高考数学知识与方法点拔汇编

1、高考数学知识点与方法点拔汇编第1页共18页1 高考数学知识与方法点拨汇编第一部分集合1理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？；2数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具， 将抽象的代数问题具体化、形象化、 直观化， 然后利用数形结合的思想方法解决；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。3 （ 1）含 n 个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n1；非空真子集的数为2n-2；（2）;bbaababa注意：讨论的时候不要遗忘了a的情况；（3）)()()();()()(bcacbacb

2、cacbaciiiiii。第二部分函数与导数1映射： 注意第一个集合中的元素必须有象；一对一，或多对一。2函数值域的求法：直接法；配方法；导数法；利用函数单调性；换元法；利用均值不等式2222babaab； 利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等） ；利用函数有界性（xa、xsin、xcos等） ；判别式法3复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法：若 f(x) 的定义域为 a，b,则复合函数 fg(x) 的定义域由不等式ag(x) b 解出若 fg(x) 的定义域为 a,b,求 f(x) 的定义域，相当于 xa,b时，求 g(x)的值域。（2）复合函数单调性的判定：首先将原函数

3、)(xgfy分解为基本函数：内函数)(xgu与外函数)(ufy；分别研究内、 外函数在各自定义域内的单调性；根据 “同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。注意：外函数)(ufy的定义域是内函数)(xgu的值域。4分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。5函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；)(xf是奇函数1)()(0)()()()(xfxfxfxfxfxf；)(xf是偶函数1)()(0)()()()(xfxfxfxfxfxf；奇函数)(xf在原点有定义，则0)0(f；在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有

4、相反的单调性；高考数学知识点与方法点拔汇编第2页共18页2 （6）若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；6函数的单调性单调性的定义：)(xf在区间m上是增（减）函数,21mxx当21xx时)0(0)()(21xfxf)0(0)()()(2121xfxfxx)0(0)()(2121xxxfxf；单调性的判定定义法：注意：一般要将式子)()(21xfxf化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；导数法（见导数部分）；复合函数法（见2 （2） ） ；图像法。注：证明单调性主要用定义法和导数法。7函数的周期性(1)周期性的定义：对定义域内的任意x，若有)()(xftxf（其中t

5、为非零常数） ，则称函数)(xf为周期函数，t为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。（2）三角函数的周期2:sintxy；2:costxy；txy:tan；|2:)cos(),sin(txayxay；|:tantxy；函数周期的判定：定义法（试值）图像法公式法（利用（2）中结论）与周期有关的结论：)()(axfaxf或)0)()2(axfaxf)(xf的周期为a2；)(xfy的图象关于点)0 ,(),0 ,(ba中心对称)(xf周期 2ba；)(xfy的图象关于直线bxax,轴对称)(xf周期为 2ba；)(xfy的图象关于点)0,(

6、a中心对称，直线bx轴对称)(xf周期 4ba；8基本初等函数的图像与性质幂函数：xy（)r；指数函数：)1,0(aaayx；对数函数 :) 1,0(logaaxya；正弦函数 :xysin；余弦函数：xycos； （ 6）正切函数：xytan；一元二次函数：02cbxax；其它常用函数： 正比例函数：)0(kkxy；反比例函数：)0(kxky；特别的xy1，高考数学知识点与方法点拔汇编第3页共18页3 “勾”函数：)0(axaxy；9二次函数：解析式：一般式：cbxaxxf2)(；顶点式：khxaxf2)()(，),(kh为顶点；零点式：)()(21xxxxaxf。二次函数问题解决需考虑的因

7、素：开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式；两根符号。二次函数问题解决方法：数形结合；分类讨论。10函数图象 图象作法：描点法（注意三角函数的五点作图）图象变换法导数法图象变换：平移变换：)()(axfyxfy，)0(a左“ +”右“ -” ；)0( ,)()(kkxfyxfy上“ +”下“ - ” ；伸缩变换：)()(xfyxfy， （)0纵坐标不变，横坐标伸长为原来的1倍；)()(xafyxfy， （)0a横坐标不变，纵坐标伸长为原来的a倍；对称变换：)(xfy)0,0()( xfy；)(xfy0y)(xfy；)(xfy0 x)( xfy； )(xfyxy)(1xfy；翻转变换：|

