高考数学命题角度5_6圆锥曲线的探究、存在性问题大题

1、命题角度 5.6 ：圆锥曲线的探究、存在性问题1. 已知椭圆c：经过点，离心率，直线 的方程为（1）求椭圆的方程；（2）经过椭圆右焦点的任一直线（不经过点）与椭圆交于两点，设直线与 相交于点，记的斜率分别为，问：是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由【答案】（1）； （ 2）为定值. 试题解析：（1）由点在椭圆上得，由 得，故椭圆的方程为. （2）由题意可设的斜率为，则直线的方程为代入椭圆方程并整理得设，则有在方程中，令得，从而. 又因为共线，则有，即有所以= 将代入得，又，所以为定值. 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线

2、的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用2. 已知椭圆：（） ，以椭圆的短轴为直径的圆经过椭圆左右两个焦点，是椭圆的长轴端点（1）求圆的方程和椭圆的离心率；（2）设， 分别是椭圆和圆上的动点 （， 位于轴两侧），且直线与 轴平行， 直线，分别与轴交于点，试判断与所在的直线是否互相垂直，若是，请证明你的结论；若不是，也请说明理由【答案】（1）; （ 2）与所在的直线互相垂直试题解析：（1）由椭圆定义可得，又且，解得，

3、则圆的方程为，椭圆的离心率（2）如图所示，设（） ，则即又由：，得由：，得所以，所以，所以，即与所在的直线互相垂直点睛：本题考查椭圆方程和圆方程的求法，注意运用椭圆的定义和基本量的关系，考查定值问题的解法，注意运用向量的数量积的性质，向量垂直的条件：数量积为0，考查直线方程和椭圆方程联立，求交点，考查化简整理的运算能力，属于中档题. 3. 椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12,ff，且离心率为12，点p为椭圆上一动点，12f pf内切圆面积的最大值为3. （1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为1a，过右焦点2f的直线l与椭圆相交于,a b两点，连接11,a a a b并延

4、长分别交直线4x于,p q两点，以pq为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由. 【答案】（1）22143xy； （2）1,0和7,0【解析】试题分析： （1）首先设ct，然后根据离心率得到,a b与t的关系，再根据三角形面积取得最大值时点p为短轴端点， 由此求得t的值，从而求得椭圆方程； （2） 首先设出直线ab的方程，并联立椭圆方程，然后利用韦达定理结合向量数量积的坐标运算求得定点坐标（2）设直线的方程为1xty，11,x y，22,xy，联立221143xtyxy可得2234690tyty，则122634tyyt，122934y yt，直线1的方程为1122yyx

5、x，直线1的方程为2222yyxx，则1164,2yx，226q 4,2yx，假设q为直径的圆是否恒过定点,m n，则1164,2ymnx，226q4,2ymnx，2121266q4022yymnnxx，即2121266q4033yymnntyty，即212122212123612184039nty yn yynmt y yt yy，222236129186409369 34ntntnmtttt，即226940ntnm， 若q为直径 的圆是否恒过定点,m n， 即不论t为何值时，q0恒成立，因此，0n，1m或7m，即恒过定点1,0和7,0考点： 1、椭圆的几何性质；2、直线与椭圆的位置关系；3

6、、向量数量积的运算【方法点睛】求解圆锥曲线中的定点与定值问题的方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向4. 已知椭圆2222:1(0)xycabab的离心率为32，四个顶点构成的菱形的面积是4，圆222:1(01)mxyrr过椭圆c的上顶点a作圆m的两条切线分别与椭圆c相交于,b d两点（不同于点a） ，直线,ab ad的斜率分别为12,k k. （1）求椭圆c的方程；（2）当r变化时，求12k k的值；试问直线bd是否过某个定点？若是

7、，求出该定点；若不是，请说明理由. 【答案】（1）2214xy； （ 2）见 解析 . 【解析】试题分析：（ 1）由题设知，32ca，12242ab，又222abc，解得2,1ab，由此可得求椭圆c的方程；（2）1:1abyk x，则有12111krk，化简得222111210rkkr，对于直线2:1adyk x，同理有222221210rkkr，于是12,kk是方程2221210rkkr的两实根，故121k k，即可证明结果；考虑到1r时，d是椭圆的下顶点，b趋近于椭圆的上顶点，故bd若过定点，则猜想定点在y轴上 . 由122114yk xxy，得22114180kxk x，于是有22112

8、222221122841841,41414141kkkkbdkkkk， 直线bd的斜率为123bdkkk， 直线bd的方程为21121221141841341kkkkyxkk，令0 x，得221121122211141820554134133 41kkkkkykkk，即可证明直线bd过定点 . 试题解析：（1）由题设知，32ca，12242ab，又222abc，解得2,1ab. 故所求椭圆c的方程是2214xy. 由122114yk xxy，得22114180kxk x，于是有22112222221122841841,41414141kkkkbdkkkk. 直线bd的斜率为123bdkkk，直

