第7章 数字逻辑基础

1、 第七章第七章 数字逻辑基础数字逻辑基础Y数制和码制数制和码制Y基本逻辑代数运算基本逻辑代数运算Y逻辑代数的数学描述逻辑代数的数学描述Y逻辑函数的化简逻辑函数的化简Y逻辑函数描述方法及转换逻辑函数描述方法及转换本章学习重点4. 4. 数的各种用法数的各种用法5. 5. 基本逻辑门电路的逻辑运算基本逻辑门电路的逻辑运算1. 1. 什么是数字电子？什么是数字电子？2. 2. 数字信号和模拟信号之间的关系数字信号和模拟信号之间的关系3. 3. 数字逻辑和数字电路数字逻辑和数字电路模拟信号与数字信号模拟信号与数字信号数字表:跳跃显示时间模拟表:连续显示时间1.1.模拟信号模拟信号【Analog Sig

2、nal】v 定义：在时间上与数值上都连续的信号。定义：在时间上与数值上都连续的信号。v 模拟信号波形：模拟信号波形：u模拟信号波形模拟信号波形t最常见的模拟信号波最常见的模拟信号波形就是形就是正弦波正弦波。t正弦波形正弦波形uv 模拟电路：模拟电路：对模拟信号进行传输、处理的电子线路称为对模拟信号进行传输、处理的电子线路称为模拟电路模拟电路。模拟信号模拟信号声音声音盒式磁带盒式磁带电路简单电路简单, ,音质差音质差2.2.数字信号数字信号【Digital Signal】1)1) 定义：定义：在时间上和数值上不连续的（即离散的）信号在时间上和数值上不连续的（即离散的）信号2)2) 数字信号波形数

3、字信号波形对数字信号进行传输、处理的电子线路称为对数字信号进行传输、处理的电子线路称为数字电路数字电路。3)3) 数字电路数字电路u数字信号波形数字信号波形t1 0011声音声音模拟信号模拟信号转换器转换器数字信号数字信号CDCD数字电路跟模拟电路相比在对于数字电路跟模拟电路相比在对于信号的传输、存储、处理方面有信号的传输、存储、处理方面有很大优势。很大优势。音质好音质好, ,多次拷贝无损耗多次拷贝无损耗数字技术数字技术谷歌眼镜谷歌眼镜P PROJECTROJECT G GLASSLASS 由由谷歌谷歌公司于公司于2012年年4月发布月发布的一款的一款“拓展现实拓展现实”眼镜，眼镜，它具有和它

4、具有和智能手机智能手机一样的功一样的功能，可以通过声音控制拍照、能，可以通过声音控制拍照、视频通话和辨明方向，以及视频通话和辨明方向，以及上网冲浪、处理文字信息和上网冲浪、处理文字信息和电子邮件电子邮件等。等。 7.1 7.1 数制和码制数制和码制 7.1.1 数制数制进制进制 R R数数 码码计数规则计数规则基数基数十十0,1,2,3,4,5,6,7,8,90,1,2,3,4,5,6,7,8,9逢十进一逢十进一1010二二0,10,1逢二进一逢二进一2 2八八0,1,2,3,4,5,6,7,0,1,2,3,4,5,6,7,逢八进一逢八进一8 8十六十六0,1,2,3,4,5,6,7,8,90

5、,1,2,3,4,5,6,7,8,9，A,B,C,D,E,FA,B,C,D,E,F逢十六进一逢十六进一1616几种进制数之间的对应关系 一般地，N N进制需要用到N N个数码，基数是N N；运算规律为逢N N进一。 如果一个N N进制数A A包含位整数和位小数，即 (A)(A)N N=(a=(an-1 n-1 a an-2 n-2 a a1 1 a a0 0 a a1 1 a a2 2 a am m) )N N则该数的权展开式为： (A)(A)N Na an-1n-1N Nn-1n-1a an-2n-2N Nn-2n-2a a1 1N N1 1a a0 0 N N0 0 a a1 1N N-1

6、-1a a2 2N N-2-2a am mN N-m-m (209.24)(209.24)1010 2 210102 2 0 010101 19 910100 02 210101 14 4 10102 2(101.01)(101.01)2 2 1 12 22 2 0 02 21 11 12 20 00 02 21 11 1 2 22 2 7.1.27.1.2 数制间转换数制间转换为什么要进行数制之间相互转换？为什么要进行数制之间相互转换？a. a. 用数字电路实现十进制数很困难。用数字电路实现十进制数很困难。二进制数码用电子电路二进制数码用电子电路的开关特性就完全能够实现。的开关特性就完全能够

