北京海淀五所重点中学高三四月联考文科数学

1、北京海淀五所重点中学高三四月联考文科数学【试题部分】第一卷 满分 50 分 一、挑选题 本大题共10 小题，每道题5 分，共 50 分，在每道题给出的四个选项中，只有哪一项符合题目要求的1. 不等式 xx20 的解集是 1a. ,11,2b. 1,2c. ,12,d. 1,22. 复数2iabi i 是虚数单位，a 、 br ，就1ia. a1， b1b. a1 ， b1c.a1， b1d.a1 ， b13. “ a1”是“函数f xlg ax 在 0, 单调递增”的a. 充分不必要条件b. 充分必要条件c. 必要不充分条件d. 既不充分也不必要条件4. 以抛物线y24x 的焦点为圆心，半径为

2、2 的圆方程为a. x2y22x10b. x2y22 x30c. x2y22x10d. x2y22x30正视图侧视图5. 右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为 2 和 4，腰长为4 的等腰梯形，就该几何体的侧面积是a. 6b. 8c. 12d. 24俯视图第 4 题6. 为了从甲乙两人中选一人参与数学竞赛，老师将二人最近6 次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成果分别是x甲 、 x乙 ，就以下说法正确选项a. x甲 > x乙 ，乙比甲成果稳固，应选乙参与竞赛b. x甲 > x乙 ，甲比乙成果稳固，应选甲参与竞赛c. x甲 < x乙 ，甲比乙成果

3、稳固，应选甲参与竞赛d. x甲 < x乙 ，乙比甲成绩稳固，应选乙参与竞赛7. 设 a 、 b 是两条不同直线，、是两个不同平面，就以下命题错误的是a. 如 a， b /，就 abb.如 a， b / a ， b, 就c. 如 a， b，/, 就 a / bd.如 a /， a /，就/8. 已知函数f x2sinx 0 的图像关于直线x对称，且3f 0 ，就 12的最小值为a. 2b. 4c.6d. 89. a1,2,3 , b xr | x2axb0, aa, ba ,就 abb的概率是a. 2 9b. 1 3c. 8 9d. 110. 执行如边的程序框图，就输出的na. 6b.5c

4、.8d.7第二卷 满分 100 分x二、填空题 本大题共5 小题，每道题5 分，共 25 分；把答案填在答题卡的相应位置11. 如f x3xa 3是奇函数，就a12. 已知命题p ：xxrx00 ， x12 ，就p ： x13. 不等式组y2 x表示的是一个直角三角形围成的平面区域，就kkxy1014. 如图放置的边长为1 的正方形abcd 的顶点 a 、 d 分别在 x 轴、 y 轴yc正半轴上 含原点 上滑动，就 ob oc 的最大值是dbx15. 如曲线f x, y0 或yf x 在其上两个不同点处的切线重合，就oa称这条切线为曲线f x, y0 或yf x 的自公切线， 以下方程的曲线

5、存在自公切线的序号为填上全部正确的序号 yx2| x | y|x2x | y3sin x4cos x x2y21 | x |14y2 .三、解答题 本大题共6 小题，共75 分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 解答写在答题卡上的指定区域内16. 本小题满分12 分abc 中，角 a 、 b 、 c 所对应的边分别为a 、 b 、 c ，如 acsin b.22(1) 求角 a ；bcsin asin c(2) 如f xcos xasin xa ，求f x 的单调递增区间.17. 本小题满分12 分某种袋装产品的标准质量为每袋100 克，但工人在包装过程中一般有误差，规定误差在2克以内

6、的产品均为合格. 由于操作娴熟，某工人在包装过程中不称重直接包装，现对其包装的产品进行随机抽查，抽查30 袋产品获得的数据如下：质量 单位克 数量 单位袋 90,94294,98698,10212102,1068106,11021 依据表格中数据绘制产品的频率分布直方图； 2 估量该工人包装的产品的平均质量的估量值是多少 .18. 本小题满分12 分已知以 1 为首项的数列 an 满意：an 1an1n为奇数 *，ann为偶数 2a11， a24 ， an 22an3an 1 nn .(1) 写出a2 ， a3 ， a4 ，并求数列 an 的通项公式；(2) 设数列 an 的前 n 项和sn

7、，求数列 sn 的前 n 项和 tn .19. 本小题满分12 分d11a1如图，长方体abcda1 b1c1d1 中，dadc2 ，eb c1dd13 ， e 是 c1d1 的中点， f 是 ce 的中点 .fda(1) 求证：ea /平 面 bdf ；(2) 求证：平面bdf平面 bce .cb20. 本小题满分1 3 分椭圆的两焦点坐标分别为(1) 求椭圆方程；f13,0和 f23,0 ，且椭圆过点1,3 .2(2) 过点 6 ,05作不与 y 轴垂直的直线l 交该椭圆于m 、n 两点， a 为椭圆的左顶点，试判定man 的大小是否为定值，并说明理由21. 本小题满分14 分已知函数f

