北师大版初三二次函数知识点及练习

1、学习必备欢迎下载二次函数学问回忆一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc （ a ，b ，c 是常数， a0 ）的函数，2叫做二次函数；这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数而 b ，c 可以为零二次函数的定义域是全体实数a0 ，2.二次函数yaxbxc 的结构特点： 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项例 1（基础） .二次函数 y3 x26 x5 的图像的顶点坐标是（）a（ -1 ， 8）b. （ 1， 8）c （-1 ， 2）d （ 1，-4 ）习题精练x1、

2、二次函数 yax2 bx c 的图象如下列图，反比例函数y a与正比例函数y（ b c） x 在同一坐标系中的大致图象可能是（）2、如二次函数y2xbx5 配方后为 y2 x2k 就 b 、 k 的值分别为（）a .05b .0.1c.- 4.5d.- 4.13、图（ 1）是一个横断面为抛物线外形的拱桥，当水面在 l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面 2m ，水面宽 4m 如图（ 2）建立平面直角坐标系，就抛物线的关系式是 （ ）a y2x2b y2 x2c y1 x22d y1 x22学习必备欢迎下载图（ 1）图（ 2）4、已知二次函数的图象如下列图，就这个二次函数的表达式为（）a yx22

3、 x3b yx22x3c yx22 x3d yx22 x35. 如yax2bxc，就由表格中信息可知y 与 x 之间的函数关系式是（）x101ax21ax2bxc83 yx24 x3 yx23x4 yx23 x3 yx24 x86、巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高为1 米的喷水管喷水最大高度为3 米，此时喷水水平距离为12米，在如图4 所示的坐标系中，这支喷泉满意的函数关系式是（）a） y x1 232（ b） y3 x1 21 （2学习必备欢迎下载c） y8 x1 223 （ d） y8 x1 232二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2yax 的性质：a

4、的肯定值越大，抛物线的开口越小；a 的符号开口方向顶点坐对称性质标轴x0 时， y 随 x 的增大而增大；x0 时，a0向上0 ，0y 轴y 随 x 的增大而减小；x0 时， y 有最小值 0 x0 时， y 随 x 的增大而减小；x0 时，a0向下0 ，0y 轴y 随 x 的增大而增大；x0 时， y 有最大值 0 学习必备欢迎下载22. yaxc 的性质：上加下减；a 的符号开口方向顶点坐对称性质标轴x0 时， y 随 x 的增大而增大；x0 时，a0向上0 ，cy 轴y 随 x 的增大而减小；x0 时， y 有最小值 c x0 时， y 随 x 的增大而减小；x0 时，a0向下0 ，cy

5、 轴y 随 x 的增大而增大；x0 时， y 有最大值 c 3. ya xh2的性质：左加右减；a 的符号开口方向顶点坐对称性质标轴a0向上h ，0x=hxh 时， y 随 x 的增大而增大；xh 时，y 随 x 的增大而减小；xh 时， y 有最小学习必备欢迎下载值 0 a0向下h ，0x=hxh 时， y 随 x 的增大而减小；xh 时，y 随 x 的增大而增大；xh 时， y 有最大值 0 24. ya xhk 的性质：a 的符号开口方向顶点坐对称性质标轴a0向上h ，kx=hxh 时， y 随 x 的增大而增大；xh 时，y 随 x 的增大而减小；xh 时， y 有最小值 k a0向下

6、h ，kx=hxh 时， y 随 x 的增大而减小；xh 时，y 随 x 的增大而增大；xh 时， y 有最大值 k 三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk ，确定其顶点坐标h ，k； 保持抛物线2yax 的外形不变，将其顶点平移到h，k处，详细平移方法如下：学习必备欢迎下载y=ax 2向上 k>0【或向下 k <0】平移 |k|个单位y=ax 2+ k向右 h>0 【或左 h<0】平移 |k| 个单位y=a x-h2向右 h>0 【或左 h<0 】平移 |k| 个单位向上 k>0 【或下 k<0

7、】平移 |k|个单位向上 k>0 【或下 k <0】平移 |k|个单位向右 h>0【或左 h<0】平移 |k| 个单位y=ax-h2+k2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二： yax 2bxc沿 y 轴平移 : 向上（下）平移m 个单位， yax2bxc 变成yax 2bxcm （或 yax2bxcm ） yax 2bxc沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， yax 2bxc 变成ya xm2bxmc （或 ya xm 2b xmc ）考点 1. 二次函数的平移小试牛刀例 2已知，在同始终

8、角坐标系中，反比例函数y5 与二次函数xyx2 xc 的2图像交于点a 1， m （ 1）求 m 、 c 的值；（ 2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.学习必备欢迎下载例 3把抛物线 y=3x 2 向上平移 2 个单位，得到的抛物线是（）a.y=3 （x+2 ）2b.y=3 （ x-2 ） 2c.y=3x 2 +2d.y=3x2 -2专题练习一1. 对于抛物线y=1 x2+ 10 x16，以下说法正确选项（）333a.开口向下，顶点坐标为（5， 3）b. 开口向上，顶点坐标为（5， 3）c.开口向下，顶点坐标为（-5 ， 3）d. 开口向上，顶点坐标为（-5 ， 3）2. 如抛物线 y=x

