大学物理答案第7～8章

1、.第七章真空中的静电场7 1在边长为 a的正方形的四角，依次放置点电荷q,2q,-4q和 2q，它的几何中心放置一个单位正电荷，求这个电荷受力的大小和方向。解： 如图可看出两 2q的电荷对单位正电荷的在作用力将相互抵消，单位正电荷所受的力为Fq(1 4)5q2 , 方向由 q指向 -4q。4 0 (2 a)220 a27 2 如图，均匀带电细棒，长为L，电荷线密度为。 （ 1）求棒的延长线上任一点P 的场强； (2)求通过棒的端点与棒垂直上任一点 Q 的场强。解： （ 1）如图 7 2图 a，在细棒上任取电荷元dq，建立如图坐标，长线上任一点P 与坐标原点0 的距离为x，则q2q2q-4q习题

2、 71 图dqd，设棒的延dEdd40 ( x) 240 ( x)2则整根细棒在P 点产生的电场强度的大小为dqx0PLd11 )dE(4) 2400 ( x0x L x习题 7 2 图 aL方向沿轴正向。0 x(x4L )（2）如图 7 2 图 b，设通过棒的端点与棒垂直上任一点Q 与坐标原点 0的距离为 ydEdx40 r 2ydE y4dx2cos，dE0rdE xdxsinyQ4200r0dqxdydxP因 xytg , dxy, r，cos2cos习题 7 2 图 b代入上式，则ExdE x0sind40 y 04(1cos0 ) 4( 11) ，方向沿 x轴负向。0 y0 yy2L

3、2可编辑.EydE y0cos d40 y 0sin 0 L40 yy 2L240 y7 3 一细棒弯成半径为R的半圆形，均匀分布有电荷q，求半圆中心 O处的场强。解： 如图，在半环上任取dl=Rd的线元，其上所带的电荷为dq= Rd 。对称分析 Ey=0 。dE xRd2 siny0 R4EdE xsind4 0R0Rx20 RdE习题 73 图q，如图，方向沿 x轴正向。2220 R7 4如图线电荷密度为 1的无限长均匀带电直线与另一长度为l、线电荷密度为 2的均匀带电直线在同一平面内，二者互相垂直，求它们间的相互作用力。解： 在2的带电线上任取一dq，1的带电线是无限长，它在dq处产生的

4、电场强度由高斯定理容易得到为，E10 x21dqa两线间的相互作用力为0x2FdF12 dx12l dx20 x2a x0习题 74 图12ln al , 如图，方向沿 x轴正向。20a7 5两个点电荷所带电荷之和为Q，问它们各带电荷多少时，相互作用力最大？解：设其中一个电荷的带电量是q，另一个即为 Q q，若它们间的距离为r，它们间的相互作用力为Fq(Qq)40 r 2相互作用力最大的条件为dFQ2q0dq40r 2可编辑.由上式可得： Q=2q ， q=Q/27 6一半径为 R的半球壳， 均匀带有电荷， 电荷面密度为，求球心处电场强度的大小。解： 将半球壳细割为诸多细环带，其上带电量为dq

5、2 rRd2 R2 sindydq在 o点产生的电场据（7 10）式为ydqrdE， yR cos40 R3o3sin习题 76图EdE02 Rcos d040 R3sin220 sin d (sin)。 如图，方向沿 y轴负向。22 02400007 7设匀强电场的电场强度E 与半径为 R的半球面对称轴平行， 计算通过此半球面电场强度的通量。解： 如图，设作一圆平面S1 盖住半球面 S2，成为闭合曲面高斯，对此高斯曲面电通量为0，即1ESS2EdSE dSE dS0SS1S2E R2习题 77 图SEdSEdS1S1S27 8求半径为 R，带电量为 q的空心球面的电场强度分布。解： 由于电荷

