北京高考理科数学试题及答案详解

1、北京高考理科数学试题第一部分（挑选题共 40 分）挑选题共 8 小题；每道题5 分，共 40 分；在每个小题给出的四个选项中，只有哪一项符合题目要求的一项；1.已知集合 a= 1，0， 1 ， b=x| 1x1 ，就 a b= a.0b. 1， 0c.0 ， 1d. 1,0,12.在复平面内，复数 2i2 对应的点位于 a. 第一象限b.其次象限c.第三象限d.第四象限3. “ =是“”曲线 y=sin2x 过坐标原点的 ”开头a. 充分而不必要条件b.必要而不充分条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件i0, s12s14.执行如下列图的程序框图，输出的s 值为s2 s 1213610i

2、i1a.1b.3c. 21d. 987否i2是5.函数 fx 的图象向右平移1 个单位长度，所得图象与 y=ex 关于 y 轴对称，就 fx=输出 s终止x 1a. ex 1b. ex2y2x 1c. ex 1d. e26.如双曲线 ab 21 的离心率为3 ，就其渐近线方程为y1 xa.y= ±2xb.y=2xc. 2y2 xd.27.直线 l 过抛物线 c: x2=4y 的焦点且与 y 轴垂直，就 l 与 c 所围成的图形的面积等于48162a. 3b.2c. 3d.38.设关于 x,y 的不等式组2 xyx my m10,0,0表示的平面区域内存在点px0，y0，满意 x02y

3、0=2，求得 m 的取值范畴是4,a.3b.1,3c.25,3d.3其次部分（非挑选题共 110 分）二、填空题共 6 题，每道题 5 分，共 30 分.9.在极坐标系中，点 2， 6 到直线 sin 的=2距离等于.10.如等比数列 an 满意 a2a4=20， a3a5=40，就公比 q=；前 n 项和 sn=.11.如图， ab 为圆 o 的直径， pa 为圆 o 的切线， pb 与圆 o 相交于d.如 pa=3，pd ：db9 ：16，就 pd=； ab=.12.将序号分别为1，2，3， 4，5 的 5 张参观券全部分给4 人，每人至少 1 张，假如分给同一人的2 张参观券连号， 那么

4、不同的分法种数是.13.向量 a，b， c在正方形网格中的位置如下列图.如 c=a b ， r，就=.bca14.如图，在棱长为 2 的正方体 abcd a1b1c1d1 中，e 为 bc 的中点，点p在线段d1e上，点p到直线cc1的距离的最小值为.d1c1a1b1pdceab三、解答题共6 小题，共 80 分；解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15. 本小题共 13 分在 abc 中， a=3， b=26 ， b=2 a.(i) 求 cosa 的值；(ii) 求 c 的值 .16. 本小题共 13 分下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100

5、表示空气质量优良， 空气质量指数大于200 表示空气重度污染，某人随机挑选3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市，并停留 2 天.（）求此人到达当日空气重度污染的概率;（）设 x 是此人停留期间空气质量优良的天数，求x 的分布列与数学期望 ;（）由图判定从哪天开头连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）17. 本小题共 14 分如图，在三棱柱abc a1b1c1 中， aa1c1c 是边长为 4 的正方形，平面 abc 平面 aa1c1c ，ab=3 ，bc=5.（）求证： aa1 平面 abc ；（）求二面角a1 bc1b1 的余弦值；（）证明：在线段bc1 存在点

6、d，使得 ad a1b ，并求bd bc1的值 .18. 本小题共 13 分y设 l 为曲线 c：ln xx在点1， 0处的切线 .(i) 求 l 的方程；(ii) 证明：除切点 1，0之外，曲线 c 在直线 l 的下方 .19. 本小题共 14 分x2已知 a 、b、c 是椭圆 w ： 4y21上的三个点， o 是坐标原点 .(i) 当点 b 是 w 的右顶点，且四边形oabc 为菱形时，求此菱形的面积;(ii) 当点 b 不是 w 的顶点时，判定四边形oabc是否可能为菱形，并说明理由 .20. 本小题共 13 分已知an 是由非负整数组成的无穷数列， 该数列前 n 项的最大值记为an，第

7、 n 项之后各项an 1 ， an2 ,的最小值记为bn，dn=an bn；i 如an 为 2，1，4，3，2，1，4，3，是一个周期为 4 的数列 即对任意 n n* ， an 4an ，写出 d1，d2，d3， d4 的值；(ii) 设 d 为非负整数， 证明：dn= dn=1,2,3的充分必要条件为 an为公差为 d 的等差数列；(iii) 证明：如 a1=2，dn=1n=1,2,3，就an 的项只能是 1 或者 2，且有无穷多项为1.2021 北京高考理科数学试题参考答案挑选题：1、b；2、d； 3、a ；4、c； 5、d； 6、b； 7、c； 8、c（排除法：m1m把3 代入不等式组

8、，不适合，排除选项a ，把23 代入不等式m组，不适合，排除选项b，把53 代入不等式组，适合，排除选项d，应选 c）；二、填空题：n19、1； 10、2， 22； 11、95 ,4；12、96；13、4；14、255建立b acb1空间直角坐标系，设eped10,1,就得 p 2,1,2,设p在cc1上 的 垂 足 为q ， 就 得q0,2,2,所 以| pq |4212255；三、解答题：15、解：（i ）由于 a=3，b=26 ， b=2a.所以在 abc 中，由3262sinacos a26cosa6正弦定理得sin acosasin 2 a .所以6sin asin a3.故3.1c

