科数学第11页令f(n) nsn， 则32110( )33f nnn，220( )3fnnn. 令f(n) 0， 得n0 或203n. 当203n时，f(n) 0,200 3n时，f(n)

18、0， 所以当203n时，f(n) 取最小值，而nn，则f(6) 48，f(7) 49， 所以当n7 时，f(n) 取最小值 49. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17解： (1) 由已知及正弦定理得sin asin bcos c sin csin b又a (bc) ， 故sin asin(bc) sin bcos ccos bsin c由，和c(0， ) 得 sin bcos b，又b(0 ， ) ， 所以4b. (2) abc的面积12sin24sacbac. 由已知及余弦定理得4a2c22cos4ac. 又a2c22ac， 故422ac， 当且仅当ac时，等号成立因此a

19、bc面积的最大值为2+1. 18解： (1) 连结ac1交a1c于点f， 则f为ac1中点又d是ab中点，连结df， 则bc1df. 因为df? 平面a1cd，bc1平面a1cd，所以bc1平面a1cd. (2) 由accb22ab得，acbc. 以c为坐标原点，cauu u r的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系cxyz. 设ca2， 则d(1,1,0)，e(0,2,1)，a1(2,0,2)，cduuu r (1,1,0)，ceuu u r (0,2,1)，1cauu u r(2,0,2)设n(x1，y1，z1) 是平面a1cd的法向量，则10,0,cdcauuu ruuu rn

20、n即11110,220.xyxz可取n(1 ， 1， 1) 同理，设m是平面a1ce的法向量，则10,0,cecauu u ruu u rmm可取m(2,1 ， 2) 从而 cosn，m3|3n mnm，故 sin n，m63. 2019 全国新课标卷2 理科数学第12页即二面角da1ce的正弦值为63. 19解： (1) 当x100,130)时，t 500x300(130 x) 800x39 000 ，当x130,150时，t500130 65 000. 所以80039000,100130,65000,130150.xxtx(2) 由 (1) 知利润t不少于 57 000 元当且仅当120x

21、150.由直方图知需求量x120,150的频率为0.7 ， 所以下一个销售季度内的利润t不少于 57 000 元的概率的估计值为0.7. (3) 依题意可得t的分布列为t 45 00053 00061 00065 000 p 0.10.20.30.4 所以et45 0000.1 53 0000.2 61 0000.3 65 0000.4 59 400. 20解： (1) 设a(x1，y1) ，b(x2，y2) ，p(x0，y0) ，则221122=1xyab，222222=1xyab，2121=1yyxx，由此可得2212122121=1bxxyyayyxx. 因为x1x22x0，y1y2 2

22、y0，0012yx，所以a22b2. 又由题意知，m的右焦点为 (3， 0) ， 故a2b23. 因此a26，b2 3. 所以m的方程为22=163xy. (2) 由2230,1,63xyxy解得4 3,33,3xy或0,3.xy因此 |ab| 4 63. 由题意可设直线cd的方程为y5 333xnn，设c(x3，y3) ，d(x4，y4)由22,163yxnxy得 3x24nx 2n260. 2019 全国新课标卷2 理科数学第13页于是x3,4222 93nn. 因为直线cd的斜率为1，所以 |cd| 24342 |93xxn. 由已知，四边形acbd的面积218 6| |929scdab

23、n. 当n0 时，s取得最大值，最大值为8 63. 所以四边形acbd面积的最大值为8 63. 21解： (1)f(x) 1exxm. 由x0 是f(x) 的极值点得f(0) 0， 所以m1. 于是f(x) exln(x1) ， 定义域为 ( 1， ) ，f(x) 1e1xx. 函数f(x) 1e1xx在( 1， ) 单调递增，且f(0) 0. 因此当x( 1,0) 时，f(x) 0；当x(0 ， ) 时，f(x) 0. 所以f(x)在 ( 1,0) 单调递减，在(0 ， ) 单调递增(2) 当m2，x (m， ) 时， ln(xm) ln(x2) ， 故只需证明当m2 时，f(x) 0. 当m2 时，函数f(x) 1e2xx在( 2， ) 单调递增又f( 1)0，f(0) 0，故f(x) 0 在( 2， ) 有唯一实根x0， 且x0 ( 1,0) 当x( 2，x0) 时，f(x) 0；当x(x