6、分布具有球对称性，因而它所产生的电场分布也具有球对称性，与带电球面同心的球面上各点的场强E 的大小相等，方向沿径向。在带电球内部与外部区域分别作与带电球面同心的高斯球面S1与 S2。对 S1与 S2，应用高斯定理，即先计算场强的通量，然后得出场强的分布，分别为E dSE4 r 20RrS01得E内0（ r<R ）习题 718 图E dSE 4 r 2qS20qE外40r 2 r? (r>R)可编辑.7 9 如图所示，厚度为 d的“无限大”均匀带电平板，体电荷密度为，求板内外的电场分布。解 :带电平板均匀带电，在厚度为 d/2 的平分街面上电场强度为零，取坐标原点在此街面上，建立如图

7、坐标。对底面积为 A ，高度分别为 x<d/2 和 x>d/2 的高斯曲面应用高斯定理， 有E dSEAAxS01得E1xi( xd )02dEd0xAE dSEA2S20习题 79图E2di( xd )2027 10 一半径为 R的无限长带电圆柱，其体电荷密度为0 r (r0为常数。求R) ，场强分布。解： 据高斯定理有E dSE2 rl1dVoS0 Vr R 时： E2 rlkr2lkr2drr 2 r ld rr0000E2 rl2 lk r 3Ekr 2en033 0习题 710 图r R 时： E2 rlkR2lkR2drr 2 r ld rr0000E2 rl2 lk

8、R3EkR3e033 0 rn7 11 带电为 q、半径为 R1的导体球，其外同心地放一金属球壳，球壳内、外半径为R3。（ 1）球壳的电荷及电势分布；（ 2）把外球接地后再绝缘，求外球壳的电荷及球壳内外电势分布；（ 3）再把内球接地，求内球的电荷及外球壳的电势。解： （ 1）静电平衡，球壳内表面带q，外表面带 q电荷。据（ 723）式的结论得： V1q( 111 )( r R1 ),40 R1R2R3rR2、可编辑.V2q(111 )(R1r R2 );40 rR2R3V3q( R2rR3 ),40 R3R1R2q-q q oV4q(rR3 ).R340rq( 11 )( r R1 ),习题

9、711 图（2）U140R1R2V2q(11 )(R1rR2 ); V30( R2 rR3 ), V40( rR3 ).40 rR2（3）再把内球接地，内球的电荷及外球壳的电荷重新分布设静电平衡，内球带q/ ，球壳内表面带 q/ ，外表面带 q/ q。V11qqqqR1 ),4(R2R3)( r0R1得：qR1 R2 qR1R3R1R2R2 R3V3qq( R1R2 )q(R2rR3 )40 R340(R2R3R1 R3R1R2 )7 12一均匀、半径为 R的带电球体中，存在一个球形空腔，空腔的半径r(2r<R) ，试证明球形空腔中任意点的电场强度为匀强电场，其方向沿带电球体球心O 指向

10、球形空腔球心O/ 。证明：利用补缺法，此空腔可视为同电荷密度的一个完整的半径为R的大球和一个半径为 r与大球电荷密度异号完整的小球组成，两球在腔内任意点P产生的电场分别据例7 7结果为E 13r 1,E 2r 2030r 1pr 1r 2or2E= E 1+ E2=3o/3003 0oo习题 712 图上式是恒矢量，得证。可编辑.7 13一均匀带电的平面圆环，内、外半径分别为R1、R2 ，且电荷面密度为。一质子被加速器加速后，自圆环轴线上的 P点沿轴线射向圆心 O。若质子到达 O点时的速度恰好为零，试求质子位于 P点时的动能 E K 。（已知质子的带电量为 e，忽略重力的影响， OP=L ）解

11、： 圆环中心的电势为V0R22rdr(R2 R1)R240 rR12 0oR1px圆环轴线上 p点的电势为VPR22 rdr习题 713图R14 0r 2L2R2( R22R122 0r 2L2L2L2 )R12 0质子到达 O 点时的速度恰好为零有E0EP EkEkE0E pEeVeVp =ee22222121k02 0(R R)( R LR L )2 0e ( R2R1R22L2R12L2 )2 07 14 有一半径为 R的带电球面，带电量为Q，球面外沿直径方向上放置一均匀带电细线，线电荷密度为，长度为L（ L>R ），细线近端离球心的距离为L。设球和细线上的电荷分布固定，试求细线在

