高考数学常见题型解法归纳反馈训练第93讲极坐标系与参

1、第 93 讲 极坐标系与参数方程问题的处理【知识要点】一、 在平面内取一个定点o为极点， 引一条射线ox为叫做极轴， 再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系. 对于平面内的点m，设|om，xom，称、为点m的极径、极角，有序数对(, )就叫做m的极坐标 . 二、直角坐标系的原点o为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位. 平面内任意一点p的直角坐标与极坐标分别为),(yx和),(，则由三角函数的定义可以得到：cossinxy（求点的直角坐标的公式） ，222tanxyyx（求点的极坐标的公式, 求极角时要先定位后定量）. =r（

2、）表示过原点且倾斜角为的直线 , =0（）表示过原点且倾斜角为的向上的射线. 三、参数方程的定义：一般地，在平面直角坐标中，如果曲线c上任一点m的坐标, x y都是某个变数t的函数( )( )xf tyg t，反过来，对于t的每个允许值，由函数式( )( )xf tyg t所确定的点( , )m x y都在曲线c上，那么方程( )( )xf tyg t叫做曲线c的参数方程，联系变数, x y的变数t是参变数，简称参数相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的叫普通方程四、常见曲线的参数方程：（ 1）圆22200()()xxyyr的参数方程为sincos00ryyrxx（为参数）；（ 2）椭圆

3、12222byax的参数方程为sincosbyax（为参数）；（3）双曲线12222byax的参数方程tansecbyax（为参数）；（4）抛物线22ypx参数方程222xptypt(t为参数）；（ 5）过定点),(00yxp、倾斜角为的直线的参数方程sincos00tyytxx（t为参数） . 当动点a在定点),(00yxp上方时 ,0,|ttpa且. 当动点b在定点),(00yxp下方时 ,0,|ttpb且. 【方法讲评】方法一转化法解题步骤先把已知条件都化成直角坐标，再利用解析几何的知识解答. 【例 1】 【2017 课标 3，理科 22】在直角坐标系xoy 中，直线l1的参数方程为2+

4、 ,xtykt（t为参数），直线l2的参数方程为2,xmmmyk（为参数）. 设l1与l2的交点为p，当k变化时，p的轨迹为曲线c（1）写出c的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：(cos+sin) -2 =0，m为l3与c的交点，求m的极径 . 【点评】本题就是转化法解答极坐标与参数方程问题的典型例子. 第 2 问直接把条件化成直角坐标再解答，比较直接，解题效率也比较高. 【反馈检测1】在平面直角坐标系xoy中，曲线1c的参数方程为2cos1,2sinxy（为参数）以平面直角坐标系的原点o为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2c的极坐标方程为4s

5、in（1）求曲线1c的普通方程和曲线2c的直角坐标方程； （2）求曲线1c和2c公共弦的长度方法二用极坐标解决解析几何问题解题步骤把已知条件化成极坐标，再利用极坐标的知识解答. 【例 2】 【2017 课标 ii ，理 22】在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1c的极坐标方程为cos4. （ 1）m为曲线1c上的动点， 点p在线段om上，且满足| | 16omop, 求点p的轨迹2c的直角坐标方程；（ 2）设点a的极坐标为(2,)3，点b在曲线2c上，求oab面积的最大值. （ 2）设点b的极坐标为，0bb, 由题设知cos=2，=4boa, 1sin

6、4cossin2332 sin 22332bsoaaob当=-12时， s取得最大值2+ 3，所以 oab面积的最大值为2+ 3. 【点评】 (1) 本题的两问，如果用直角坐标来解答，思路难找，计算量大，解题效率低. 如果用极坐标来解答，问题就简单了很多. (2)怎么联想到利用极坐标解答呢？因为已知里面有信息，譬如，第1 问中，| om |就是点m的极径，|op|就是点p的极径，并且点,mp的极角相同，所以用极坐标解答就自然了，所以我们要注意观察已知的信息. 第 2 小问的观察和思维类似. 【反馈检测2】在直角坐标系xoy中，曲线1:4cxy，曲线21 cos:(sinxcy为参数）， 以坐标