7、实现。b. b. 二进制数书写太长、记忆不便，所以又常采用八进制和十二进制数书写太长、记忆不便，所以又常采用八进制和十六进制来表示二进制数。六进制来表示二进制数。1.1.二进制转换为十进制数二进制转换为十进制数方法：方法：将它们按权展开，求出相加的和，便得到相应将它们按权展开，求出相加的和，便得到相应进制数对应的十进制数。进制数对应的十进制数。例例1 1：(101.01)(101.01)2 21 12 22 20 0 2 21 11 1 2 20 00 0 2 2-1-11 1 2 2-2-2(5.25)(5.25)1010 (10101.11)2=124+023+122+021+120+12

8、-1+12-2=16+0+4+1+0.5+0.25=(21.75)10 2.2.十进制数转换为二进制十进制数转换为二进制 整数部分：整数部分：“除基数取余除基数取余”法，直至商为法，直至商为 0 0，所得，所得余数自下而上排列；余数自下而上排列； 小数部分：小数部分：“乘基数取整乘基数取整”法，直至小数为法，直至小数为0 0或按要求或按要求保留位数，所得整数自上而下排列。保留位数，所得整数自上而下排列。例：将(25.375)10转换为二进制数。(25.375)10=（11001.011）2例：例：(35.85)(35.85)1010=(?)=(?)2 2 ，保留三位小数。，保留三位小数。解：整

9、数部分：解：整数部分：352172824222120110001低位低位高位高位小数部分：小数部分：0.8521.7 1 0.7 21.4 1 0.4 20.8 0高位高位低位低位题目要求只保留三位小数题目要求只保留三位小数不再继续连乘取整了。不再继续连乘取整了。 (35.85)(35.85)1010(100011.110)(100011.110)2 2 7.1.3 7.1.3 编码编码【ENCODE】数字系统只能识别数字系统只能识别0 0和和1 1，怎样才能表示更多的，怎样才能表示更多的数码、符号、字母呢？数码、符号、字母呢？用编码可以解决此问用编码可以解决此问题。题。 用一定位数的二进制数

10、来表示十进制数码、字母、用一定位数的二进制数来表示十进制数码、字母、符号等信息称为编码。符号等信息称为编码。v 问题的提出：问题的提出：v 编码编码定义：定义： 二十进制码（二十进制码（BCDBCD码）码）8421 BCD码码：用用4 4位二进制数位二进制数b b3 3b b2 2b b1 1b b0 0来表示来表示1 1位十进制数。位十进制数。十进十进制制0 01 12 23 34 45 56 67 78 89 98421码00000001001000110100010101100111100010010011 0010练习：练习：32的的BCD码码：练习：练习：600的的BCD码码0110

11、 0000 0000 BCD2421 236810 BCD8421 536410 0010 .0011 1100 11102 .8630101 .0011 0110 01005 .463 二值数字逻辑中的二值数字逻辑中的1 1（逻辑（逻辑1 1）和）和0 0（逻辑（逻辑0 0）不）不仅可以表示二进制数，还可以表示仅可以表示二进制数，还可以表示事物的两种对立事物的两种对立的逻辑状态。的逻辑状态。称为称为逻辑逻辑0状态状态和和逻辑逻辑1状态状态。7.27.2基本逻辑代数运算基本逻辑代数运算例：灯泡的亮、灭状态例：灯泡的亮、灭状态 考试成绩的及格、不及格考试成绩的及格、不及格A闭合1.1. 与运算与

12、运算【AND Operation】V VA AB BL LABL开开开开灭灭开开合合灭灭合合开开灭灭合合合合亮亮v 功能表功能表ABL000010100111v 真值表真值表约定：开关约定：开关A A、B B断开时为逻辑断开时为逻辑0 0，合，合上时为逻辑上时为逻辑1 1；灯灭时为逻辑；灯灭时为逻辑0 0，灯亮，灯亮时为逻辑时为逻辑1 1。v 描述：描述：只有条件都具备，结果才发生。（逻辑乘）V VA AB BL LV VA AB BL L灯亮B闭合全部车门关全部车门关, ,才开动才开动v 逻辑表达式：逻辑表达式：L=AL=A B=AB B=ABv 逻辑符号逻辑符号实现与逻辑的电路称为与门与门

