高考数学三轮冲刺大题提分圆锥曲线：定点定值问题理

1、1 大题精做 10 圆锥曲线：定点、定值问题已知椭圆2222:10 xycabab的右焦点为f，上顶点为m，直线fm的斜率为22，且原点到直线fm的距离为63（1）求椭圆 c 的标准方程；（2）若不经过点f的直线:0,0lykxm km与椭圆 c 交于a，b两点，且与圆221xy相切试探究abf的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由【答案】（1）2213xy； （2） 2 3 【解析】（1）由题可知，,0f c，0,mb ，则22bc，直线fm的方程为1xycb，即0bxcybc，所以2263bcbc，解得1b，2c，又2223abc，所以椭圆c 的标准方程为2213xy（2）因

2、为直线:0,0lykxm km与圆221xy相切，所以211mk，即221mk 设11,a x y，22,b xy，联立2213xyykxm，得222316310kxkmxm，所以22222223612 31112 31240k mkmkmk，122631kmxxk，21223131mx xk，所以22221222 3 113131kabkxxkmk又221mk ，所以22 631mkabk因为2222111116221333xafxyxx，同理2633bfx 所以126233afbfxx，所以abf的周长是1226262 32 3331mkxxk，2 则abf的周长为定值2 3 1 已知椭圆

3、2222:10 xycabab过点61,2， 焦距长 22 ， 过点1,0q的直线 l 交椭圆 c 于a，b两点（1）求椭圆 c 的方程；（2）已知点7,04p，求证： pa pb 为定值2已知椭圆c 的中心在坐标原点，左右焦点分别为11,0f和21,0f，且椭圆 c 经过点31,2m（1）求椭圆 c 的标准方程；（2）过椭圆的右顶点d作两条相互垂直的直线1l ，2l ，分别与椭圆交于点a，b（均异于点d） ，求证：直线ab过定点，并求出该定点的坐标3 3已知椭圆c 的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且椭圆c 的一个顶点与抛物线24 3xy 的焦点重合，离心率为12（1）求椭圆 c 的标准方程；

4、（2） 过椭圆 c 的右焦点f且斜率存在的直线l 交椭圆 c 于p，q 两点，线段 pq 的垂直平分线交x轴于m点，证明：mfpq为定值4 5 1 【答案】（1）22142xy； （2）1516【解析】（1）由条件焦距为2 2 ，知2c，从而将61,2代入方程222212xyaa，可得24a，22b，故椭圆方程为22142xy（2）当直线 l 的斜率不为0 时，设直线:1lxmy交椭圆于11,a x y，22,b xy，由22124xmyxy，可得222230mymy，12222myym，12232y ym，117,4paxy，227,4pbxy，2121212127739144416pa p

5、bxxy ymy ym yy，化简得2236915161622mpa pbm，当直线 l 斜率为 0时，2,0a，2,0b，11515,0,04416pa pb，即证 pa pb 为定值，且为15162 【答案】（1）22143xy； （2）见解析【解析】（1）设椭圆 c 的标准方程为22221xyab，221351122mf，222331122mf，21352422amfmf，2a，222413bac，所以椭圆的标准方程为22143xy（2）直线ab斜率存在，设直线:abykxm ，11,a xy，22,b xy，联立方程22143ykxmxy，消去y得222348430kxmkxm，222

6、26416 3430m kkm，22340km，6 12221228344334mkxxkmxxk，又222212121 21223434mky ykxmkxmk x xmk xxmk，由adbd，得1adbdkk，即1212122yyxx，121212240y yx xxx，22222234431640343434mkmmkkkk，2271640mmkk解得12mk ，227km，且均满足22340km，当12mk 时，直线ab的方程为2yk x，直线过定点2,0，与已知矛盾；当227km时，直线ab的方程为27ykx，直线过定点2,07由椭圆的对称性所得，当直线1l ，2l 的倾斜角分别为

7、45 ， 135 ，易得直线1:2lyx，2:2lyx，直线1l ，2l 分别与椭圆交于点2 12,77a，212,77b，此时直线ab斜率不存在，也过定点2,07，综上所述，直线ab恒过定点2,073 【答案】（1）22143xy； （2）详见解析【解析】 解法一：（1）设椭圆 c 的标准方程为222210 xyabab，由抛物线24 3xy 的焦点为0,3 ，得3b，又12cea，由及222abc ，解得2a，所以椭圆 c 的标准方程为22143xy（2）依题意设直线l 的方程为1yk x，设点11,p xy，22,q xy，当0k时，联立方程221143yk xxy，得222234841

8、20kxk xk，2222284 3441214410kkkk，所以2122834kxxk，212241234kx xk， pq 的中点坐标为22243,3434kkkk，7 pq 的垂直平分线为2223143434kkyxkkk，令0y，得2234mkxk，22223313434kkmfkk，又2222221222112121644 344123434kkpqkxxkkkkk，所以14mfpq，当0k时，点m与原点重合，则1mf，4pq，所以14mfpq；综上所述，mfpq为定值14解法二：（1）同解法一（2）依题意，当直线l 的斜率不为0 时，设直线的方程为10 xmym，设点11,p xy，22,q xy，联立方程221143xmyxy，得2234690mymy，所以2223636 3414410mmm，122634myym，122934y ym，22221222212163611343434mmpqmyymmmm，212122268223434mxxm yymm，所以 pq 的中点坐标为224