9、2-2x+c与 y 轴的交点为（ 0， -3 ），就以下说法不正确选项（）a.抛物线开口向上b.抛物线的对称轴是x=1c.当 x=1 时， y 的最大值为 -4d. 抛物线与 x 轴交点为（ -1， 0），（ 3，0）3. 将二次函数y=x 2 的图象向左平移1 个单位长度，再向x下平移 2 个单位长度后，所得图象的函数表达式是 .y134. 小明从图 2 所示的二次函数yax2bxc 的图象中，21012x观看得出了下面五条信息：c0 ；abc0 ；abc0 ； 2a3b0 ； c4b0 ，你认为其中正确图信息的个数有 . （填序号）考点 2. 依据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式学习必备

10、欢迎下载1. 如已知抛物线上三点的坐标，就可用一般式：y=ax 2 +bx+c （a0）；22. 如已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，就可用顶点式： y=a （ x-h ） +k （ a0）；3. 如已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点，就可用交点式：y=a （x-x 1 ）（x-x 2）（ a0） .例 2已知抛物线的图象以a（ -1 ， 4）为顶点，且过点b（ 2，-5 ），求该抛物线的表达式 .例 3已知一抛物线与x 轴的交点是a（-2 ， 0）、 b（ 1， 0），且经过点c（ 2，8）.（ 1）求该抛物线的解析式；（ 2）求该抛物线的顶点坐标.专项练习

11、二学习必备欢迎下载1. 由于世界金融危机的不断扩散，世界经济受到严峻冲击.为了盘活资金，削减损失，某电器商场打算对某种电视机连续进行两次降价. 如设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y 元，原价为a 元，就 y 与 x 之间的函数表达式为（）a.y=2a （ x-1 ）b.y=2a （1-x ）c.y=a （ 1-x 2）d.y=a （1-x ） 22. 如图 2，在平而直角坐标系xoy 中，抛物线y=x 2+bx+c与 x 轴交于 a、b 两1点，点 a 在 x 轴负半轴，点b 在 x 轴正半轴，与y 轴交于点c，且 tan aco=，2图 2co=bo ，ab=3 ，就这条抛物线的函

12、数解析式是3. 对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点（ 0， -2 ），且 x=1 时， y=3； x=-1 时y=1，求此抛物线的关系式.4. 推理运算：二次函数的图象经过点a0，3 ， b 2， 3 ， c 1，0 （ 1）求此二次函数的关系式；（ 2）求此二次函数图象的顶点坐标；（ 3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少 平移个单位，使得该图象的顶点在原点学习必备欢迎下载四、二次函数2ya xhk 与 yaxbxc 的比较从解析式上看，22ya xhk 与 yaxbxc 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即yax22b4acb2a4a，其中 hb ，k 2a224a

13、cb4a五、二次函数yaxbxc 图象的画法2五点绘图法：利用配方法将二次函数2yaxbxc 化为顶点式2ya xhk ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点0 ，c、以及0，c关于对称轴对称的点2h ，c、与 x 轴的交点x1 ，0 ，x2 ，0（如与 x 轴没有交点，就取两组关于对称轴对称的点） .2画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点 .六、二次函数yaxbxc 的性质2bb4acb1. 当 a0 时，抛物线开口向上，对称轴为x，顶点坐标为2a，2a4a当 xb 2a

14、b时， y 随 x 的增大而减小；当x4acb2b 时， y 随 x 的增大而增大；当2ax时， y 有最小值2a4a2. 当 a0 时，抛物线开口向下，对称轴为xb ，顶点坐标为2ab4acb2，当 x2a4abb时， y 随 x 的增大而增大；当x 2a4acb2b 时， y 随 x 的增大而2a减小；当 x时， y 有最大值2a4a七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2yaxbxc （ a ， b ， c 为常数， a0 ）；2. 顶点式：2ya xhk （ a ， h ， k 为常数， a0 ）；3. 两根式：ya xx1 xx2 （ a0 ， x1 ，x2 是抛物线与 x 轴两

15、交点的横坐标）.学习必备欢迎下载2留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非全部的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即b4ac0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.专项练习三y1. 抛物线 y=kx 2 -7x-7 的图象和 x 轴有交点，就k 的取值范畴是 .2. 已知二次函数yx22 xm 的部分图象如图2 所示，就关于x 的一元x二次方程x22 xm0 的解为o133. 已知函数yax2bxc 的图象如图3 所示，那么关于图 2x 的方程yax2bxc20的根的情形是（）a. 无实数根b. 有两个相等实数0x3根图