12、电场中的电势能。解： 在带电细线中任取一长度为dr的线元，其上所带的电荷元为dq= dr ，据（ 7 23）式带电球面在电荷元处产生的电势为VQ40 rQdrQdro电荷元的电势能为 :dWr40 r细线在带电球面的电场中的电势能为：习题 714 图WdW2LQdrQln 2L40 r40*7 15半径为 R的均匀带电圆盘，带电量为Q。过盘心垂直于盘面的轴线上一点P到盘心的距离为 L。试求 P点的电势并利用电场强度与电势的梯度关系求电场强度。解： P到盘心的距离为L ， p点的电势为R 2 rdrVP0 4 0 r2L2可编辑.Rr 2L2( R22L2L)2 00 2 0p圆盘轴线上任意点的

13、电势为V ( x)R2rdro040 r 2x2xRQ习题 715 图2 0r 2x 22( R22x2x)02 0 RE( x)dV2Q(1xx2)i利用电场强度与电势的梯度关系得：dx i0 R2R22P到盘心的距离为 L ， p点的电场强度为：E(L)Q(1L20 R2R22)iL27 16两个同心球面的半径分别为R1和R2,各自带有电荷 Q1 和Q 2。求：（ 1）各区城电势分布，并画出分布曲线；（2）两球面间的电势差为多少？解： （ 1）据（ 7 23）式的结论得各区城电势分布为V141(Q1Q2 )( r R1 ),0R1R2V21Q11( R1 rR2 );Q2R1R2()Q14

14、0rR2oV3Q1Q2(rR2 ).习题 716 图40r（ 2）两球面间的电势差为Q1 (11 )V12R2Q12 drR1 40 r40 R1R27 17 一半径为 R的无限长带电圆柱，其内部的电荷均匀分布，电荷体密度为，若取棒表面为零电势，求空间电势分布并画出电势分布曲线。解： 据高斯定理有r R 时：orE dSr 2lErE2 rlenS02 0r R 时， V=0 ，则r R 时： VR(R 2r 2 )rdr习题 710 图20r40可编辑.r R 时：S E dS E 2 rlR2lR2V0E2 0 r enVR2R drR2 ln RRr2 0r r2 0 ro空间电势分布并

15、画出电势分布曲线大致如图。7 18两根很长的同轴圆柱面半径分别为R1、R2，带有等量异号的电荷，两者的电势差为 U，求：（ 1）圆柱面单位长度带有多少电荷？（2）两圆柱面之间的电场强度。解： 设圆柱面单位长度带电量为，则两圆柱面之间的电场强度大小为E20 r两圆柱面之间的电势差为Udr2R2dr2ln R2or2 0r0R1r0R1由上式可得：U2 0ln R2 R1习题 718 图所以E0 r enUen( R1 r R2 )2ln R2 R1 r7 19在一次典型的闪电中，两个放电点间的电势差约为109V ，被迁移的电荷约为30库仑，如果释放出来的能量都用来使00C的冰熔化成00C的水，则

16、可融化多少冰 ?（冰的熔解热为 3.34× 105J kg-1)解： 两个放电点间的电势差约为109V ，被迁移的电荷约为30 库仑，其电势能为Wp30109 J上式释放出来的能量可融化冰的质量为：m3010 943.341058.98× 10 kg7 20在玻尔的氢原子模型中，电子沿半径为 a的玻尔轨道上绕原子核作圆周运动。（ 1）若把电子从原子中拉出来需要克服电场力作多少功?（ 2）电子在玻尔轨道上运动的总能量为多少？解： 电子沿半径为 a的玻尔轨道上绕原子核作圆周运动，其电势能为W pee40a（1）把电子从原子中拉出来需要克服电场力作功为：W外Wpe240a可编辑.