9、os2 a3ii 由（ i ）知3，所以3 .又由于 b=2a,cos b所以2cos2 a113 .所以sin b1cos2 b223.sin c在 abc 中，sin absin acosbcosa sin b539.ca sin c5所以sin a.16、解：设ai 表示大事 “此人于 3 月 i 日到达该市 ”（ i =1,2，13）.依据题意 ,p ai 113 ,且 aiajij .（ i）设 b 为大事 “此人到达当日空气重度污染”，就ba5a8 ,p b p aa p a p a 25858所以13 .(ii) 由题意可知， x 的全部可能取值为0,1,2，且px=1=pa3

10、a6 a7a11= pa3+pa6+pa7+pa11=413 ,px=2=pa1 a2 a12a13= pa1+pa2+pa12+pa13=413 ,px=0=1 px=1 px=2=513 ,所以 x 的分布列为：x012p544131313ex05142412故 x 的期望13131313 .(iii) 从 3 月 5 日开头连续三天的空气质量指数方差最大.17、解：（ i）由于 aa1c1c 为正方形，所以aa1 ac.由于平面 abc 平面 aa1c1c, 且 aa1 垂直于这两个平面的交线ac,所以 aa1 平面 abc.(ii) 由（i ）知 aa1 ac，aa1ab.由题知 ab

11、=3 ，bc=5 ，ac=4 ，所以 ab ac.如图，以 a为原点建立空间直角坐标系a xyz ,就 b0， 3，0,a10 ， 0， 4,b10，3， 4,c14， 0，4，设平面 a1bc1 的法向量为n = x, y, z ，就na1bna1c103 y4z00 ,即4x0 ，令 z3 ，就 x0 ， y4 ，所以 n =0,4,3 .同 理 可 得 ， 平 面bb1c1的 法 向 量 为m = 3,4,0, 所 以cosn,mn m| n | m |1625 .由题知二面角 a1 bc1b1 为锐角，所以二面角 a1 bc1b1 的余弦值为1625 .(iii) 设dx,y, z是

12、直 线bc1上 一 点 ， 且bdbc1.所 以 x , y3 ,z 4 ,.解得 x4 ， y33， z4.所以 ad4,33,4 .由 ad·a1b0 ，即 9250 .解得925 .90,1由于 25，所以在线段 bc1 上存在点 d，使得 ad a1b.此时，bd bc1925 .f xln xf x21ln x18、解:（ i）设x，就x.所以f 11 .所以 l的方程为 yx1 .ii 令 g xx1f x，就除切点之外，曲线c 在直线 l 的下方等价于g x0 x0, x1 .g x 满意g 10 ，且g x1f xx21ln xx2.当 0x1 时，x210 ， ln

13、 x0 ，所以g x0 ，故g x 单调递减；当 x1 时，x210 ， ln x0 ，所以 gx0 ，故g x 单调递增 .所以，g xg 10 （ x0, x1） .所以除切点之外，曲线c 在直线 l 的下方 .x1ln x0（ 又 解 ：g x0即x变 形 为x2x lnx0， 记212 x2x12 x1 x1hxxx l，n 就xh x2x1xxx，所以当 0x1 时，h x0 ， h x在（ 0,1）上单调递减；当 x1 时， hx0 ， h x在（ 1，+）上单调递增；所以 h xh10 .）x219、解：（i ）椭圆 w： 4y21的右顶点 b 的坐标为（ 2,0） .由于四边形

14、 oabc 为菱形，所以 ac 与 ob 相互垂直平分 .所以可设 a（1，12m1mm ），代入椭圆方程得4，即32.所以菱形oabc的面1 | ob | | ac |122 | m |3积是 22.(ii) 假设四边形 oabc 为菱形 .由于点 b 不是 w 的顶点，且直线 ac不过原点，所以可设ac 的方程为ykxmk0, m0 .x24 y24由ykxm 消去 y 并整理得14k2 x28kmx4m240 .x1x24kmy1y2kx1x2mm设 a x1, y1 ,c x2, y2 ，就214k 2 ，2214k 2 .所以 ac 的中点为 m（4km14k 2m， 14 k 2

15、） .由于 m 为 ac 和 ob 的交点，所以直线ob 的斜率为14k .k1 1由于4k，所以 ac 与 ob 不垂直 .所以 oabc不是菱形，与假设冲突 .所以当点 b 不是 w 的顶点时，四边形oabc 不行能是菱形 .20、（i ） d1d21, d3d43.ii 充 分 性 因 为an是 公 差 为 d 的 等 差 数 列 ， 且 d0 ， 所 以a1a2an.因此 anan ， bnan 1 , dnanan 1d n1,2,3, .必要性 由于 dnd0 n1,2,3, ，所以 anbndnbn .又由于 anan ， an 1bn ,所以 anan 1 .于是 anan ， bnan 1 .因此 an 1anbnandnd ，即 an是公差为 d 的等差数列 .(iii) 因 为 a12,d11 ， 所 以 a1a12 ， b1a1d11. 故 对 任 意n1 , an1b.1假设 ann2 中存在大于 2 的项 .设 m 为满意