16、3c. 有两个异号实数根d.有两个同号不等实数根4. 二次函数yax2bxca0 的图象如图4 所示，依据图象解答以下问题：（ 1）写出方程ax2bxc0 的两个根（ 2）写出不等式ax2bxc0 的解集（ 3）写出 y 随 x 的增大而减小的自变量x 的取值范畴学习必备欢迎下载（ 4）如方程ax2bxck 有两个不相等的实数根，求k 的取值范畴八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情形，可以用一般式或顶点式表达21. 关于 x 轴对称2yaxbxc 关于 x 轴对称后，得到的解析式是yaxbxc ；2yaxhk 关于 x 轴对称后，得到的解析式是2ya xhk ；2. 关于 y

17、轴对称2yaxbxc 关于 y 轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc ；2yaxhk 关于 y 轴对称后，得到的解析式是2ya xhk ；3. 关于原点对称2yaxbxc 关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc ；2ya xhk 关于原点对称后，得到的解析式是2ya xhk ；24. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）22yaxbxc 关于顶点对称后，得到的解析式是yaxbxcb；2ya xhk 关于顶点对称后，得到的解析式是2a2yaxhk 5. 关于点m，n对称2ya xhk 关于点m ，n对称后，得到的解析式是2ya xh2m2nk依据对称的性质，明显无论作何

18、种对称变换，抛物线的外形肯定不会发生变化， 因此 a 永久不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或便利运算的原就，挑选合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐学习必备欢迎下载标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式十、二次函数与一元二次方程：21. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情形）：一元二次方程ax 2bxc0 是二次函数yaxbxc 当函数值y0 时的特别情形.1212图象与 x 轴的交点个数：2 当b4ac0 时，图象与x 轴交于两点a x ，0，b x ，0xx ，其中的x ，x是一元

19、二次方程ax2bxc0 a0 的两根这两点间的距离122abx2x1b4 ac . a 当0 时，图象与x 轴只有一个交点； 当0 时，图象与x 轴没有交点 .1'当 a0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y0 ；2' 当 a0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y0 2. 抛物线2yaxbxc 的图象与y 轴肯定相交，交点坐标为0 ， c ；3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 依据图象的位置判定二次函数2yaxbx

20、c 中 a ， b ， c 的符号，或由二次函数中 a ， b ， c 的符号判定图象的位置，要数形结合；2 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的仍有二次三项式，二次三项式axbxc a0 本身就是所含字母 x 的二次函数；下面以程之间的内在联系：a0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方学习必备欢迎下载0抛物线与x 轴有两个交点二 次 三 项 式 的 值 可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0抛物线与x 轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的

21、实数根0抛物线与x 轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.二次函数图像参考：y=2x 2y=x 2y=3x+4 2y=3x 2y=3x-2 2y=2x 2x 2y=2y=2x-4 2y=2x-4 2-3y=2 x 2 +2y=2 x 2y=2 x 2 -4x 2y= -2y= -x 2y=-2x+3 2y=-2x 2y=-2x 2y=-2x-3 2学习必备欢迎下载课后巩固练习：21、把抛物线 yx2 向右平移 1 个单位，所得抛物线的函数表达式为（）ayx 21byx1cyx21dyx1 22、在平面直角坐标系中，将二次函数y2x2 的图象向上平移2 个单位，所得图象的解析式为 a

22、 y2x 22b y2x 22c y2 x2 2d y2x223、把抛物线yx2 向左平移 1 个单位，然后向上平移3 个单位 ，就平移后抛物线的解析式为（）.4、抛物线yay2 x13by x213cy x123dyx123 x2 23 的顶点坐标是（）a 2，3b 2，3d 2， 3d 2， 35、二次函数y=ax 2 +bx+c的图象如下列图，如点a1,y 1 、b2,y 2 是它图象上的两点，就 y1 与 y2 的大小关系是（）(a) y 1 y2b y 1 =y 2c y 1 y2 d 不能确定6、函数 y= ax 1 与 y= ax2 bx1（ a0）的图象可能是（）学习必备欢迎下

23、载7、依据下表中的二次函数yax2bxc 的自变量 x 与函数 y 的对应值，可判定该二次函数的图象与x 轴（）a 只有一个交点b有两个交点，且它们分别在y 轴两侧c有两个交点，且它们均在y 轴同侧d 无交点8、已知二次函数yax 2bxc 的y 与 x 的部分对应值如下表：x1013y3131就以下判定中正确选项（）a抛物线开口向上b 抛物线与y 轴交于负半轴c当x 4 时，y 0d方程ax 2bxc0 的正根在 3 与 4 之间9、已知二次函数yax2bxca0 的图象如下列图，就以下结论： ac0 ； 方程 ax 2bxc0 的两根之和大于0； y随 x 的增大而增大；abc0 ，其中正确的个数（）学习必备欢迎下载a4 个b3 个c 2 个d 1 个10 、已知二次函数yax2 bx ca0的图象如下列图，给出以下结论： a 0. 该函数的图象关于直线x1 对称 . 当 x1或 x3 时，函数 y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是（）a 3b 2c 1d 011 、二次函数 yax2bxc 的图象如下列图，就以下关系式不正确选项（） .a a 0b. abc 0c. abc 0d. b24ac 012 、已知二次函数y=ax 2+bx+c （