17、（2）电子在玻尔轨道上运动的总能量为：WWpEkWp1 mv224e2m v2mv 2e20a 2a40aEk1 mv28e220a电子的总能量为：WWp1mv 2e2e28e2240a8 0a0 a第八章静电场中的导体与电介质8 1点电荷 +q 处在导体球壳的中心，壳的内外半径分别为Rl 和 R2，试求，电场强度和电势的分布。解：静电平衡时，球壳的内球面带 q、外球壳带 q 电荷在 r<R 1 的区域内E1q?，U 1q(111)4 0 r 2r4 0r R1R2在 R1<r<R 2 的区域内R1R2qqqE20,U2.,-q40 R2习题81图在r>R2 的区域内:

18、E3q2?q.r . U 3440r0 r8 2把一厚度为 d 的无限大金属板置于电场强度为E 0 的匀强电场中， E 0 与板面垂直，试求金属板两表面的电荷面密度。解：静电平衡时，金属板内的电场为0，金属板表面上电荷面密度与紧邻处的电场成正比E12E00所以有10E0 ,20E0.习题82图8 3一无限长圆柱形导体，半径为a，单位长度带有电荷量1，其外有一共轴的无限长导体圆简，内外半径分别为b 和 c，单位长度带有电荷量2 ，求（ 1）圆筒内外表面上每单位长度的电荷量；（ 2）求电场强度的分布。解：（ 1）由静电平衡条件，圆筒内外表面上每单位长度的电荷量为,12 ;（ 2）在 r<a的

19、区域内 :E=0可编辑习题83 图.在 a<rb 的区域内 :E1n2e0 r在 r>b的区域内 :E12 en20 r8 4三个平行金属板A 、 B 和 C，面积都是 200cm2， A、 B 相距 4.0mm，A 、 C 相距2.0mm，B、 C 两板都接地，如图所示。如果A 板带正电3.0× 10 7C，略去边缘效应（ 1）求B 板和 C 板上感应电荷各为多少?（ 2）以地为电势零点，求A 板的电势。解：（ 1）设 A 板两侧的电荷为q1、q2，由电荷守恒原理和静电平衡条件，有BA Cq1q2qA （ 1）d1d2qBq1 ， qCq2 （ 2）依题意 VAB =V

20、 AC ,即习题84 图q1d1 q2d2q2d1 q12q1 代入（ 1）0 S0 Sd 2（2）式得q1 1.0× 10-7C，q2 2.0× 10-7C， qB 1.0× 10-7C， qC=-q 2 2.0× 10-7 C，（ 2）U Aq1d1q2d2 =210 72 103310 48.85 10 122.3× 10 V0 S0S2008 5半径为 R1=l.0cm 的导体球带电量为q=1.0× 10 10 C，球外有一个内外半径分别为 R2 =3.0cm 和 R3=4.0cm 的同心导体球壳，壳带有电量Q=11 

21、5; 10 10 C，如图所示，求（1）两球的电势；（ 2）用导线将两球连接起来时两球的电势；（3）外球接地时，两球电势各为多少？（以地为电势零点）解：静电平衡时，球壳的内球面带q、外球壳带 q+Q 电荷（1）U11( qqqQ ) 代入数据40R1R2R3U 13.141.010 1012102 (11 111)48.85101343.3×102Vq+QqqQ1.010 10(1 11)-qU 20 R243.148.8510 1210 244习题85 图=2.7× 102V（2）用导线将两球连接起来时两球的电势为qQ1.0 10 10(1 11)× 102VU

22、 20 R24 3.14 8.85 10 1210 2=2.744可编辑.（3）外球接地时，两球电势各为U 11( qq ) U 11.0 10 1012102 (11) 60V40R1R24 3.148.85 1013U 208 6证明 :两平行放置的无限大带电的平行平面金属板A 和 B 相向的两面上电荷面密度大小相等，符号相反，相背的两面上电荷面密度大小等，符号相同。如果两金属板的面积同为 100cm2，带电量分别为QA =6 ×10 8 C 和 QB=4 × 10 8C，略去边缘效应，求两个板的四个表面上的电面密度。证：设 A 板带电量为 QA 、两侧的电荷为 q1、