8、)(|)(xfyxfy右不动，右向左翻（)(xf在y左侧图象去掉） ；|)(|)(xfyxfy上不动，下向上翻（|)(xf| 在x下面无图象） ；11函数图象（曲线）对称性的证明(1)证明函数)(xfy图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（2）证明函数)(xfy与)(xgy图象的对称性，即证明)(xfy图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在)(xgy的图象上，反之亦然；注：曲线c1:f(x,y)=0 关于点（ a,b）的对称曲线c2方程为： f(2ax,2by)=0; 曲线 c1:f(x,y)=0 关于直线x=a 的对称曲线c2方程为： f(2ax,

9、 y)=0; 曲线 c1： f(x,y)=0, 关于 y=x+a( 或 y= x+a)的对称曲线c2的方程为f(ya,x+a)=0(或 f(y+a,x+a)=0); f(a+x)=f(b x) （xr）y=f(x) 图像关于直线x=2ba对称；特别地： f(a+x)=f(a x) （ xr）y=f(x) 图像关于直线x=a 对称；高考数学知识点与方法点拔汇编第4页共18页4 函数 y=f(x a)与 y=f(b x)的图像关于直线x=2ba对称；12函数零点的求法：直接法（求0)(xf的根）；图象法；二分法.13导数导数定义：f(x) 在点 x0处的导数记作xxfxxfxfyxxx)()(li

10、m)(00000；常见函数的导数公式: c0；1)(nnnxx；xxcos)(sin；xxsin)(cos；aaaxxln)(；xxee)(；axxaln1)(log；xx1)(ln。导数的四则运算法则：;)( ;)( ;)(2vvuvuvuvuvuuvvuvu导数的应用：利用导数求切线：注意： 所给点是切点吗？所求的是“在” 还是“过”该点的切线？利用导数判断函数单调性：)(0)(xfxf是增函数；)(0)(xfxf为减函数；)(0)(xfxf为常数；利用导数求极值：求导数)(xf；求方程0)(xf的根；列表得极值。利用导数最大值与最小值：求的极值；求区间端点值（如果有）；得最值。第三部分三

11、角函数、三角恒等变换与解三角形1角度制与弧度制的互化：弧度180，1801弧度，1弧度)180(1857弧长公式：rl；扇形面积公式：rlrs21212。2三角函数定义：角中边上任意一点p为),(yx，设rop |则：,cos,sinrxryxytan3三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；4诱导公式记忆规律： “函数名不（改）变，符号看象限”；5)sin(xay对称轴：2kx；对称中心：)(0,(zkk；)cos( xay对称轴：kx；对称中心：)(0,2(zkk；6同角三角函数的基本关系：xxxxxtancossin; 1cossin22；7两角和与差的正弦、余弦、正切公式：;

12、sincoscossin)sin(高考数学知识点与方法点拔汇编第5页共18页5 ;sinsincoscos)cos(tantan1tantan)tan(。8二倍角公式：cossin22sin；2222sin211cos2sincos2cos；2tan1tan22tan。9正、余弦定理正弦定理rccbbaa2sinsinsin（r2是abc外接圆直径）注：cbacbasin:sin:sin:；crcbrbarasin2,sin2,sin2；cbacbaccbbaasinsinsinsinsinsin。余弦定理：abccbacos2222等三个；注：bcacba2cos222等三个。10、几个公式

13、 :三角形面积公式：)(21( , )()(sin2121cbapcpbpappcabahsabc；内切圆半径r=cbasabc2；外接圆直径2r=;sinsinsinccbbaa11已知aba,时三角形解的个数的判定：第四部分立体几何1表（侧）面积与体积公式：柱体：表面积：s=s侧+2s底；侧面积：s侧=rh2；体积： v=s底h 锥体：表面积：s=s侧+s底；侧面积：s侧=rl；体积： v=31s底h：台体：表面积： s=s侧+s上底s下底；侧面积： s侧=lrr)(；体积： v=31（s+sss）h；球体：表面积：s=24 r；体积： v=334r。2位置关系的证明（主要方法）：直线与直

14、线平行：公理4；线面平行的性质定理；面面平行的性质定理。直线与平面平行：线面平行的判定定理；面面平行线面平行。a b a c h 其中 h=bsina, a 为锐角时： ah 时，无解；a=h 时，一解（直角）；hab 时，一解（锐角） 。高考数学知识点与方法点拔汇编第6页共18页6 平面与平面平行：面面平行的判定定理及推论；垂直于同一直线的两平面平行。直线与平面垂直：直线与平面垂直的判定定理；面面垂直的性质定理。平面与平面垂直：定义-两平面所成二面角为直角；面面垂直的判定定理。3结论： 从一点o 出发的三条射线oa、ob、oc，若 aob= aoc ，则点 a 在平面boc 上的射影在boc