13、其逻辑规律服从其逻辑规律服从“有有0出出0，全全1才出才出1” ABL000010100111A AB BY Y图图2.2.2 与门逻辑符号与门逻辑符号A AB BY Y缺一不可缺一不可2.2. 或运算或运算【OR OPERATION】ABL开开开开灭灭开开合合亮亮合合开开亮亮合合合合亮亮v 功能表功能表v 逻辑表达式：逻辑表达式：L=A+BABL000011101111v 真值表真值表约定：约定：开关开关A A、B B断开时为逻辑断开时为逻辑0 0，合上时，合上时为逻辑为逻辑1 1；灯灭时为逻辑；灯灭时为逻辑0 0，灯亮时为逻辑，灯亮时为逻辑1 1。合上Av 描述：描述：只要任一条件具备，结

14、果就会只要任一条件具备，结果就会发生。（逻辑加）发生。（逻辑加）V VA AB BL L抢答器A AB BY Y图图2.2.4 或门逻辑符号或门逻辑符号1其逻辑规律服从其逻辑规律服从“有有1出出1，全，全0才出才出0” BAY表表2.2.2 或或逻辑真值表逻辑真值表A AB BY Y0 00 00 00 01 11 11 11 11 11 11 10 0输出输出输入输入有一即可有一即可3. 非运算非运算【NOT OPERATION】AL开开亮亮合合灭灭v 功能表功能表AL0110v 真值表真值表v 逻辑符号逻辑符号实现非逻辑的电路称为非门非门合上Av 描述：条件描述：条件具备具备，结果，结果不

15、不发生；发生； 条件条件不具备不具备，结果，结果必必发生。发生。 （逻辑求反）（逻辑求反）v 逻辑表达式：逻辑表达式：L=A1AL=A约定：开关约定：开关A A断开时为逻辑断开时为逻辑0 0，合，合上时为逻辑上时为逻辑1 1；灯灭时为逻辑；灯灭时为逻辑0 0，灯亮时为逻辑灯亮时为逻辑1 1。A AL LV V 与非运算与非运算 逻辑表达式：逻辑表达式：ABL001011101110v 真值表：真值表：ABL v 符号：符号：7.2.2 逻辑代数复合运算A AB BY Y图图2.2.7 与非门逻辑符号与非门逻辑符号A AB BY Y 或非运算或非运算BALABL001010100110第7章v

16、逻辑表达式：逻辑表达式：v 真值表：真值表：v 符号：符号： 与或非运算与或非运算 逻辑表达式：逻辑表达式：第7章DCBAL 符号：符号： 异或运算异或运算逻辑表达式：逻辑表达式：BABABAL 真值表：真值表：ABL000011101110第7章两个输入逻辑变量时两个输入逻辑变量时Y=1，即，即不同为不同为“1”相同为相同为“0”，图 图2.2.10 异或异或门逻辑符号门逻辑符号A AB BY YA AB BY Y=1 同或运算同或运算 逻辑表达式：逻辑表达式： 真值表：真值表：ABL001010100111第7章B AABB AL 两个输入变量值相同时两个输入变量值相同时Y=1，即，即相同

17、为相同为“1”不同为不同为“0” 。A AB BY Y图图2.2.11 同同或或门逻辑符号门逻辑符号=A AB BY Y各种逻辑运算汇总表1 1、基本公式基本公式交换律：交换律： A + B = B + AA B = B A结合律：结合律：A + B + C = (A + B) + C A B C = (A B) C 分配律：分配律：A + BC = ( A + B )( A + C )A ( B + C ) = AB + AC A 1 = AA 0 = 0A + 0 = AA + 1 = 10 0、1 1律：律：A A = 0A + A = 1互补律：互补律：7.3.17.3.1：逻辑代数的

18、定律和运算规则逻辑代数的定律和运算规则7.3 7.3 逻辑代数的数学描述逻辑代数的数学描述重叠律重叠律：A + A = AA A = A反演律：反演律：AB = A + B A + B = A BAA BAB() ()ABACABCABAAAABA()吸收律吸收律 隐含律：隐含律： ABACBCAB + ACABACBCDAB + AC7.3.2 逻辑代数的基本规则 1.1.代入规则代入规则 ： 在包含变量在包含变量A逻辑等式中，如果用另一逻辑等式中，如果用另一个函数式代入式中所有个函数式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。这一规的位置，则等式仍然成立。这一规则称为代入规则。则称为代入规则。

19、例例：B (A + C) = BA+BC，用用A + D代替代替A A，得得B (A +D) +C = B(A +D) + BC = BA + BD + BC代入规则可以扩展所有基本公式或定律的应用范围代入规则可以扩展所有基本公式或定律的应用范围（2 2）反演规则：求原函数的非函数）反演规则：求原函数的非函数原函数原函数Y 反函数反函数 “.” “+”， “+” “.” “0” “1” “1” “0”原变量原变量 反变量反变量反变量反变量 原变量原变量 运用规则：运用规则：1、先括号，、先括号，2、按先与后或的顺序，按先与后或的顺序， 3、保持反变量以外的非号不保持反变量以外的非号不变。变。