8、xex ，直线 l 的方程为ykxb .(1) 求过函数图像上的任一点pt ,f t的切线方程；(2) 如直线 l 是曲线yf x 的切线，求证：f xkxb 对任意 xr 成立；2 如f xkxb 对任意 x0, 成立，求实数k 、 b 应满意的条件 .【解答部分】x1. b【解析】2 , 0x2x10，所以1x2.x1x102i2. c【解析】1i2i1i21i ，就 a1 ， b1 .3. a 【解析】明显函数f xlg x1 f xlg2 x1在 0, 上均单调递增，所以“ a1”是“函数f xlg ax1 在 0, 单调递增”的充分不必要条件.4. b 【解析】抛物线y24x 的焦点

9、为1,0, 所求圆方程为x1 2y24 .5. c【解析】该几何体为圆台，设绽开图的“虚扇形”的半径为l ，就ll2 ,l4.44所以侧面积为s122l4121l12.226. d 【解析】 x甲 < x乙 , 乙比甲成果稳固，应选乙参与竞赛.7. d 【解析】对于d,/或l ，此时 la.8. a【解析】逐一验证：令2 ，就f x2sin2 x，由f 0 12得的一个值为，这样6f x2sin2 x 其图象关于直线x6对称；39. c【解析 】有序实数对a,b 的取值情形共有9 种，满意 abb 的情形有：1） 1,1 , 1,2, 1,3 , 2,2, 2,3 , 3,3 此 时 b

10、；2）2,1 此时 b1 ;33,2 此时 b1,2.所以 abb的概率为 p8 .9n1 111111221n10.d 【解析】运行sn21223.n1，212212由框图可知，s15 时 n165 ； s31 时 n6 ，所以输出的n7.32xxxxxx11.1 【解析】 3a 33a 30, a1330, a1.12. xrx0 ， x1 x2 【解析】x r x0 ， x12 .x113. 或 0 【解析】分两种情形：1）直角由y 22x 与 kxy10 形成，就 k1 ；22）直角由x0 与 kxy10 形成，就 k0 .14. 2 【解析】设oad，就oaadcoscos,点 b

11、的坐标为coscos 90 0,sin90 0即 b cossin,cos，同理可求得c sin,sincos，所 以 ob occossin,cossin,sincos1sin 2， ob oc2.max15. 【解析】函数y x2x 的图象如图左明显满意要求；函数 y|x2x | 不存在自公切线；函数 y3sin x4cosx 的一条自公切线为y5 ；而对于方程| x |14y2 ，其表示的图形为图右中实线部分，不满意要求；x2y21为等轴双曲线，不存在自公切线；三、解答题16. 【解析】 1 由 acbcsinsin absin c，得 acb，bcac22即 ab2cbc ，由余弦定理

12、，得cos a1 ， a；6 分23(2) f xcos2 xasin2 xacos2 xsin 2 x 331cos2x21cos2x2331 cos 2x9 分222由 2k剟2 x2k kz ，得 k剟xkkz ，故2f x的单调递增区间为 k, k ， kz .12 分217. 【解析】 1频率分布直方图如图6 分2192196210041041108100.27 克12 分1555151518. 【解析】 1a22 ，a31 ， a42 ，3 分31nan2，6 分3n1111n3n112222442sn1n10 分3nn11111 n 3211n1 tnnnn12244114288

13、 也可分 n 奇数和偶数争论解决12 分19. 【解析】 1 连接 ac 交 bd 于 o 点，连接 of ，可得 of 是ace 的 中位线，of /ae ，又 ae平 面 bdf ， of平面 bdf ，所以 ea / 平面 bdf6 分2 运算可得dedc2 ，又 f 是 ce 的中点，所以 dfce ，又 bc平面cdd1c1 ，所以 dfbc ，又 bccec ，所以 df平面 bce又 df平 面 bdf ，所以平面 bdf平面 bce12 分x220. 【解析】 1 由题意，即可得到4y 215 分2 设直线 mn 的方程为：xky6 ，5联立直线 mn 和曲线 c 的方程可得：

14、xky65 得2xy214221264 k4 yky0 ，525设 m x1, y1 ，n x2 , y2 ，a2,0 ，就 y1y212k，5k24y1y26425 k 24就 aman x2, y x2, y k 21y y4 k yy 16011221251225即可得man.13 分221.【解析】 1 ：f xex ，记切点为t t, et ，切线 l 的方程为yetet xt即 yet xet 1t 3 分2 由1ketbet 1t 记函数f xf xkxb , f xexet xet 1t f xexet f x 在 x,t 上单调递减，在xt, 为单调递增故 f xminf t

15、 etet tet 1t 0故 f xf xkxb0 即 fxkxb 对任意 xr 成立8 分(3) 设 hxf xkxbexkxb ， x0, h xexk ， x0,10 分当 k ,1 时， hx0 ，就h x 在 x0, 上单调递增 h xminh 01b0 ， b ,1 ，即k ,1符合题意b ,1当 k1时，h x 在 x0,lnk 上单调递减，xlnk, 上单调递增， h xminh ln k kk ln kb0 b ,k1ln k13 分综上所述：满意题意的条件是k ,1或b ,1k1b ,k 1ln k 14 分【巩 固部分】1-1 如关于 x 的不等式axb0 的解集是 1