15、 的平分线上； 立平斜公式(最小角定理公式)：;coscoscos21正棱锥的各侧面与底面所成的角相等记为，则 s侧cos=s底；长方体的性质长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,则：cos2+cos2+cos2=1；sin2+sin2+sin2=2 。长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,则有cos2+cos2+cos2=2；sin2+sin2+sin2=1 。正四面体的性质：设棱长为a，则正四面体的：高：ah36；对棱间距离：a22；相邻两面所成角余弦值：31；内切球半径：a126；外接球半径：a46；体积：3212a。第五部分直线与圆1 直线方程 点斜式：)(xx

16、kyy； 斜截式：bkxy； 截距式：1byax；两点式：121121xxxxyyyy；一般式：0cbyax， （a，b 不全为 0） 。 （直线的方向向量： （), ab，法向量（),ba2求解线性规划问题的步骤是：（1）列约束条件； （2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。3两条直线的位置关系：直线方程平行的充要条件垂直的充要条件备注222111:bxkylbxkyl1212,kk bb121kk21,ll有斜率0:1111cybxal,1221baba且02121bbaa不可写成0:2222cybxal1221cbcb（验证）分式高考数学知识点与方法点拔汇编第7页共18页

17、7 4直线系5几个公式设 a（x1,y1） 、b(x2,y2)、 c（ x3,y3） ， abc 的重心 g： （3,3321321yyyxxx） ；点 p（x0,y0）到直线ax+by+c=0的距离：2200bacbyaxd；两条平行线ax+by+c1=0 与 ax+by+c2=0 的距离是2221baccd；6圆的方程：标准方程：222)()(rbyax；222ryx。一般方程：022feydxyx（)0422fed注： ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0 表示圆a=c 0 且 b=0 且 d2+e24af0 ；7圆的方程的求法：待定系数法；几何法；圆系法。8圆系： )1( ,0)

18、(2222211122fyexdyxfyexdyx；注：当1时表示两圆交线。) 1( ,0)(22cbyaxfeydxyx。9点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）点与圆的位置关系： （d表示点到圆心的距离）rd点在圆上；rd点在圆内；rd点在圆外。直线与圆的位置关系：（d表示圆心到直线的距离）rd相切；rd相交；rd相离。圆与圆的位置关系： （d表示圆心距，rr,表示两圆半径，且rr）rrd相离；rrd外切；rrdrr相交；rrd内切；rrd0内含。10与圆有关的结论：过圆 x2+y2=r2上的点 m(x0,y0)的切线方程为：x0 x+y0y=r2；过圆 (x- a)2+(y- b)2

19、=r2上的点 m(x0,y0)的切线方程为：(x0- a)(x- a)+(y0- b)(y- b)=r2；直线方程bkxy0cbyax平行直线系mkxy0mbyax垂直直线系mxky10maybx相交直线系0)(222111cybxacybxa高考数学知识点与方法点拔汇编第8页共18页8 以 a(x1，y2)、b(x2,y2)为直径的圆的方程：(xx1)(xx2)+(yy1)(y y2)=0。第六部分圆锥曲线1定义： 椭圆：|)|2( ,2|2121ffaamfmf；双曲线：|)|2(,2|2121ffaamfmf；抛物线：略2结论焦半径：椭圆：0201,exapfexapf（e 为离心率）；

20、 （左“ +”右“-” ） ；抛物线：20pxpf弦长公式：4)(1(1212212122xxxxkxxkab4)()11(11212212122yyyykyyk；注： （）焦点弦长： 椭圆：)(2|21xxeaab；抛物线：abx1+x2+p=2sin2p；（）通径（最短弦） ：椭圆、双曲线：ab22；抛物线：2p。过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：122nymx（nm,同时大于0 时表示椭圆，0mn时表示双曲线） ；椭圆中的结论：内接矩形最大面积： 2ab；p，q为椭圆上任意两点，且op0q ，则222211|1|1baoqop；椭圆焦点三角形：2tan221bsfpf， （21pff）

21、 ；点m是21fpf内心，pm交21ff于点n，则camnpm|；当点p与椭圆短轴顶点重合时21pff最大；双曲线中的结论：双曲线12222byax（a0,b0）的渐近线：02222byax；共渐进线xaby的双曲线标准方程为(2222byax为参数，0） ；双曲线焦点三角形：2cot221bsfpf，（21pff） ； p 是双曲线22ax22by=1(a0，b0)的左（右）支上一点，f1、 f2分别为左、右焦点，则pf1f2的内切圆的圆心横坐标为)( , aa；高考数学知识点与方法点拔汇编第9页共18页9 双曲线为等轴双曲线2e渐近线为xy渐近线互相垂直；（6）抛物线中的结论：抛物线y2=