20、例 已知 EDCBBAY，求Y解：解： EDCBBAY0CDBAL练习：求练习：求L 的反函数的反函数 )(1)(DCBADCB)(AL Y（3 3）对偶规则）对偶规则 对于两个函数，如果原函数相等，那么其对偶函数、反对于两个函数，如果原函数相等，那么其对偶函数、反函数也相等。函数也相等。例 已知 )(CABAY，求对偶函数 Y解： ACBAY逻辑函数逻辑函数Y 对偶函数对偶函数 “.” “+”， “+” “.” “0” “1” “1” “0”“或或-与与”表达式表达式“与非与非-与非与非”表达式表达式 “与与- -或或- -非非”表达式表达式“或非或非或非或非” 表达式表达式“与与- -或或

21、” 表达式表达式7.5 逻辑函数的代数法化简逻辑函数的代数法化简 DCACL DC A C = )DC)(CA( )C+D()CA( DCCA 1 1、逻辑函数的最简与、逻辑函数的最简与- -或表达式或表达式包含的与项数最少，且每个与项中变量数最少的表达式称包含的与项数最少，且每个与项中变量数最少的表达式称为最简与为最简与- -或表达式。或表达式。2、逻辑函数的化简方法、逻辑函数的化简方法 化简的主要方法：化简的主要方法：公式法（代数法）公式法（代数法）图解法（卡诺图法）图解法（卡诺图法）代数化简法：代数化简法： 运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简的方法。运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行

22、化简的方法。 1AA并项法并项法: : CBA CBAL BA)CC(BA 1 AAABBA 吸收法吸收法： A + AB = A 消去法消去法： BABAA CABAB CAB 配项法配项法： CA=AB BAFEBCDABAL )(CBAAB)( CBCAABL A+AB=A+BCBCAABL CBAACAAB)( CBACABCA=AB )()(BCACACABAB ABCCABCBACBABCACBACBACBA、第7章（1）最小项定义 如果一个函数的某个乘积项如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变包含了函数的全部变量量，其中，其中每个变量每个变量都以都以原变量或反变量的形式原变量

23、或反变量的形式出现，出现，且且仅出现一次仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为积项，通常称为最小项最小项。3个变量A、B、C可组成8个最小项：标准表达式:最小项代数化简法缺点：代数化简法缺点：对于一个较复杂的逻辑式也难以对于一个较复杂的逻辑式也难以判断化简结果是否为最简。判断化简结果是否为最简。解决方法解决方法卡诺图化简法。卡诺图化简法。练习：练习：2 2个变量个变量M M、N N的最小项：的最小项：（2）最小项的表示方法 通常用符号通常用符号mi来表示最小项。来表示最小项。下标下标i的确定：的确定：把最小项中的原变量记为把最小项中的原变量

24、记为1，反变量记为，反变量记为0，当变，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标i。3 3个变量个变量A A、B B、C C的的8 8个最小项可以分别表示为：个最小项可以分别表示为：ABCmCABmCBAmCBAmBCAmCBAmCB AmCB Am76543210、例如：C)BB(A)CC(ABCAAB)C,B,A(L【表示法1】CBABCACABABC【表示法2】1367mmmm【表示法3】7 , 6 , 3 , 1m【表示法4】)

25、7 , 6 , 3 , 1 ( 最小项的若干表示方法最小项的若干表示方法 1、卡诺图的引出卡诺图的引出将将n变量的全部最小项都用小方块表示，并变量的全部最小项都用小方块表示，并使具有逻辑相邻的最小项在几何位置上也相使具有逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，这样邻地排列起来，这样, ,所得到的图形叫所得到的图形叫n变量变量的卡诺图。的卡诺图。7.4.3 逻辑函数卡诺图化简法AB10100100011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m110001111000011110ABCD三变量卡诺图三变量卡诺图四变量卡诺图

26、四变量卡诺图BABABAAB两变量卡诺图两变量卡诺图m0m1m2m3AC CCBABCACBABCACBACBACBAABCCAB m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7ADBB卡诺图的特点卡诺图的特点:各小方格对应于各变量不同的组合，而且上下各小方格对应于各变量不同的组合，而且上下左右在几何上相邻的方格内只有一个因子有差别左右在几何上相邻的方格内只有一个因子有差别。 2卡诺图的填入v 最小项表达式的填入：最小项表达式的填入：)15,14,11, 7 , 6 , 4 , 3 , 1 (m)D,C,B,A(Ym1m4m3m6m7m11m14m15给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入1，