16、, ，就关于 x 的不等式axb0 的解集是x2a.,12,b.1,2c.1,2d.,12,【解析】由axb0 的解集是 1, 可得 a0, b1.a由 axb0 得axbx20 ， x2 或 x1.x23【答案】 a.2-3 设f xxlog2xx21 ，就对任意实数a ,b ，ab0 是 fa f b0 的a.充分必要条件b.充分而不必要条件c.必要而不充分条件d.既不充分也不必要条件【解析】明显f xxlog2xx21为奇函数，且单调递增；于是如 ab0 ，3就 ab ，有f a f b ，即f af b ，从而有f af b0 .反之，如f a f b0 ，就f af b f b ,推

17、出ab ，即ab0 ；【答案】 a.3-8 以下函数中周期为且图象关于直线xx对称的函数是3a y2sinb.23y2sin2 x 6c y2sin2 xd.y32sin x23【解析】由函数的周期为, 故排除 a、d，又函数图象关于直线x函数值取得最大值或最小值.【答案】 b.对称 , 所以当 x时,33x2 y19 0，4-13 设二元一次不等式组xy2xy8 0，14 0所表示的平面区域为m ，使函数yax a0，a1 的图象过区域m 的 a 的取值范畴是【解析】区域m 是三条直线相交构成的三角形（如图）显 然 a1 ， 只 需 研 究 过 1,9 、 3,8 两 种 情 形 ，13a9

18、 且 a8 即 2a9.【答案 】 2a9.5-14 给定两个长度为1 的平面对量 oa 和 ob ，它们的夹角为120o .如下列图，点c 在以 o 为圆心的圆弧ab 上运动 .如 ocxoayob, 其中 x, yr ,就 xy的最大值是 .【解析】 如图建立坐标系，就oa1,0 , ob1 ,3，22ocx1,0y1 ,3x1 y,3 y.2222设 occos,sin，就x1 ycos,3 ysin， 3 y3 sin，222所以 xycos3sin2sin300 2.6-16 已知函数f x sinx0 , | 的图象如下列图（）求,的值；（）设g x f x fx ，求函数4g x

19、 的单调递增区间y1ox 42- 1【解析】 （ ）由图可知t22 ， t4，24又 由 f1 得 sin 1 ，又 2f 01 ，得 sin1， |，（）由（）知：2f xsin2 x2cos 2 x由于 g xcos 2xcos 2 x2cos2 x sin 2 x1 sin 4x2所以，kk2k 4x 2k，即 x kz 222828故函数g x 的单调增区间为k,kkz 28287-18 已知数列an满意：a10 ， an2an2n11 , n为偶数， n2 , 3 , 4 ,（）求a5 , a6, a7 的值；2an 122, n为奇数（）设 bn21 ，试求数列a n2nbn的通项

20、公式；（）对于任意的正整数n ，试争论 an 与 an 1 的大小关系【解析】 （ ）a10 ， a212a11 ， a322a12 ， a412a23 ， a532a25 ； a612a35 ； a742a38 （）由题设，对于任意的正整数n ，都有：nn21a n 122a1b21b ，n 12n 12n 12n bb1 n 1n2a 11数列bb2 10为公差的等差数列 bnn是以112n12为首项，2（）对于任意的正整数k ，当 n2k 或 n1 , 3 时， anan 1 ；当 n4k1 时， anan 1 ；当 n4k3 时， anan 1 证明如下：第一，由a10 ， a21 ，

21、 a32 ， a43 可知 n1 , 3 时， anan 1 ；其次，对于任意的正整数k ，n2k 时， anan 1a2 ka2k 112akk12 akk0 ；n4k1 时， anan 1a4k 1a4k 22k12 a2 k12a2k 12k2a2k2a2k 12k2 12ak2 k12 ak0所以 anan 1 n4 k3 时， anan 1a4k 3a4 k 42k22a2k 112a2k 22k12a2k 12a2k 22k12 k12ak2 12ak 14 kakak 11事实上，我们可以证明：对于任意正整数k ， kak ak 1（ * ）（证明见后），所以此时 anan 1 综上可知：结论得证*对于任意正整数k ， kak ak1 （ * ）的证明如下：1）当 k2m （mn ）时，kakak 12ma2ma2m 12m12amm12amm0 ，满意（ * ）式2）当 k1时， 1a11a2 ，满意（ * ）式3）当 k2m1mn*时，kakak 12m1a2 m 1a2 m 22m1m12am12am 13m12am2am 12 mamam 1m1于是只须证明mamam 1 0 ，如此递推，可归结为1）或 2）的情形，于是（ * ）得证8-21 已知直线 l 与 函数