22、2px(p0) 的焦点弦ab 性质： x1x2=42p；y1y2=p2；pbfaf2|1|1；以 ab 为直径的圆与准线相切；以 af（或 bf）为直径的圆与y轴相切； sin22psaob。抛物线y2=2px(p0) 内结直角三角形oab 的性质：2212214,4pyypxx；abl恒过定点)0,2(p；ba,中点轨迹方程：)2(2pxpy；abom，则m轨迹方程为：222)(pypx；2min4)(psaob。抛物线y2=2px(p0) ，对称轴上一定点)0,(aa，则：当pa0时，顶点到点a 距离最小，最小值为a；当pa时，抛物线上有关于x轴对称的两点到点a 距离最小，最小值为22pa

23、p。3直线与圆锥曲线问题解法：直接法（通法） ：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。注意以下问题：联立的关于“x”还是关于“y”的一元二次方程？直线斜率不存在时考虑了吗？判别式验证了吗？设而不求（代点相减法）： - 处理弦中点问题步骤如下：设点a(x1，y1)、 b(x2,y2)；作差得2121xxyykab；解决问题。4求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义；（2）直接法（列等式） ； （3）代入法（相关点法或转移法） ；待定系数法； （5）参数法。第七部分平面向量设 a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则：a b(b0)a=b （)rx1y2 x2y1=0； ab

24、( a、 b0)ab=0 x1x2+y1y2=0 . ab=| a| b|cos=x2+y1y2； cos=|baba；注： | a|cos叫做 a 在 b 方向上的投影；| b|cos叫做 b 在 a 方向上的投影；高考数学知识点与方法点拔汇编第10页共18页10 ab 的几何意义： ab 等于 | a| 与 | b| 在 a 方向上的投影 | b|cos的乘积。三点共线的充要条件p，a， b三点共线) 1yx(且obyoaxop；第八部分数列1定义：等差数列*), 2(2(11n1nnnnaaaddaaannnn为常数）bnansbknann2；等比数列n)n2,(n)0(1n1-n2n1

25、nnaaaqqaaan)0k,1q,0q(kqksn0,(n的常数）均为不为qccqann；2等差、等比数列性质等差数列等比数列通项公式dnaan) 1(111nnqaa前 n 项和dnnnaaansnn2) 1(2)(11qqaaqqasqnasqnnnn11)1(1.2;1.1111时，时，性质an=am+ (nm)d, an=amqn-m; m+n=p+q 时 am+an=ap+aq m+n=p+q 时 aman=apaq ,232kkkkksssss成 ap ,232kkkkksssss成 gp ,2mkmkkaaa成 ap,mdd,2mkmkkaaa成 gp,mqq等差数列特有性质：

26、项数为2n 时： s2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n)；nds奇偶s；1nnaas偶奇s；项数为2n-1 时： s2n-1=(2n-1)中a；中偶奇ass-；1-nns偶奇s；若0)(,nmmnanmnama，则；若)(,nmsnsmsnmmn则；若0)( ,nmmnsnmss，则。3数列通项的求法：归纳法；定义法（利用ap,gp 的定义）；公式法：累加法（nnncaa1；an= s1(n=1)snsn-1 (n2) 高考数学知识点与方法点拔汇编第11页共18页11 叠乘法（nnncaa1型） ；构造法（bkaann 1型） ； （6）迭代法；间接法（例如：4114111nnnnn

27、naaaaaa） ；作商法（nncaaa21型）注： 当遇到qaadaannnn1111或时，要分奇数项偶数项讨论，结果是分段形式。4前n项和的求法： 公式法；（2）拆、并、裂项法； （3）倒序相加法； （4）错位相减法。5等差数列前n 项和最值的求法：000011nnnnaaaa或；利用二次函数的图象与性质。第九部分不等式1均值不等式：2222babaab注意：一正二定三相等；变形，2)2(222babaab。2 （了解）绝对值不等式：|bababa3不等式的性质：abba；cacbba,；cbcaba；dcba,dbca；bdaccba0,；bcaccba0,；,0babdacdc0；)(00nnbabann； （6）0ba)(nnbann。4不等式等证明（主要）方法：比较法：作差或作比；综合法；分析法。第十部分复数1概念： z=a+birb=0 (a,br)z=zz2 0；z=a+bi 是虚数b0(a,br)；z=a+bi 是纯虚数a=0 且 b0(a,br