27、其余的方格内填入0。例如：3、卡诺图的化简方法化简步骤 将给定的逻辑函数式化成最小项之和的形式。将给定的逻辑函数式化成最小项之和的形式。 画卡诺图画卡诺图：凡式中包含的最小项，其对应方格填1，其余方格填0。 合并最小项合并最小项：划包围圈并写成一个新的乘积项。 写出最简与或表达式写出最简与或表达式：将所有包围圈对应的乘积项相加。v 画包围圈时应遵循的原则： 圈内方格数必须是圈内方格数必须是2n2n个，个，n=0,1,2,n=0,1,2, 相邻方格包括上下底相邻、左右边相邻和四角相邻。相邻方格包括上下底相邻、左右边相邻和四角相邻。 同一方格可以被重用，但重用时新圈中一定要有新成员同一方格可以被重

28、用，但重用时新圈中一定要有新成员加入，否则新圈就是多余的。加入，否则新圈就是多余的。 每个圈内的方格数尽可能多，圈的总个数尽可能少。每个圈内的方格数尽可能多，圈的总个数尽可能少。注意注意: :包围圈的圈法可能不惟一，因此化简结果也可能不惟一。包围圈的圈法可能不惟一，因此化简结果也可能不惟一。)15,14,11, 7 , 6 , 4 , 3 , 1 (m)D,C,B,A(Y例如：_DBADBACDBCYv一般的逻辑表达式填入：一般的逻辑表达式填入：)CB)(DA(YCBD A 先将函数变换为与或表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些

29、最小项的公因子）相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。例：解：)CB()DA()CB)(DA(Y变换为与或表达式由上面变换的结果AAB说明：说明：如果求得了函数的反函数，则对中所包含的各个最小项，在卡诺图相应方格内填入0，其余方格内填入1。CBD AY填写卡诺图如下：BCCDDBD的公因子的公因子逻辑表达式逻辑表达式或真值表或真值表卡诺图卡诺图)15,13,12,11, 8 , 7 , 5 , 3(m)D,C,B,A(Y11例：用卡诺图将下式化简为最简与或与或式形式。)15,13,12,11,8 ,7,5 ,3(m)D,C,B,A(Y圈越大越好，但每个圈中标的方格数目必须为个。i2冗余项2

30、 2 不能漏掉任何一个标的方格。第7章合并最小项同一个方格可同时画在几个圈内，但每个圈都要有新的方格，否则它就是多余的。最简与或表达式 3 D CACDBD)D,C,B,A(Y 3 将代表每个圈的乘积项相加 ABC D00011110 ABC D00011110001101001101010111010111110011110011100000100000两点说明：两点说明： 在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。不是最简最简 ABCD00011110 ABCD000111100011000011000111100

31、11110110010110010101010101010 在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。P126 7.10无关项在化简中的应用 无关项的定义无关项的定义：函数可以随意取值（可以为：函数可以随意取值（可以为0 0，也可以为，也可以为1 1）或不会出现的变量取值所对应的最小项称为无关项，也叫做或不会出现的变量取值所对应的最小项称为无关项，也叫做约束项或任意项。约束项或任意项。v 合理利用无关项：合理利用无关项：在逻辑函数的化简中，随意项的取值可在逻辑函数的化简中，随意项的取值可视具体情况取视具体情况取0或取或取1。具体地讲，。具体地讲，

32、如果随意项对化简有利，如果随意项对化简有利，则取则取1；如果随意项对化简不利，则取；如果随意项对化简不利，则取0。例如：例如： 要求设计一个逻辑电路，判断一位十进制要求设计一个逻辑电路，判断一位十进制数是奇数还是偶数，当十进制数为奇数时，电路数是奇数还是偶数，当十进制数为奇数时，电路输出为输出为0，当十进制数为偶数时，电路输出为，当十进制数为偶数时，电路输出为1。不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现说说 明明 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 1 01 0 1 1 0 1 1 0 10 0 1 0 1 1 1 0 01 0 1 0 0 1 0 1 10 0 0 1 1 1 0 1 01 0 0 1 00 1 0 0 10 0 0 0 11 1 0 0 01 0 0 0 0Y Y A B C DA B C DY Y A B C DA B C D第7章_ 输入变量A，B，C，D取值为00001001时，逻辑函数Y有确定的值，根据题意，偶数时为1，奇数时为0。)8 ,6,4,2,0(m)D,C,B,A(Y第7章不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现说说 明明 1 1