23、 q2，ABB 板板带电量为QB 、 两侧的电荷为q3、 q4。由电荷守恒有qq2q3 q4q1q2QA （1）1q3q4QB （2）在 A 板与 B 板内部取两场点，金属板内部的电场为零有习题86 图q1q2q3q40，得2S 02S 02S 02S 0q1q2q3q40 （3）q1q2q3q40 ，得 q1q2q3 q40 （4）2S 02S 02S 02S 0联立上面4 个方程得： q1q4Q AQB , q2q3QAQB22即相向的两面上电荷面密度大小相等，符号相反， 相背的两面上电荷面密度大小等，符号相同，本题得证。如果两金属板的面积同为100cm2，带电量分别为Q A=6 

24、5; 108C 和 QB=4 ×10 8C，则142( 64)10 85.0× 10 6C/m 2,10010 4232(64)10 81.0× 10-6 C/m 210010 48 7半径为R 的金属球离地面很远， 并用细导线与地相联， 在与球心相距离为D=3R处有一点电荷 +q ，试求金属球上的感应电荷。解：设金属球上的感应电荷为 Q，金属球接地电势为零，即qQ0q4 0 R4 0 DR QD=3RQRqqD3习题87 图8 8一平行板电容器，两极板为相同的矩形，宽为a，长为 b ，间距为 d，今将一厚可编辑.度为 t、宽度为a 的金属板平行地向电容器内插入，

25、略去边缘效应，求插入金属板后的电容量与金属板插入深度x 的关系。解：设如图左边电容为 C1，右边电容为 C2dt0 a(bx)xC1db0 axC2习题88 图d tx 的关系，为左右电容并联，总电容即金属板后的电容量与金属板插入深度C C1C20a(bx)0axddt0 a=(btx)ddt8 9 收音机里的可变电容器如图（a）所示，其中共有n 块金属片，相邻两片的距离均为 d，奇数片联在一起固定不动（叫定片）偶数片联在起而可一同转动（叫动片）每片的形状如图（ b）所示。求当动片转到使两组片重叠部分的角度为时，电容器的电容。解：当动片转到使两组片重叠部分的角度为时，电容器的电容的有效面积为(

26、r22r12 )(r22r12 )S1803602此结构相当有n-1 的电容并联，总电容为(n1)0S (n1)0 (r22r12 )(a)(b)Cd360d习题89 图8 10半径都为a 的两根平行长直导线相距为d（ d>>a ），（ 1）设两直导线每单位长度上分别带电十和一求两直导线的电势差； （ 2）求此导线组每单位长度的电容。解：（ 1）两直导线的电电场强度大小为E20r2两直导线之间的电势差为drd aVa0 r0ordrln dar0a（ 2）求此导线组每单位长度的电容为C=0习题810图V ln d a a8 11如图， C1=10F，C2 =5F，C3=5F，求（

27、1） AB 间的电容；（ 2）在 AB 间加上 100V 电压时，求每个电容器上的电荷量和电压；（ 3）如果C1 被击穿，问C3 上的电荷量和电压各是多少？解：（ 1） AB 间的电容为C3(C1C2 )5 15CC 3=3.75 F；C1 C220可编辑.（ 2）在 AB 间加上 100V 电压时，电路中的总电量就是C3 电容器上的电荷量，为q q CV 3.73 10 6100 3.73 10 4 C3V1V2q3.7310 425VA612C1C21510CCV31002575VC3q1C1V11010 6252.510 4CB习题811 图q2C2V2510 6251.2510 4C（ 3）如果 C1 被击穿， C2 短路， AB 间的 100V 电压全加在 C3 上，即 V3=100V ，C3 上的电荷量为