7、原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线12,c c的极坐标方程；（2）若射线:0lp分别交12,c c于,a b两点，求oboa的最大值方法三用圆锥曲线参数方程解决解析几何的问题解题步骤先把某些已知条件化成参数方程，再利用参数方程的知识解答. 【例 3】 【2017 课标 1，理 22】在直角坐标系xoy中，曲线c的参数方程为3cos ,sin ,xy（为参数），直线l的参数方程为4 ,1,xattyt（ 为参数）. （ 1）若1a，求c与l的交点坐标；（2）若c上的点到l的距离的最大值为17 ，求a. 从而c与l的交点坐标为(3,0)，21 24(,)25 25. 【点评】

8、 (1) 本题就是利用圆锥曲线解决解析几何问题的典型例子. 本题如果把已知条件都化成直角坐标再解答，计算量比较复杂，解题效率比较低. 但是如果利用圆锥参数方程设点的坐标，再利用三角函数的知识来解答，计算量小，解题效率高了很多. (2)圆锥曲线的参数方程的一个重要作用就是设点. 所以一般情况下，设点有三种方式，一是利用直角坐标设点，这是最普遍的一种. 二是利用参数方程设点，三是利用极坐标设点，大家要注意灵活选用. 【反馈检测3】 （2016 年全国 iii高考）在直角坐标系xoy中，曲线1c的参数方程为3 cossinxy( 为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2

9、c的极坐标方程为sin()2 24 . （i ）写出1c的普通方程和2c的直角坐标方程；（ii ）设点p在1c上，点q在2c上，求 |pq| 的最小值及此时p的直角坐标 . 方法四用直线参数方程解决解析几何的问题解题步骤先把某些已知条件化成参数方程，再利用参数方程的知识解答. 【例 4】在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为232(252xtty为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点， 以x轴正半轴为极轴） 中，圆c的方程为2 5sin. （1）求圆c的直角坐标方程；（2）设圆c与直线l交于点,a b，若点p的坐标为3,5，求papb. 【点评】（1）直线

10、参数方程中参数t的几何意义是这样的：如果点a在定点p的上方，则点a对应的参数at就表示点a到点p的距离|pa, 即|atpa. 如果点b在定点p的下方，则点b对应的参数bt就表示点b到点p的距离|pb的相反数，即|btpb.（ 2）由 直线参数方程中参数的几何意义得：如果求直线上,a b两点间的距离|ab, 不管,a b两点在哪里，总有| |ababtt. 【反馈检测4】在极坐标系中，曲线c的方程为2cos29，点(23,)6p以极点o为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系（1）求直线op的参数方程和曲线c的直角坐标方程；（2）若直线op与曲线c交于a、b两点，求11|papb的值【反馈检测

11、5】在直角坐标系xoy中，直线l过(2,0)m，倾斜角为（0） 以o为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为2sin4cos（1）求直线l的参数方程和曲线c的直角坐标方程；（2）已知直线l与曲线c交于a、b两点，且|2 |mamb，求直线l的斜率k高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第93 讲：极坐标系与参数方程问题的处理参考答案【反馈检测1 答案】 （1）221:23cxyx,222:(2)4cxy； （ 2）11. 【反馈检测2 答案】 （1） (cos sin ) 4， 2cos ； （2） 1 4(21). 【反馈检测2 详细解析】 （1） c1： (cos sin

12、 ) 4， c2的普通方程为 (x 1)2y21， 所以 2cos （2）设 a(1， )，b(2， ) ，42，则 1 4 cos sin ，22cos ，|ob|oa|21 1 42cos (cos sin ) 1 4(cos 2 sin 2 1) 1 42cos (24)1， 当 8时，|ob|oa|取得最大值 1 4(21) 【反馈检测3 答案】 (1)2212:1,c :403xcyxy； （2）最小值为2，此时p的坐标为3 1(,)2 2. 【反馈检测3 详细解析】 (1)1c的普通方程为2213xy,2c的直角坐标方程为x+y-4=0. (2) 由题意， 可设点 p的直角坐标为3 cos,sin)（，因为2c是直线， 所以 |pq| 的最小值， 即为 p到2c的距离( )d的最小值 , 3cossin4|( )|2 |sin()2|32d. 当且仅当2()6kkz时，( )d取得最小值，最小值为2.此时 p的直角坐标为3 12 2（， ）. 【反馈检测4 答案】 （1）33213.2xtyt，229xy； （2）2. 【反馈检测5 答案】 （1）2cossinxtyt，24yx； （2）2k.【反馈检测5 详