9、线bd的方程为21121221141841341kkkkyxkk，令0 x，得221121122211141820554134133 41kkkkkykkk，故直线bd过定点50,3. 5. 已知1f：22327xy与2f：2233xy，以1f，2f分别为左右焦点的椭圆c：22221(0)xyabab经过两圆的交点。（）求椭圆c的方程；（）m、n是椭圆c上的两点，若直线om与on的斜率之积为14，试问omn的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由。【答案】（）221123xy; （）omn的面积为定值3. 【解析】试题分析： （）设两圆的交点为q，依题意有11qfqf解得a，进

10、而得2b；（ ） 讨 论 斜 率 不 存 在 和 斜 率 存 在 时 两 种 情 况 ， 设 直 线mn的 方 程 为ykxm，11,mx y，22,n xy，直线与椭圆联立得122841kmxxk，212241241mx xk，由14omonkk，得222123mk，表示面积即可得定值. 试题解析：（ ）1当直 线mn的斜率不存在 时，设11,mx y11,n xy11111111,42omony yykkx xx又2211116116,663.12322omnxyxys2设直线mn的方程为ykxm，11,mx y，22,n xy，由221123ykxmxy，得2224184120kxkmx

11、m，由222264414120k mkm，得221230km（*）且122841kmxxk，212241241mx xk，22221212121221241mky ykxmkxmk x xkm xxmk121214omony ykkx x，2221214124mkm，整理得222123mk，代入（ * ）得0m，2222122284121144141kmmmnkxxkkk22222248 41166 1141kmkkmk原点o到直线mn的距离21mdk2211 6 13221omnmksmn dmk（定值）。综上所述，omn的面积为定值3. 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定

12、“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 6. 已知椭圆2222:1xycab（0ab） 的左、右顶点分别为12,a a，左、 右焦点分别为12,f f，离心率为12，点4,0b，2f为线段1a b的中点 . （1）求椭圆c的方程；（2）若过点b且斜率不为0 的直线l与椭圆c的交于,mn两点，已知直线1a m与2a m相交于点g，试判断点g是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由. 【答

13、案】（）22143xy（）详见解析试题解析 : （）设点12,0 ,0aafc， 由题意可知：42ac， 即42ac又因为椭圆的离心率12cea，即2ac联立方程可得：2,1ac，则2223bac所以椭圆c的方程为22143xy（）方法一：根据椭圆的对称性猜测点g是与y轴平行的直线0 xx上假设当点m为椭圆的上顶点时， 直线l的方程为344 30 xy， 此时点n8 3 3,55，则联立直线1:322 30a mlxy和直线2:3326 30a nlxy可得点3 31,2g据此猜想点g在直线1x上，下面对猜想给予证明：设1122,mx yn xy，联立方程224143yk xxy可得：2222

14、343264120,0kxk xk由韦达定理可得21223234kxxk，2122641234kx xk（*）因为直线111:22a mylyxx，222:22a nylyxx，联 立 两 直 线 方 程 得12122222yyxxxx（ 其 中x为g点 的 横 坐 标 ） 即 证 ：1212322yyxx，即122134242k xxk xx，即证1212410160 x xxx将（ * ）代入上式可得2222222464121032160163203403434kkkkkkk此式明显成立，原命题得证所以点g在定直线上1x上方法二：设112233,mx yn xyg xy，123,x xx两

15、两不等，因为,b m n三点共线，所以221222121222221212123 13 144444444xxyyyyxxxxxx，整理得：12122580 x xxx又1,a m g三点共线，有：313122yyxx又2,an g三点共线，有：323222yyxx 将与两式相除得：即2211212331212122224222224xxx xxxxxxxx xxx，将12122580 x xxx即12125402x xxx代入得：233292xx解得34x（舍去）或31x，所以点g在定直线1x上方法三：显然l与x轴不垂直，设的方程为4yk x，1122,mx yn xy. 由224143yk

16、 xxy得2222343264120,0kxk xk. 设112233,mx yn xyg xy，123,x xx两两不等，则21223234kxxk，2122641234kx xk，22121212212 144,34kxxxxx xk由1,a m g三点 共线，有：313122yyxx由2,an g三点共线，有：323222yyxx与两式相除得：解得34x（舍去）或31x，所以点g在定直线1x上点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之

