第三章(单调性与凹凸性)

1、第四节单调性与凹凸性下面我们来讨论，怎样利用导数反过来研究函数的性质或曲线的形态. 主要介绍：单调性、极值最值、凹凸、拐点和曲率.)( xfy )(1xf)(2xfxyoI设函数设函数 f(x)定义域为定义域为D，区间区间DI 如果对于区间如果对于区间 I 上任意两点上任意两点 ,当当 时时21,xx21xx 恒有恒有),()()2(),()() 1 (2121xfxfxfxf则称函数则称函数f(x)在区间在区间I上是上是 (1)单调增加的单调增加的;(2)单调减少的单调减少的.)(xfy )(1xf)(2xfxyoI.,)(0)(),()2(;,)(, 0)(),(1.),(,)(上单调减少

2、在那末函数，内如果在上单调增加在那末函数内如果在）（可导内在上连续在设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy注意:函数的单调性是一个区间上的性质区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用某点处的导数符号来判别一个区间上的单调性此判定法则对其它各种类型的区间仍适用.且简单来说是开区间可导开区间可导闭区间单调闭区间单调. .证:，应用拉格朗日中值定理且,2121xxbaxx)(),)()()(211212xxxxfxfxf, 012 xx, 0)(, 0)(),(fxfba则显然则显然内，内，若在若在.,)().()(12上上单单调调增增加加在在区区间间即即baxfy

3、xfxf, 0)(, 0)(),(fxfba则显然则显然内，内，若在若在.,)().()(12上上单单调调减减少少在在区区间间即即baxfyxfxf.2 , 0sin的单调性在讨论函数xxy解:.2 , 0, 0cos1,2 , 0上是单调增加的函数在由定理可知）上在（xy .1的单调性讨论函数xeyx),( :. 1Deyx函数定义域为又, 0,)0 ,(y内在单调减少；函数在0 ,(.), 0, 0,), 0(单调增加函数在内在y解: .)(32的单调性确定函数xxf 解：).,( :D函数的定义域为函数的定义域为;32)(,03xxfx 时时当当.,0导数不存在导数不存在时时当当 x;0

4、 ,()(),0(0)(, 0)(,0上单调减少上单调减少在在又又时时当当xffxfxfxyxo32xy 0,( )0,( )0(0)( )0,).xfxf xff x 当时又在上单调增加如上例,函数在定义区间上不是单调的,但在各个部分区间上单调定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间单调区间.驻点和不可导点，可能是单调区间的分界点驻点和不可导点，可能是单调区间的分界点.,)()(:间内导数的符号然后判断区的定义区间的点来划分函数不存在用驻点及确定单调性和单调区间xfxf 确定函数确定函数31292)(23xxxxf的单调区间的单调区间. .解解: :12186)

5、(2xxxf)2)(1(6xx令令,0)( xf得得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故故)(xf的的单调增区间为区间为, 1,()(xf的的单调减区间为区间为.2,1 12xoy12 注意：如注意：如果函数在分界点两边导果函数在分界点两边导数同号数同号, , 则不改变函数的单调性则不改变函数的单调性. .例如例如, ,),(,3xxy23xy 00 xyyox3xy .)1ln(,0成立试证时当xxx证:.)1ln(, 0)1ln(,0, 0)0(.), 0)(, 0)(,), 0(,), 0)(.1)(),1ln()(成立即时当又上单调增加在上可导且

6、在上连续在则设xxxxxfxfxfxfxxxfxxxf 利用单调性证明不等式的步骤：利用单调性证明不等式的步骤：将要证的不等式作 恒等变形(通常是移项)使一端为0,另一端即为所作的辅助函数 f (x).求)(xf 验证f (x)在指定区间上的单调性.与区间端点处的函数值或极限值作比较即得证. 前面我们介绍了函数的单调性,这对于了解函数的性态很有帮助,但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状,还须要考虑弯曲方向.oyxL3L2L1AB 如右图所示L1 ,L2 和 L3虽然都是从A点单调上升到B点,但它们的弯曲方向却不一样. L1 是“凸”弧,L2是“凹”弧 L3既有凸弧,也有凹弧,这和我们

7、日常习惯对凹凸的称呼是一致的.问题:如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位于所张弦的下方ABC;),()(,2)()()2(,),(,),()(212121内的图形是凹的在那末称恒有两点内任意如果对内连续在设baxfxfxfxxfxxbabaxf;),()(,2)()()2(,),(212121内的图形是凸的在那末称恒有内任意两点如果对baxfxfxfxxfxxba.,)(, 0)()2(;,)(, 0)() 1 (),(,),(,)(上的图形是凸的上的图形是凸的在在则则上的图形是凹的上的图形是凹的在在则

8、则内内若在若在二阶导数二阶导数内具有内具有在在上连续上连续在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 拐点：拐点：.)(,(,)(,(.,)(,00000为这曲线的拐点那么就称点改变了函数的凹凸性时如果曲线在经过点的内点是连续在区间上设一般地xfxxfxIxIxfy 注：定理的结论可推广到任意区间上.3的凹凸性判断曲线xy 解:,6,32xyxy ;0 ,(, 0,0上为凸的上为凸的曲线在曲线在时时当当 yx.)0 , 0(是是曲曲线线由由凸凸变变凹凹的的拐拐点点点点;), 0, 0,0上为凹的上为凹的曲线在曲线在时时当当 yx.4的凹凸性判定曲线xy 解:,43xy 212xy 时

9、，当0 x;0 y,0时x, 0 y故曲线故曲线4xy 在在),(上是凹的上是凹的. .xyo 说明:1) 若在某点二阶导数为0, 2)根据拐点的定义及上述定理,可按步骤判定拐点:则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,.)(,(,)(,)2() 3(.)(0)()2();() 1 (即为曲线的拐点点当符号相反时两侧的符号在点检查中找到的点对于不存在的点的点或者区间内找出求出jjjjxfxxxfxxfxfxf 方法方法1:1:.14334的拐点及凹凸区间求曲线xxy解：),( :D).32(36,121223 xxyxxy.32, 0, 021 xxy得得令令x)0 ,( ),32()32

10、, 0(032)(xf )(xf 00凹的凸的凹的拐点拐点)1 , 0()2711,32( 方法方法2:2:.)()(,(,0)(, 0)(,)(00000的拐点线是曲那末而数的邻域内有三阶连续导在设函数xfyxfxxfxfxxf .)2 , 0(cossin的拐点的拐点内内求曲线求曲线xxy 解:,sincosxxy,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令.47,4321xx得得, 02)43( f, 02)47( f内曲线有拐点为内曲线有拐点为在在2 , 0).0 ,47(),0 ,43(P152 .141. 1. 可导函数单调性判别可导函数单调性判别Ixxf,0)()(xf在在 I 上单调递增上单调递增. .Ixxf,0)()(xf在在 I 上单调递减上单调递减. .2.2.曲线凹凸与拐点的判别