17、前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 7. 在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆2222:1xyeab（0ab） ，圆222:o xyr（0rb） ，若圆o的一条切线:lykxm与椭圆e相交于,a b两点 . （1）当12k，1r时，若点,a b都在坐标轴的正半轴上，求椭圆e的方程；（2）若以ab为直径的圆经过坐标原点o，探究, ,a b r是否满足222111abr，并说明理由 . 【答案】（1）224155xy（2）222111abr【解析】试题分析： （1）利用点到直线的距离公式可求得52m，由点,a b都在坐标轴的正半轴上，即可求得a和b的

18、值，求得椭圆方程；（2）由以ab为直径的圆经过点o，可得?0oa ob，即12120 x xy y，由,a b在直线l上，可将12y y用12x x表示，然后联立直线与椭圆的方程结合韦达定理得12x x，化简可得结论. 试题解析：（1）直线l与o相切，21mrk. 由12k，1r，解得52m. 点,a b都在坐标轴正半轴上，15:22lyx. 切线l与坐标轴的交点为50,2，5,0. 5a，52b. 椭圆e的方程是224155xy. （2）, ,a b r的关系满足222111abr. 证明如下：设11,a x y，22,b xy以ab为直径的圆经过点o，?0oa ob，即12120 x xy

19、 y. 点,a b在直线l上，1122ykxmykxm. 22121210kx xmk xxm（* ）由2222220ykxmb xa ya b消去y，得2222222220b xak xkmxma b. 即22222222220ba kxkma xa ma b显然0由一元二次方程根与系数的关系，得2122222222122222kmaxxba ka ma bx xba k代入（ * ）式，得2222222222222222222222a ma m ka ba b kk m am ba k mba k. 整理，得222222220maba ba b k. 又由（ 1） ，有2221mkr. 消

20、去2m，得222222211kraba bk222111abr, ,a b r满足等 量关系222111abr. 点睛：本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与圆的位置关系之相切以及直线与椭圆的位置关系之相交与韦达定理相结合，计算量较大，由一定难度；由直线与坐标轴的交点可得椭圆中的a，b的值，即可得椭圆的方程，对于第二问主要用到直径所对的圆周角为直角转化为向量的数量积为0，由直线相交得12y y与12x x的关系，最后用到最常见的直线与椭圆相交联立方程组与韦达定理结合，得12x x. 8. 已知椭圆经过点，且离心率为（）求椭圆的方程；（）设是椭圆上的点，直线与（为坐标原点）的斜率之积为若动点满足，

21、试探究是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（）; （）见解析. 【解析】试题分析： ( ) 利用椭圆的离心率计算公式和点在椭圆上列方程组求解即可得出( ) 利用向量的坐标运算、点在椭圆上满足椭圆的方程、斜率计算公式及其椭圆的定义即可得出试题解析：( ) 又椭圆经过点解得：，所以椭圆的方程为设，分别为直线与的斜率，由题意知，因此所以，所以点是椭圆上的点，所以由椭圆的定义知存在点，满足为定值又因为，所以坐标分别为、9. 已知右焦点为f的椭圆222:1(3)3xymaa与直线37y相交于p、q两点，且pfqf. （1）求椭圆m的方程；（2）o为坐标原点，a，b

22、，c是椭圆e上不同的三点，并且o为abc的重心，试探究abc的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由. 【答案】 (1) 22143xy；(2) 是，92. 【解析】（1）设,0f c，3,7p t，则3,7qt，22317ta，即2247ta，pfqf，33771tctc，即2297ct，由得224977ca，又223ac，24a，椭圆m的方程为22143xy（2）设直线ab方程为：ykxm，由22143xyykxm得2223484120kxkmxm，122122834634kmxxkmyyko为重心，2286,3434kmmocoaobkk，c点在椭圆e上，故有2222863

23、434143kmmkk，可得22443mk，而222222222284124 1141293343434kmmkabkkmkkk，点c到直线ab的距离231mdk（d是原点到ab距离的 3 倍得到），2222226619129312323442abcmmsab dkmmmkm，当直线ab斜率不存在时，3ab，3d，92abcs，abc的面积为定值9210. 在平面直角坐标系xoy中，已知动点m到定点1,0f的距离与到定直线3x的距离之比为33（1）求动点m的轨迹c的方程；（2）已知p为定直线3x上一点 . 过点f作fp的垂线交轨迹c于点g（g不在y轴上），求证：直线pg与og的斜率之积是定值；若点p的坐标为3,3，过点p作动直线l交轨迹c于不同两点rt、，线段rt上的点h满足prrhptht，求证：点h恒在一条定直线上. 【答案】（1）22132xy（2）直线pg与og的斜率之积为定值23点h在定直线2320 xy上【解析】 试题分析： （1）设动点坐标( ,x y）， 直接利用轨迹方程定义计算即可；（2）3,pt令，令00,g xy，由fgfp，得0fg fp，即001,?2,0 xyt，即0022tyx，又因为点0